數(shù)列解答題練習(xí)答案

1、13-14學(xué)年度上學(xué)期高三理數(shù)綜合練習(xí) 高三理科數(shù)學(xué)寒假作業(yè)數(shù)列答案1.在等差數(shù)列an中，a3a4a584，a973.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)任意mN*，將數(shù)列an中落入?yún)^(qū)間(9m,92m)內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm，求數(shù)列bm的前m項(xiàng)和Sm.解(1)因?yàn)閍n是一個(gè)等差數(shù)列，所以a3a4a53a484，即a428.設(shè)數(shù)列an的公差為d，則5da9a4732845，故d9.由a4a13d得28a13×9，即a11.所以ana1(n1)d19(n1)9n8(nN*)(2)對(duì)mN*，若9man92m，則9m89n92m8，因此9m11n92m1，故得bm92m19m1.于是Smb1b

2、2b3bm(99392m1)(199m1).2已知兩個(gè)等比數(shù)列an，bn，滿足a1a(a0)，b1a11，b2a22，b3a33.(1)若a1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列an唯一，求a的值解(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q，則b11a2，b22aq2q，b33aq23q2，由b1，b2，b3成等比數(shù)列得(2q)22(3q2)即q24q20，解得q12，q22.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(2)n1或an(2)n1.(2)設(shè)數(shù)列an的公比為q，則由(2aq)2(1a)(3aq2)，得aq24aq3a10(*)，由a0得4a24a0，故方程(*)有兩個(gè)不同的實(shí)根由數(shù)列an唯一，知方程(*)必有一

3、根為0，代入(*)得a.3.在等比數(shù)列an中，a26，a318， (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足：bnan(1)nln an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解(1)由 a26，a318，得公比q3，因此a12，故an2·3n1.(2)因?yàn)閎nan(1)nln an2·3n1(1)nln(2·3n1)2·3n1(1)nln 2(n1)ln 32·3n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以Sn2(133n1)111(1)n·(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn2×ln

4、 33nln 31；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn2×(ln 2ln 3)·ln 33nln 3ln 21.綜上所述，Sn4.已知數(shù)列an滿足a11，a22，an2，nN*.(1)令bnan1an，證明：bn是等比數(shù)列；(2)求an的通項(xiàng)公式(1)證明b1a2a11.當(dāng)n2時(shí)，bnan1anan(anan1)bn1，bn是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列(2)解由(1)知bnan1ann1，當(dāng)n2時(shí)，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)11n211n1.當(dāng)n1時(shí)，111a1，ann1(nN*)5.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1a(a3)，an1Sn3n，nN*.(1)設(shè)bn

5、Sn3n，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)若an1an，nN*，求a的取值范圍解(1)依題意，Sn1Snan1Sn3n，即Sn12Sn3n，由此得Sn13n12(Sn3n)，又S131a3(a3)，故數(shù)列Sn3n是首項(xiàng)為a3，公比為2的等比數(shù)列，因此，所求通項(xiàng)公式為bnSn3n(a3)2n1，nN*.(2)由(1)知Sn3n(a3)2n1，nN*，于是，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn13n(a3)2n13n1(a3)2n22×3n1(a3)2n2，當(dāng)n1時(shí)，a1a不適合上式，故anan1an4×3n1(a3)2n22n2，當(dāng)n2時(shí)，an1an12·n2a30a9.又a2a13

6、>a1.綜上，所求的a的取值范圍是9，)(二)數(shù)列綜合問(wèn)題 （數(shù)列與函數(shù)、不等式等知識(shí)的綜合問(wèn)題）6.在數(shù)列an中，a1，an2(n2，nN*)，數(shù)列bn滿足bn(nN*)(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說(shuō)明理由(1)證明an2(n2，nN*)，bn.n2時(shí)，bnbn11.又b1.數(shù)列bn是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列(2)解由(1)知，bnn，則an11，設(shè)函數(shù)f(x)1，易知f(x)在區(qū)間和內(nèi)均為減函數(shù)結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象可得，當(dāng)n3時(shí)，an取得最小值1；當(dāng)n4時(shí)，an取得最大值3.7將數(shù)列an中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多兩項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表

7、：a1a2a3a4a5a6a7a8a9已知表中的第一列數(shù)a1，a2，a5，構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，記為bn，且b24，b510.表中每一行正中間一個(gè)數(shù)a1，a3，a7，構(gòu)成數(shù)列cn，其前n項(xiàng)和為Sn.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)若上表中，從第二行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，公比為同一個(gè)正數(shù)，且a131.求Sn；記Mn|(n1)cn，nN*，若集合M的元素個(gè)數(shù)為3，求實(shí)數(shù)的取值范圍解(1)設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d，則解得所以bn2n.(2)設(shè)每一行組成的等比數(shù)列的公比為q.由于前n行共有135(2n1)n2個(gè)數(shù)，且32<13<42，a10b48，所以a13a10q

8、38q3，又a131，所以解得q.由已知可得cnbnqn1，因此cn2n·n1.所以Snc1c2c3cn，Sn，因此Sn44，解得Sn8.由知cn，不等式(n1)cn，可化為.設(shè)f(n)，計(jì)算得f(1)4，f(2)f(3)6，f(4)5，f(5).因?yàn)閒(n1)f(n)，所以當(dāng)n3時(shí)，f(n1)<f(n)因?yàn)榧螹的元素個(gè)數(shù)為3，所以的取值范圍是(4,5.8.已知正數(shù)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足aSnSn1(n2)，a11.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn(1an)2a(1an)，若bn1>bn對(duì)任意nN*恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)因?yàn)閍SnSn1(n2

9、)，所以aSn1Sn2(n3)，兩式相減得aaSnSn2anan1，所以anan11(n3)又aS2S1，且a11，得aa220，由a2>0，得a22，所以anan11(n2)所以ann.(2)法一bn(1n)2a(1n)n2(a2)n1a，令g(t)t2(a2)t1a，當(dāng)<時(shí)，即a>1時(shí)，g(t)在2，)上為增函數(shù)，且g(1)<g(2)，所以b1<b2<b3<；當(dāng)時(shí)，即a1時(shí)，g(1)g(2)，從而b2b1不合題意所以a>1.法二令bn1bn2n1a2>0，所以a>12n，對(duì)任意nN*恒成立，所以a>1.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

10、1，)9.已知數(shù)列an滿足a11，an12an1(nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)證明：<<(nN*)解：(1)an12an1(nN*)，an112(an1)，an1是以a112為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列an12n.即an2n1(nN*)(2)證明：<，k1,2，n，<.·，k1,2，n，>，<<(nN*)10 已知函數(shù)f(x)axx2的最大值不大于，又當(dāng)x時(shí)，f(x).(1)求a的值；(2)設(shè)0<a1<，an1f(an)，nN*，證明：an<.(1)解由題意，知f(x)axx22.又f(x)max，所以f.所以a

11、21.又當(dāng)x時(shí)，f(x)，所以即解得a1.又因?yàn)閍21，所以a1.(2)證明用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，0<a1<，顯然結(jié)論成立因?yàn)楫?dāng)x時(shí)，0<f(x)，所以0<a2f(a1)<.故n2時(shí)，原不等式也成立假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN*)時(shí)，不等式0<ak<成立因?yàn)閒(x)axx2的對(duì)稱(chēng)軸為直線x，所以當(dāng)x時(shí)，f(x)為增函數(shù)所以由0<ak<，得0<f(ak)<f.于是，0<ak1f(ak)<·<.所以當(dāng)nk1時(shí)，原不等式也成立根據(jù)，知對(duì)任何nN*，不等式an<成立11設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn1

12、a2Sna1，其中a20.(1)求證：an是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列；(2)若a21，求證：Sn(a1an)，并給出等號(hào)成立的充要條件證明(1)由S2a2S1a1，得a1a2a2a1a1，即a2a2a1.因a20，故a11，得a2，又由題設(shè)條件知Sn2a2Sn1a1，Sn1a2Sna1，兩式相減得Sn2Sn1a2(Sn1Sn)，即an2a2an1，由a20，知an10，因此a2.綜上，a2對(duì)所有nN*成立從而an是首項(xiàng)為1，公比為a2的等比數(shù)列(2)當(dāng)n1或2時(shí)，顯然Sn(a1an)，等號(hào)成立設(shè)n3，a21且a20，由(1)知，a11，ana，所以要證的不等式化為：1a2aa(1a)(n3)，即證：1a2aa(1a)(n2)，當(dāng)a21時(shí)，上面不等式的等號(hào)成立當(dāng)1a21時(shí)，a1與a1，(r1,2，n1)同為負(fù)；當(dāng)a21時(shí)，a1與a1，(r1,2，n1)同為正；因此當(dāng)a21且a21時(shí)，總有(a1)(a1)0，即aa1a，(r1,2，n1)上面不等式對(duì)r從1到n1求和得2(a2aa)(n1)(1a)由此得1a2aa(1a)綜上，當(dāng)a21且a20時(shí)，有Sn(a1an)，當(dāng)且僅當(dāng)n1,2或a21時(shí)等號(hào)成立.12如下圖，已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為。從曲線C：上的點(diǎn)作直線平行于x軸，交直線l：于點(diǎn)，再?gòu)狞c(diǎn)作直線平行于y軸，交曲線C于點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列。（1