影院座位設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型

1、 影院座位設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型2002級3班 吳小剛【摘要】：本文在平均視角越大越好的前提下，建立了一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)模型，求出了最佳視角所在位置，提出了進(jìn)一步提高觀眾滿意程度的地板設(shè)計(jì)方案?！娟P(guān)鍵詞】：視角 平均視角 模型 數(shù)學(xué)建摸問題提出：下圖為影院的剖面示意圖，座位的滿意程度主要取決于視角。仰角是觀眾眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線的夾角，是觀眾眼睛到屏幕下邊緣視線與水平線的夾角，視角的大小等于-，c為觀眾平均坐高。 a=3.9m b=2.1m d=4.5m D=19m c=1.1m(1) 地板傾角=10度，問最佳位置在什么地方。(2) 求地板線傾角 （一般不超過20度），使所有觀眾的平均滿意程度最大

2、。(3) 地板線設(shè)計(jì)成什么形狀可以進(jìn)一步提高觀眾的滿意程度。模型假設(shè)：1、觀眾的滿意程度主要取決于視角-，越大越好。 2、觀眾眼睛處于同一斜面，可以在斜面的任意位置。 3、如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)某觀眾的眼睛在此坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（x,y）。 模型建立：根據(jù)題目，結(jié)合模型假設(shè)，有 Y=xtan tan= tan=tan (=模型求解：（1）令f(x)=(d+x)+為增函數(shù)要使tan()最大，即視角最大，只需f(x)最小，為此，我們對f(x)求導(dǎo)f(x)=1+=1+令f(x)=0x= (0x14.5)0x< f(x)>0<x14.5 f(x)<0因此，tan()在x=處取得最

3、大值。將 a=3.9,b=4.5,=10度代入上式，解得x=3.7m綜上，當(dāng)?shù)匕鍍A角=10度時(shí)，最佳座位在離屏幕水平距離為4.5+3.7=8.2m處。（2）假設(shè)相鄰兩排觀眾間的水平距離為1 m，那么觀眾所在位置的橫坐標(biāo)x的取值范圍為0-14.5，x為整數(shù)。下面結(jié)合模型，利用VB語言編寫程序，分別求出地板傾角=1，2，-，20度時(shí)的平均視角，從而找出使得平均視角最大的的值。具體程序見附錄，程序運(yùn)行結(jié)果如下： 結(jié)果分析：從以上數(shù)據(jù)可看出，隨著地板傾角的增大，平均視角也在增大。那么，這是否意味著=20度就是所求結(jié)果呢？當(dāng)然不是，我們還得考慮如下問題：處在最后一排的觀眾的水平視線應(yīng)該位于屏幕中線以下，

4、否則觀眾就得低著頭看電影了，這與實(shí)際不符。我們可用如下數(shù)學(xué)語言來描述這個(gè)問題：假設(shè)最后一排觀眾所在位置的地板高為h，則由題目數(shù)據(jù)及以上分析可得h5-1.8/2-1.1=3m。對于此限制條件，可用VB語言描述，具體程序見附錄，程序運(yùn)行結(jié)果如下： 結(jié)果分析：以上數(shù)據(jù)就是地板傾角在不同取值時(shí)，最后一排所在位置的地板高度，不難看出，當(dāng)?shù)匕鍍A角=12度時(shí)，h3m ，最符合限制條件。綜上，地板的傾角應(yīng)為12度。敏感性分析：由于地板傾角的取值和相鄰兩排座位間的水平距離都是假設(shè)的，因此需要對二者（即t,x）作敏感性分析。首先我們研究地板傾角在12度附近變化時(shí)對平均視角的影響。假設(shè)相鄰兩排座位間的水平距離x不變

5、，利用VB分別求出地板傾角為11.5、12.6、-、12.4、12.5度時(shí)的平均視角，具體程序見附錄，程序運(yùn)行結(jié)果如下： 結(jié)果分析：從以上數(shù)據(jù)可知，當(dāng)?shù)匕鍍A角在12度附近變化時(shí)，對平均視角并無多大影響，這說明對地板傾角的假設(shè)是可用的。下面我們研究相鄰兩排座位間的水平距離改變時(shí)對平均視角的影響。結(jié)合實(shí)際，間距可取為0.7m、0.8m、0.9m.假設(shè)地板傾角不變，利用VB求出不同間距所對應(yīng)的平均視角，具體程序見附錄，程序運(yùn)行結(jié)果如下： 結(jié)果分析：我們可以挑取某一地板傾角對應(yīng)的平均視角進(jìn)行比較，在此以12度為例。 Step( )Step( 1)Step(0.9 )Step(0.8 )Step(0.7

6、 )A(12)2.9048292.9048312.9048332.65224從以上比較結(jié)果可知，相鄰兩排間的水平間距取0.8m為宜。（3）首先證明如下結(jié)論：如圖所示，隨著點(diǎn)A的下降（點(diǎn)A位于點(diǎn)C所在水平線上），逐漸減小。證明：cos=1-隨著點(diǎn)A的下降，a,b都在增大 1-增大，即cos增大又0 90º逐漸減小基于以上結(jié)論，我們可以適當(dāng)升高位于屏幕下邊緣所在水平面以下的座位，從而增大視角和平均視角，進(jìn)一步提高觀眾的滿意程度。地板可設(shè)計(jì)如下： 值得注意的是，ab、cd不能太長，否則位于同一水平面的前排觀眾會影響后排觀眾的視線，不符合題目要求。另外，cd應(yīng)該稍低于屏幕下邊緣所在水平線，否

7、則后排觀眾將不能看到屏幕下邊緣。附 錄Private Sub Form_Click()Dim x%, t%, f!, y!, a(20)Const pi = 3.14f = 0y = 1.8 / (4.5 + x + (16 - 8.2 * (Tan(pi * t / 180) + (Tan(pi * t / 180) 2 * x 2) / (4.5 + x)For t = 0 To 20 For x = 0 To 20 f = f + y Next x a(t) = f / 21Next tFor t = 0 To 18 Step (3) Print "a(" t; &q

8、uot;)" "=" a(t); "a(" t + 1; ")" "=" a(t + 1); "a(" t + 2; ")" "=" a(t + 2) Print Next tEnd SubPrivate Sub Form_Click()Dim y!, x!, t%, h(20)Const pi = 3.14For t = 0 To 20y = 14.5 * Tan(t * pi / 180)h(t) = yNext tFor t = 0 To

9、18 Step (3)Print "h(" t; ")" "=" h(t); "h(" t + 1; ")" "=" h(t + 1); "h(" t + 2; ")" "=" h(t + 2)PrintNext tEnd SubPrivate Sub Form_Click()Dim x%, t!, f!, y!, a(20)Const pi = 3.14f = 0y = 1.8 / (4.5 + x + (16 -

10、 8.2 * (Tan(pi * t / 180) + (Tan(pi * t / 180) 2 * x 2) / (4.5 + x)For t = 11.5 To 12.5 Step (0.1) For x = 0 To 14 f = f + y Next x a(t) = f / 15Next tFor t = 11.5 To 12.5 Step (0.1) Print "a(" t; ")" "=" a(t) Print Next tEnd SubPrivate Sub Form_Click()Dim x%, t%, f!, y

11、!, a(20)Const pi = 3.14f = 0y = 1.8 / (4.5 + x + (16 - 8.2 * (Tan(pi * t / 180) + (Tan(pi * t / 180) 2 * x 2) / (4.5 + x)For t = 0 To 20 For x = 0 To 20 f = f + y Next x a(t) = f / 21Next tFor t = 0 To 18 Step (3) Print "a(" t; ")" "=" a(t); "a(" t + 1; "

12、)" "=" a(t + 1); "a(" t + 2; ")" "=" a(t + 2) Print Next tEnd Sub【參考文獻(xiàn)】：【1】姜啟源 謝金星 葉俊 數(shù)學(xué)模型 高等教育出版社【2】 朱道元 數(shù)學(xué)建模案例精選 科學(xué)出版社Mathematical modeling for theater seat designWu Xiaogang【Abstract】A simple mathematical modeling is set up in view of the average angle of view, a best posit