平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義公開課教案楊振遠(yuǎn)

1、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義教案課題：§2.4.1 平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義教材：（人教A版）數(shù)學(xué)必修4 教者：楊 振 遠(yuǎn)一、教學(xué)目標(biāo)1、了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解數(shù)量積的含義及其物理意義；2、體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，理解掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，并能運(yùn)用性質(zhì)和運(yùn)算律進(jìn)行相關(guān)的判斷和運(yùn)算；3、體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想和方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、推理論證的能力。二、教學(xué)重、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1、平面向量數(shù)量積的含義與物理意義 2、性質(zhì)與運(yùn)算律及其應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：1、平面向量數(shù)量積的概念 2、 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律（2）、（3）的證明三、教學(xué)過程活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)問

2、題情景，引出新課1、提出問題1：請(qǐng)同學(xué)們回顧一下，我們已經(jīng)研究了向量的哪些運(yùn)算？這些運(yùn)算的結(jié)果是什么？期望學(xué)生回答：向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算。 2、提出問題2：請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)回憶，前面我們學(xué)習(xí)了向量的相線性運(yùn)算，即向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算。我們知道這些運(yùn)算有個(gè)共同的特點(diǎn)，就是他們運(yùn)算的結(jié)果仍然是一個(gè)向量，并且這些結(jié)果都有明確的幾何意義，即是一些與平行四邊形的邊、對(duì)角線、三角形的邊以及平行、共線有關(guān)的向量。下面我們一起思考這樣一個(gè)問題。思考：既然平面向量能進(jìn)行加減運(yùn)算，那自然會(huì)想到兩個(gè)向量能否進(jìn)行乘法運(yùn)算？假如能的話那運(yùn)算的結(jié)果又會(huì)是什么呢？ 3、提出問題3：我們?cè)谇懊娴膶W(xué)習(xí)中有沒有接觸過有關(guān)

3、向量乘法之類的運(yùn)算呢？活動(dòng)二：探究數(shù)量積的概念SF1、給出有關(guān)材料并提出問題4：（1）如圖所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S，那么力F所做的功：W= |F| |S| cos。 （2）這個(gè)公式的有什么特點(diǎn)？請(qǐng)完成下列填空：W（功）是 量，F(xiàn)（力）是 量，S（位移）是 量，（3）你能用文字語言表述“功的計(jì)算公式”嗎?期望學(xué)生回答：功是力的大小與位移的大小及其夾角余弦的乘積總之：功是一個(gè)標(biāo)量，它由力和位移兩個(gè)向量來確定，這給我們一個(gè)啟發(fā)：能不能將功看成是這兩個(gè)向量的一種運(yùn)算的結(jié)果呢？為此，引入平面向量的“數(shù)量積”的概念。 2、明晰數(shù)量積的定義（1） 數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，

4、我們把數(shù)量 ·cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：·，即：·= ·cos（2）定義說明：記法“·”中間的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 “規(guī)定”：零向量與任何向量的數(shù)量積為零。3、提出問題5：向量的數(shù)量積運(yùn)算與線性運(yùn)算的結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積大小的因素有哪些？ 期望學(xué)生回答：線性運(yùn)算的結(jié)果是向量，而數(shù)量積的結(jié)果則是數(shù)，這個(gè)數(shù)值的大小不僅和向量與的模有關(guān)，還和它們的夾角有關(guān)。4請(qǐng)問：兩個(gè)非零向量夾角的定義是什么？已知非零向量a與，作a，則（0）叫a與的夾角.給出幾個(gè)簡(jiǎn)單的圖讓學(xué)生判斷向量的夾角說明：（1）當(dāng)0時(shí)，a與同

5、向；（2）當(dāng)時(shí)，a與反向；（3）當(dāng)時(shí)，a與垂直，記a；（4）注意在兩向量的夾角定義中，兩向量必須是同起點(diǎn)的.范圍0°q180°5、學(xué)生討論，并完成下表：的范圍0°<90°=90°0°<180°·的符號(hào)活動(dòng)三：探究數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)1、討論數(shù)量積的運(yùn)算與前面三種線性運(yùn)算的區(qū)別（運(yùn)算的結(jié)果是數(shù)量而不再是向量）。 2、研究數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)取決于與的夾角。 3、探究特性： （=時(shí)的情況）（、為非零向量） 此處可與實(shí)數(shù)進(jìn)行對(duì)比：對(duì)時(shí)而 此特性給我們提供了證實(shí)有關(guān)垂直問題的一個(gè)很好的方法。 此特性給我們提供了很好

6、的求長(zhǎng)度的方法。= 活動(dòng)四：探究數(shù)量積的幾何意義（1）給出向量投影的概念：如圖，我們把cos（cos）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，記做：OB1=cos（2）請(qǐng)作出向量b在a方向上的投影。 說明：投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)q為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)q為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)q為直角時(shí)投影為0；當(dāng)q = 0°時(shí)投影為 |b|；當(dāng)q = 180°時(shí)投影為 -|b|（3）請(qǐng)結(jié)合投影的定義給出向量數(shù)量積的幾何意義？數(shù)量積·等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積?；顒?dòng)五：探究數(shù)量積的運(yùn)算律1、 提出問題7：運(yùn)算律和運(yùn)算是緊密相關(guān)的，類比實(shí)數(shù)運(yùn)算中的運(yùn)算律，

7、探究平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律。師生共同回顧實(shí)數(shù)運(yùn)算中有關(guān)乘法的運(yùn)算律。請(qǐng)學(xué)生自己先寫出有關(guān)的運(yùn)算律：這些運(yùn)算律對(duì)向量是否也適用？預(yù)測(cè)：學(xué)生可能會(huì)提出以下猜想： ·= · （·）= (·) （ + ）· =· + · 2、分析猜想：猜想的正確性是顯而易見的。關(guān)于猜想的正確性，請(qǐng)同學(xué)們先來討論：猜測(cè)的左右兩邊的結(jié)果各是什么？它們一定相等嗎？期望學(xué)生回答：左邊是與向量共線的向量，而右邊則是與向量共線的向量，顯然在向量與向量不共線的情況下猜測(cè)是不正確的。 對(duì)的真假探究可采用分析法引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行：要探究的真假，由數(shù)量積的概念即探究（其中、

8、分別是與、與、與的夾角）的真假。若顯然成立，若即探究的真假。根據(jù)投影的概念可知即探究、在方向上的投影之間的關(guān)系，利用多媒體動(dòng)畫演示易得證。 從而探究出數(shù)量積的運(yùn)算律：滿足交換律，分配律，不滿足結(jié)合律。4、另外，也是一個(gè)重要的性質(zhì)，請(qǐng)同學(xué)們課后證明。在證明時(shí)，學(xué)生可能只考慮到>0的情況,為了幫助學(xué)生完善證明，提出以下問題：當(dāng)<0時(shí)，向量與，與的方向的關(guān)系如何？此時(shí)，向量與及與的夾角與向量與的夾角相等嗎？活動(dòng)五：應(yīng)用與提高例一: 已知|=5. |=4. 與的夾角為120°,求·，（）2 解 練習(xí)：已知在ABC中，a=8，b=7，C=，求例二判斷正誤，并簡(jiǎn)要說明理由 ； 0·0； 對(duì)任意向量，都有若，則 例三.已知|=6. |4，當(dāng)與的夾角是60°時(shí)，求，讓學(xué)生獨(dú)立完成，當(dāng)學(xué)生在求時(shí)遇到困難時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生注意與之間的關(guān)系：解： = =-72= = =76=例四：已知|=3,| |=4,且與不共線，k為何值時(shí)，向量+k與-k互相垂直？分析：+k與-k垂直，即證（+k）·（-k）=0解：若向量+k與-k互相垂直 則（+k）·（-k）=0 活動(dòng)六：小結(jié)1、本節(jié)課我們學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么？2、平面向量的