弦振動偏微分方程的求解

1、弦振動偏微分方程的求解(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院數(shù)理系 田碩 450015)摘要：本文列出了不同情況下的弦振動問題的定解方程及其成立條件，給出了不同情況下偏微分方程的求解方法，對于我們的生活和學(xué)習(xí)有一定的指導(dǎo)意義。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)物理方程；偏微分方程；弦振動；拉普拉斯變換Method for solving partial differential equations of string vibration（Tianshuo Department of mathematics and physics, Zhengzhou Institute of Aeronautics Industry Manage

2、ment, henna zhengzhou 450015）Abstract: This article lists the definite solution of the equation of string vibration problems in different situations and the establishment of conditions, given the method for solving partial differential equations under different circumstances, for our lives and learn

3、ing have a certain significance.Keywords: mathematical physics equations; partial differential equations; vibrating string; Laplace transform在數(shù)學(xué)物理方程中，根據(jù)常見物理模型，可以建立求解的偏微分方程。如在很多物理實際問題中要遇到的拉普拉斯方程，泊松方程，波動方程，熱傳導(dǎo)方程等等。對偏微分方程求解的討論，有很重要的意義和運用。對不同的偏微分方程，往往有不同的求解方法，這要根據(jù)方程本身的特點而定。選取合適的方法不僅可以使問題簡化，有時候也能體現(xiàn)出方程背后更

4、深層次的物理意義。理想弦的振動方程就是一個一維波動方程的特例，本文將給出不同情況下的弦振動偏微分方程，并對它們的求解給予一定的討論。一、 無界弦的自由振動問題無界弦的自由振動問題既是滿足下面條件的偏微分方程1：對于該偏微分方程，我們可以類似常微分方程初始問題的解法，先求出通解，然后把初始條件代入通解，以確定任意常數(shù)，從而求得初始問題的解。做變量代換，代入偏微分方程，整理可得：，得方程的通解為：再代入初始條件，有：對(2)式積分:將（1）式和（3）式聯(lián)立，解之則得：于是我們便得到了：這便是一維無界弦的自由振動解的表達式， 稱作達朗貝爾公式。由于對u沒有任何限制，只要一維波動方程有解，解必由達朗貝

5、爾公式給出，且解是唯一的。二、 有界弦的自由振動問題。描述兩端固定的有界弦的自由振動的混合問題：對于該問題，適合用分離變量方法進行求解。第一步，分離變量，分析求一族滿足泛定方程和邊界條件的分離變量形式的非零特解，可以先不估計初始條件。令：，把它代入方程，得兩邊除以，得此式左端僅是t的函數(shù)，右端僅是x的函數(shù)，而x與t是兩個相互獨立的變量，所以只有兩邊都是常數(shù)時，等式才能成立，令這個常數(shù)為，就得到一個常微分方程：及其邊值問題（因所以;同理所以）故第二個常微分方程是：第二步，解固有值問題怎么找到滿足條件的固有值，使常微分方程的邊值問題有非零解。分三種情況討論。（1）,這時方程為：, ,通解為：,由邊

6、界條件，得A=0;B=0，不滿足要求。（2），不妨設(shè)，這時方程的通解為：由邊界條件，得不難求出A=B=0，同樣不滿足要求。（3），不妨設(shè)（），這時方程的通解為：由條件X(0)=0，知，A=0，再由條件，得，由于B不能再為零，則必有或者：我們把叫做固有值，與固有值對應(yīng)的非零解為：，是任意常數(shù)。求固有值和固有函數(shù)的邊值問題稱為固有值問題。把固有值代入確定T的常微分方程：，,為任意常數(shù)。這樣得到：把歸入常數(shù),第三步，寫出級數(shù)形式解由于方程和邊界條件都是線性齊次的，故由疊加原理，級數(shù):仍滿足方程和邊界條件。第四步，確定級數(shù)解中的系數(shù)和由初始條件：及,由正弦展開的系數(shù)公式，得：這樣我們得到該問題的定解為

7、：三、無界弦的受迫振動問題該問題的偏微分方程為：對該問題，用拉普拉斯變換計算比較方便2。對泛定方程施行拉普拉斯變換得：代入初始條件得：該非齊次常微分方程的通解是考慮到和時不應(yīng)為無窮大，所以A=0，B=0，另為保證積分收斂，第一個積分下限取，第二個積分下限取。所以對于第一個中括號，運用延遲定理，則所以同理對第三個中括號，代替了且多了一個因子，則對第一個中括號中原函數(shù)中替換行為并對t求導(dǎo)即得第三個中括號里的原函數(shù)分別為：對第二個中括號，運用卷積定理同理：于是得到該問題解的表達式為：四、半無界弦的自由振動問題該問題即求下面問題的解3：對做拉普拉斯變換。設(shè)，則有：利用初始條件，上式變?yōu)椋?，原方程的像為：，解為：。A、B需要用邊界條件予以確定。當(dāng)對做拉普拉斯變換時候，像函數(shù)所滿足的邊界條件就是原函數(shù)邊界條件的像。因此：即。故A=0又有邊界條件，可得，代入可得。于是得到，對該式做反演。，（延遲定理）于是按積分定理，得反演之后的函數(shù)表達式為：當(dāng)時，則有當(dāng)時，則有于是可寫作所以方程的定解可寫作綜上所述，我們總結(jié)了在不同情況下弦振動偏微分方程的求解，根據(jù)不同情況做出了不同的弦振動偏微分方程求解方法。這對我們學(xué)習(xí)和鞏固偏微分方程在物理學(xué)中的應(yīng)用有很好的應(yīng)用，便于我們深刻理解物理問題，也對我們