年級數(shù)學(xué)上培優(yōu)輔導(dǎo)之四直角三角形

1、 江山二中八年級數(shù)學(xué)（上）培優(yōu)輔導(dǎo)之四（直角三角形）班級_姓名_勾股定理（及逆定理）： C=90o （c為斜邊）a2+b2=c2 直角三角形是一類特殊三角形，有著豐富的性質(zhì)：兩銳角互余(角的關(guān)系)、勾股定理(邊的關(guān)系)，30角所對的直角邊等于斜邊的一半(邊角關(guān)系)，這些性質(zhì)在求線段的長度、證明線段倍分關(guān)系、證明線段平方關(guān)系等方面有廣泛的應(yīng)用勾股定理是現(xiàn)階段線段計算、證明線段平方關(guān)系的主要方法，運用勾股定理的逆定理，通過計算也是證明兩直線垂直位置關(guān)系的一種有效手段等腰三角形三邊之比為1:1：；30o的直角三角形三邊比為1：2例題求解【例1】如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊AB為邊向內(nèi)作等邊AB

2、D，連結(jié)DC，以DC為邊作等邊DCE，B、E在CD的同側(cè)，若AB=，則BE=_ 【例2】 2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形(如圖所示)如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較短直角邊為a，較長直角邊為b，那么(a+b)2的值為_.【例3】 如圖，P為ABC邊BC上的一點，且PC2PB， 已知ABC45，APC60，求ACB的度數(shù) 【例4】在RtABC中，ACB=90，CDAB于D，設(shè)ACb，BCa，AB=c，CD=h 求證：（1）； (2) ； (3) 以、為邊的三角 形是直角三角形 【例5】 一個直角三

3、角形的邊長都是整數(shù)，它的面積和周長的數(shù)值相等，這樣的直角三角形 是否存在?若存在，確定它三邊的長，若不存在，說明理由學(xué)歷訓(xùn)練 1如圖，AD是ABC的中線，ADC=45，把ACD沿AD對折，點C落在點C的位 置，則BC與BC之間的數(shù)量關(guān)系是_ （第1題） （第2題） 2如圖，ABC是直角三角形，BC是斜邊，將ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，能與ACD重 合，若AP3，則PD的長等于_ 3如圖，已知AB=13，BC=14，AC=15，ADBC于D，則AD=_4如圖，四邊形ABCD中，AB3cm，BC=4cm，CD=12，DA=13cm，且ABC=90， 則四邊形ABCD的面積是_cm2 （第3題） （第

4、4題） （第5題） （第7題）5 如圖，一個長為10米的梯子，斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8米，如果梯子的頂端下滑1米，則梯子底端的滑動距離_米。6 如果一個三角形的一條邊是另一條邊的2倍，并且有一個角是30，那么這個三角形的形狀是( ) A直角三角形 B鈍角三角形 C銳角三角形 D不能確定 7在四邊形ABCD中，A=60，B=D90，BC=2，CD=3，則AB=_.8如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形：(1)使三角形的三邊長分別為3，2，；(2)使三角形為鈍角三角形且面積為4 （第8題） （第9題） (第10題)

5、 9如圖，在ABC中，AB=AC，A=120，MN垂直平分AB，求證：CM=2BM10、如圖，圓柱體的棱AB=10，AE=2，CD上F點，CF=6，圓柱底面周長為16，（1）如一只螞蟻從E沿著外曲面爬到F，求出最短路線的長。（2）如F點在里面，螞蟻從E爬到F，求出最短路線長。11、如圖，在ABC中，BAC90，AB=AC，E、F分別是BC上兩點，若EAF=45，試推斷BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由 12如圖，在ABC中，AB=5，AC=13，邊BC上的中線AD=6，則BC的長為_ （第11題） （第12題） （第13題） （第14題） （第15題） 13如圖，設(shè)P是等邊ABC內(nèi)的一

6、點，PA=3，PB=4，PC=5，求APB的度數(shù) 14如圖，一個的三邊長均為正整數(shù)，已知它的一條直角邊的長恰是2015，那么這樣的直角三角形共有幾個？說明過程。 15如圖，用3個邊長為l的正方形組成一個對稱圖形，則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑為_. 16若ABC的三邊a、b、c滿足條件：，求三角形 的周長與面積。 江山二中八年級數(shù)學(xué)（上）培優(yōu)輔導(dǎo)之五（特殊三角形）班級_ 姓名_1已知ABC兩邊a=4，b=3，按以下條件分別求第三邊c的長度范圍 。 （1）ABC是直角三角形 （2）ABC是銳角三角形 （3）ABC是鈍角三角形2如圖，ACB=90，AD是CAB的平分線，BC=4，CD=，求AC的長

7、3如圖，ABC是等腰直角三角形，ABAC，D是斜邊BC的中點，F(xiàn)、F分別是 AB、AC邊上的點，且DEDF，若BE=12，CF=5，求DEF的面積4如圖，在ABC中，AB=AC，(1)若P是BC邊上的中點，連結(jié)AP， 求證：BPCP=AB2一AP2；(2)若P是BC邊上任意一點，上面的結(jié)論還成立嗎?若成立，請證明，若不成立，請說明理由；(3)若P是BC邊延長線上一點，線段AB、AP、BP、CP之間有什么樣的關(guān)系?請證明你的結(jié)論（備用圖）5如圖，RtABC中，ACB90，CDAB于D，AF平分CAB交CD于E，交CB于F，且EGAB交CB于G，求證：CF=GB6如圖，ABC是直角三角形，ABC9

8、0，AB=4，ACB30，D在BC上；如ADC沿著AD對折，使得C點落在E處，且CDDE，求AEC面積。7 如圖ABC和DBE都是等腰直角三角形，且A、E、F、D在一條直線上，BFAD。（1）求證：ABECBD （2）AD、CD、BF之間有何數(shù)量關(guān)系？寫出并證明你的結(jié)論。8ABC，ACB90，分別以三邊為邊長向外作正ADC、正EBC、正ABF，設(shè)它們的面積分別為S1、S2、S3。（1）直接寫出S1、S2、S3的數(shù)量關(guān)系：_；證明上述結(jié)論。（2）將正ADC、正EBC、正ABF都改成半圓，結(jié)論成立嗎？為什么？9（雙正方形問題） 以ABC的邊AC、AB向外作正方形ACFG和正方形ABDE，過A作AN

9、BC，交GE于M，求證：M為GE中點。 10如圖，在四邊形ABCD中，ABC=30，ADC=60，AD=CD，求證：BD2=AB2+BC211. ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D、E在BC邊上，取DAE=45。（1）如BD=3，CE=4，求DE長； （2）當(dāng)D在E左邊時，寫出BD、DE、CE之間的等量關(guān)系，并證明。 江山二中八年級數(shù)學(xué)（上）培優(yōu)輔導(dǎo)自測三（特殊三角形）班級_姓名_1、直角三角形有兩條邊的長為6、8，那么第三邊上的中線長是_；2、如等邊三角形的邊長為4，那么它的面積是_；面積為16的等邊三 角形的邊長是_；3、如圖，CAB=45o，P是CAB內(nèi)部一點，AP=4，M、N分別在

10、AB、AC上，那么PMN 的周長為_； （第3題） （第4題） （第5題）4、一只螞蟻從圓柱體的B點繞著側(cè)面一圈爬到棱AB中點C處，如AB=10, 圓柱體的底面周長為12，那么螞蟻爬行的最短路程為_；5、RtABC的斜邊AB=10，AC=8，將BC沿BD對折，C點落在AB邊的E點，那么折痕BD=_；SABD=_;6、ABC的邊AB=20，AC=15,BC上高AD=12，則ABC的面積為_；7、如圖，ABC是等腰直角三角形，ABBC，D是斜邊AC的中點，F(xiàn)、F分別AB、AC邊上的點，且DEDF，若CF=3，AE=4，（1）求EF的長。（2）求證：四邊形BEDF面積是一個定值，并求出定值。 8、如

11、圖，ABC是等邊三角形，延長BA到D點，延長BC到E點，使AD=BE,連接CD,CE, 求證：CD=CE 9、ABC是等腰直角三角形，C是直角頂點，將AC沿著AD對折，使得C點落在E點，再將BDE沿DE對折，B落在F點，設(shè)DE=a，對于下列結(jié)果：DF平分ADE ； BC=（2+）a ； AF=FD ； BDE周長=BC （1）正確的結(jié)論有_（填序號） （2） 選一個結(jié)論加以證明。 10、ABC和DBE都是等腰直角三角形，B是直角頂點，D在AC邊上，如AD=3，CD=4，求四邊形ADBE的面積與周長。 江山二中八年級數(shù)學(xué)（上）培優(yōu)輔導(dǎo)之六（專題練習(xí)）班級_ 姓名_【專題一】幾何中的多值問題（分類

12、討論）1、 直角三角形有兩條邊的長為6、8，那么第三邊上的中線長是_。2、 直角三角形有兩條邊的長為5、12，那么斜邊邊上的中線長是_。3、用直角邊為3、4的兩個直角三角形拼成一個凸四邊形，該四邊形周長為_。4、等腰三角形有兩邊的長為4和6，那么它的周長為_;面積為_.5、等腰三角形ABC，AB=AC，P在射線CB上，PDAB于D，PEAC于E，BFAC于F，則PD、PE、BF間的等量關(guān)系為_。6、平面上依次四點A、B、C、D，且AB=3,BC=12，CD=13，AD=4，A=Rt，則由A、B、C、D四點依次連接得到的圖形面積為_.7、ABC的邊AB=26，AC=25，BC上高AD=24，則A

13、BC的面積為_；8、等腰三角形一條腰上的中線將它的周長分成12和9兩部分，則它的底邊長為_。9、在ABC中，已知ABAC，且過ABC某一頂點的直線可將ABC分成兩個等腰三角形，則ABC各內(nèi)角的度數(shù)分別為_ 10、等腰三角形腰上的高等于腰的一半，這個等腰三角形的頂角度數(shù)為_.11、一個等腰三角形某條邊上的高等于其中一條邊的一半，這個等腰三角形的頂角度數(shù)為_.12、如圖直線m、n互相垂直，A、B分別在n、m上，在m或n上找C點，使得ABC為等腰三角形，這樣的點C可以有_個。 （12題） （13題）13、RtABC直角邊長AC=6，BC=8，P、Q同時分別從A、B出發(fā)，經(jīng)C點先后到達對方的出發(fā)點，已

14、知P點和Q點運動速度分別為每秒1和2個單位，作PDDC，QEDC，問經(jīng)過幾秒鐘，PDC和QEC全等?！緦ｎ}二】方程與勾股定理（代數(shù)幾何相結(jié)合）14、等腰三角形ABC，AB=AC=5，BC=6，則腰上的高=_.15、直角ABC, C=90O,AC=6，BC=8，以BC為直角邊向外作直角BCD，使得DBC是等腰三角形，則CD=_。16、旗桿頂端垂下一條繩子，拖在地面的部分長度為1米，將繩子下端點沿地面向外拉，繩子拉直時，下端點與旗桿底端距離為5米，由此可知旗桿高_米。17、正方形ABCD 內(nèi)接一個正三角形AEF,E在BC上，F(xiàn)在CD上，如AB=2，求AE. 18、ABC三邊AB=3，AC=5，BC

15、=7，求三角形面積和A度數(shù)。19、下圖ABC，AB=AC=4，A=120O，P沿AB，Q沿BC同時出發(fā)，設(shè)P、Q速度分別為1和。（1）當(dāng)BPQ為Rt時，求運動時間。（2）當(dāng)BPQ為等腰三角形時，求運動時間。20、如圖將AB=6，BC=8的長方形沿BD對折，使得C點落在C1處，求AE及BED面積。 （19題） （20題） （21題） (22題)21、如圖將AB=6，BC=8的長方形沿EF對折，使得D點落在B處，C點落在D1點；求（1）AE； (2) BEF面積； （3）折痕EF。22、如圖長方形ABCD，AB=10，BC=8，P、Q同時分別從A、B出發(fā)，沿ABCDA運動，當(dāng)一個點先到達A點，另一

16、個點就停止運動；設(shè)P、Q每秒分別行2.5和2個單位，當(dāng)BPQ為等腰三角形時，求出運動時間及BQ長度。【專題三】最短路線問題 （優(yōu)化思想）1、如圖：點A、B與直線m的距離分別為300m和100m，過A、B作m垂線段，垂足為C、D,如CD=300m，設(shè)P點在m上，則AP+BP最短等于_。2、如圖：A、B在45網(wǎng)格交點處，小正方形邊長為1，在m、n直線上找C、D點，使得四邊形ABCD周長最短，這個最短距離等于_。3、正方形ABCD邊長為4，E是CD中點，設(shè)F在AC上，則FD+FE最短=_.4、四邊形ABCD,AB=BC=AD=DC=2, D=120O，E是AB中的，設(shè)F在AC上，則FE+FB最短=_

17、.5、如圖：長方形長寬高分別為5，3，4，現(xiàn)在一只螞蟻沿著外表面從A爬到B點，則最短路程=_.6、如圖：圓柱體側(cè)棱AB=10,AG=3,CF=2,圓柱底面周長為24，如一只螞蟻從G沿著表面爬到F點，最短路線長=_；如E在上面圓周上，則螞蟻沿著G-E-F爬到F點，最短路線長=_。7、如圖：從圓柱B處出發(fā)將繩子在面上繞一周半，另一端恰好在C點，如AB=5，圓柱底面周長為8，則繩子最短長_.8、如圖：A、B是河岸兩側(cè)的兩點，要在河上建一座橋CD,（CDm），怎樣建，使得A到B的路程最短？畫出示意圖，并寫出畫法。江山二中八年級數(shù)學(xué)（上）培優(yōu)輔導(dǎo)之六（專題練習(xí)）班級_ 姓名_【專題四】動態(tài)探究問題（分類

18、和轉(zhuǎn)化思想）1、已知兩個共一個頂點的等腰RtABC，RtCEF，ABC=CEF=90，連接AF，M是AF的中點，連接MB，ME.（1）如圖，當(dāng)CB與CE在同一直線上時，求證：MBCF；（2）如圖，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的長；（3）如圖，當(dāng)BCE=45時，求證：BM=ME.2、將RtABC繞直角頂點C逆時針轉(zhuǎn)a度到A1B1C（a為銳角）。（1）如a=30o， 求DBB1； (2)若A1B1過A點，求a； （3）a為多少，DBB1是等腰三角形。3、正ABC內(nèi)有O點，AOB=110O ，BOC=a，將三角形BOC繞C點順時針轉(zhuǎn)60O得ADC，連OD。（1）判斷說明ODC形狀；（2）如a=150O，AO=10，BO=8，求CO。 （3）如ODA為等腰三角