Note線(xiàn)性離散控制系統(tǒng)的分析與綜合

1、第8章線(xiàn)性離散控制系統(tǒng)的分析與綜合8.1引言隨著微處理器和微計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和發(fā)展，數(shù)字控制器在系統(tǒng)中逐漸取代模擬控制器，成為控制系統(tǒng)的一個(gè)重要的組成部分，并得到了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。在控制系統(tǒng)中，只要任何一個(gè)環(huán)節(jié)為采樣開(kāi)關(guān)或數(shù)字元器件，或者只要某處采集、傳輸或加工處理的信號(hào)是離散型的時(shí)間函數(shù)，則稱(chēng)該系統(tǒng)為離散時(shí)間控制系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱(chēng)離散控制系統(tǒng)或采樣控制系統(tǒng)。若離散信號(hào)為脈沖序列， 則稱(chēng)為脈沖控制系統(tǒng)； 若離散信號(hào)為數(shù)字序列， 則稱(chēng)為數(shù)字控制系統(tǒng)或計(jì)算機(jī)控 制系統(tǒng)。由于在離散控制系統(tǒng)中出現(xiàn)了離散型的信號(hào)，前面各章所介紹的適用于連續(xù)控制系統(tǒng)的各種分析和綜合方法，在這里已不再適用，所以，必須另辟蹊徑，尋求新

2、的分析和綜合方法，這正是本章所面臨的 主要任務(wù)和所要介紹的主要內(nèi)容。8.2離散信號(hào)和離散控制系統(tǒng)前面各章介紹了連續(xù)控制系統(tǒng)理論，本章將介紹離散控制系統(tǒng)理論。離散控制系統(tǒng)與連續(xù)控制系統(tǒng)之間的根本區(qū)別在于：在連續(xù)控制系統(tǒng)中的輸入信號(hào)r(t)、反饋信號(hào)b(t)和偏差信號(hào)e(t)都是連續(xù)型的時(shí)間函數(shù)；而在離散控制系統(tǒng)中則不然，在一般情況下，由于輸入信號(hào)是離散型的時(shí)間函數(shù)，記為 r*(t)，所以，取自系統(tǒng)輸出端的反饋信號(hào)，在和上述離散型輸入信號(hào)進(jìn)行比較時(shí)，也需要采用離散型的時(shí)間函數(shù)，記為 b(t)，這樣，比較后得到的偏差信號(hào)就是離散型的時(shí)間函數(shù)，記為e(t)，于是e (t)汀(t)-b*(t)因此，在離

3、散控制系統(tǒng)中，通過(guò)控制器對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行控制的直接控制作用乃是離散型的偏差信號(hào)e (t)。上述離散控制系統(tǒng)的方框圖如圖8-1所示。在圖8-1中，離散型的反饋信號(hào) b (t)是由連續(xù)型的反饋信號(hào) b(t)通過(guò)采樣開(kāi)關(guān)的采樣而獲得的。采樣開(kāi)關(guān)經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間間隔T重復(fù)閉合，每次閉合的持續(xù)時(shí)間為T(mén),且有T T，如圖8-2所示。圖8-2離散反饋信號(hào)圖8-3離散控制系統(tǒng)簡(jiǎn)化方框圖在離散控制系統(tǒng)中，采樣開(kāi)關(guān)重復(fù)閉合的時(shí)間間隔 T稱(chēng)為采樣周期，而分別稱(chēng)為采樣頻率和采樣角頻率。連續(xù)型時(shí)間信號(hào)經(jīng)過(guò)采樣開(kāi)關(guān)采樣后，變成重復(fù)周期等于采樣周期T的時(shí)間序列信號(hào)，該時(shí)間序列信號(hào)通常在連續(xù)型時(shí)間函數(shù)的右上角標(biāo)“*”號(hào)來(lái)表示，如

4、r*(t)，b(t)，e (t)等。在圖8-1中，兩個(gè)采樣開(kāi)關(guān)的動(dòng)作通常是同步的，所以，圖8-1所示的離散控制系統(tǒng)的方框圖可以等效地簡(jiǎn)化成如圖8-3所示。離散控制系統(tǒng)的應(yīng)用非常廣泛，可以在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和軍事工程中找到許多應(yīng)用的實(shí)例。通常，離散控制系統(tǒng)的組成結(jié)構(gòu)如圖8-4所示。但是，離散控制系統(tǒng)的最常見(jiàn)的形式卻是如圖8-5所示的數(shù)字控制系統(tǒng)，又稱(chēng)為計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)。圖8-4離散控制系統(tǒng)方框圖圖8-5數(shù)字控制系統(tǒng)方框圖由圖8-5可知，數(shù)字控制系統(tǒng)是指其中含有數(shù)字控制器或數(shù)字計(jì)算機(jī)的離散型控制系統(tǒng)。它包括工作在離散狀態(tài)下的數(shù)字計(jì)算機(jī)(或?qū)Ｓ脭?shù)字控制器)和工作在連續(xù)狀態(tài)下的被控對(duì)象兩大部分。數(shù)字計(jì)算機(jī)或數(shù)

5、字控制器，構(gòu)成控制系統(tǒng)的數(shù)字部分，通過(guò)這部分的信號(hào)是以離散形式出現(xiàn)的；而被控對(duì)象通常用Gp(S)或G(9表示，它是系統(tǒng)的不可變部分，是構(gòu)成控制系統(tǒng)連續(xù)部分的主體，通過(guò)這部分的信號(hào)是以連續(xù)形式出現(xiàn)的。在數(shù)字控制系統(tǒng)中，由于具有連續(xù)時(shí)間函數(shù)形式的被控信號(hào)c(t)(模擬量)，受控于具有離散時(shí)間 函數(shù)形式的控制信號(hào) u (t)(數(shù)字量)，所以，這中間就需要有將連續(xù)的模擬信號(hào)與離散的數(shù)字信號(hào)之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換的環(huán)節(jié)。通常，將連續(xù)的模擬信號(hào)變換成離散的數(shù)字信號(hào)的轉(zhuǎn)換環(huán)節(jié)，稱(chēng)為模/數(shù)轉(zhuǎn)換器，簡(jiǎn)稱(chēng)A/D轉(zhuǎn)換器；而將離散的數(shù)字信號(hào)變換成連續(xù)的模擬信號(hào)的轉(zhuǎn)換環(huán)節(jié)，稱(chēng)為數(shù)/模轉(zhuǎn)換器，簡(jiǎn)稱(chēng) D/A轉(zhuǎn)換器。數(shù)字計(jì)算機(jī)通過(guò)這兩

6、種轉(zhuǎn)換器與外部發(fā)生聯(lián)系，故稱(chēng)A/D轉(zhuǎn)換器與D/A轉(zhuǎn)換器為計(jì)算機(jī)的接口通道或外圍設(shè)備。在圖8-5所示的數(shù)字控制系統(tǒng)中，信號(hào)的測(cè)量、變換、加工處理和傳遞過(guò)程為：連續(xù)的被控信號(hào)c(t)經(jīng)反饋環(huán)節(jié)(測(cè)量元件)反饋到輸入端，與控制信號(hào)r(t)相比較，得到連續(xù)的偏差信號(hào)e(t)，再經(jīng)過(guò)a/d轉(zhuǎn)換器后，變換成離散的數(shù)字偏差信號(hào)e (t)。 e (t)經(jīng)過(guò)數(shù)字計(jì)算機(jī)的加工處理，變換成離散的數(shù)字控制信號(hào)u(t)，u (t)經(jīng)過(guò)D/A轉(zhuǎn)換器，變換成連續(xù)的模擬控制信號(hào) uh(t)，再經(jīng)過(guò)被控對(duì)象去控制系 統(tǒng)的被控制信號(hào)C(t)。數(shù)字控制系統(tǒng)在自動(dòng)控制領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，其主要原因是由于數(shù)字控制系統(tǒng)與連續(xù)控制系統(tǒng)相

7、比較，具有如下一些特點(diǎn)：1數(shù)字控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，能實(shí)現(xiàn)多路控制，且可以采用多種不同的控制規(guī)律；2信號(hào)的檢測(cè)精度、轉(zhuǎn)換精度和控制精度可以做得很高；3由于采樣信號(hào)或數(shù)字信號(hào)抗干擾能力強(qiáng)，可實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)距離傳輸；4. 可以實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的控制過(guò)程，如最優(yōu)控制、隨機(jī)控制、預(yù)測(cè)控制、自適應(yīng)控制和智能控制等，并 可實(shí)現(xiàn)控制與管理一體化；5. 體積小，重量輕，成本低。綜上所述，由于離散控制系統(tǒng)，特別是數(shù)字控制系統(tǒng)具有一系列的優(yōu)點(diǎn)，其應(yīng)用已深入到各個(gè)領(lǐng)域，所以，離散控制系統(tǒng)理論的研究越來(lái)越受到人們的重視，并取得了豐富的成果。本章主要介紹采樣過(guò)程與采樣定理，Z變換，離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型、穩(wěn)定性分析、穩(wěn)態(tài)誤差、動(dòng)態(tài)響應(yīng)和離

8、散控制系統(tǒng)的 校正等。8.3采樣過(guò)程與采樣定理采樣過(guò)程及其數(shù)學(xué)描述1 采樣過(guò)程實(shí)現(xiàn)離散控制所遇到的首要問(wèn)題，就是如何將連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)換為離散信號(hào)的問(wèn)題。按一定的時(shí)間間隔 T對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行采樣，并轉(zhuǎn)換為相應(yīng)離散信號(hào)的過(guò)程稱(chēng)為采樣過(guò)程。實(shí)現(xiàn)采 樣過(guò)程的裝置稱(chēng)為采樣裝置或采樣器。8-6(b)采樣裝置可以利用一個(gè)周期性閉合與斷開(kāi)的開(kāi)關(guān)來(lái)實(shí)現(xiàn)，故采樣裝置又稱(chēng)為采樣開(kāi)關(guān)，如圖所示。若圖8-6(a)所示的連續(xù)信號(hào)e(t)加在采樣開(kāi)關(guān)的一端，而采樣開(kāi)關(guān)以一定的規(guī)律閉合與斷開(kāi)，則 在采樣開(kāi)關(guān)的另一端便得到離散信號(hào) e(t)，如圖8-6(c)所示。采樣開(kāi)關(guān)閉合與斷開(kāi)一次的所需的時(shí)間稱(chēng)為采樣周期，記為T(mén)，每次閉合持續(xù)的

9、時(shí)間稱(chēng)為采樣持續(xù)時(shí)間，記為T(mén)。由于采樣持續(xù)時(shí)間t通常遠(yuǎn)小于采樣周期 T,也遠(yuǎn)小于系統(tǒng)連續(xù)部分的時(shí)間常數(shù)，因此,在分析研究離散系統(tǒng)時(shí)，可以近似認(rèn)為t趨近于0,即認(rèn)為采樣是瞬間完成的。于是，采樣開(kāi)關(guān)每閉合一次，就得到連續(xù)信號(hào) e(t)的某一時(shí)刻kT的值e(kT)，如圖8-6(d)所示。這樣的采樣開(kāi)關(guān)稱(chēng)為理想采 樣開(kāi)關(guān)，以后所說(shuō)的采樣開(kāi)關(guān)就是指理想采樣開(kāi)關(guān)，它相當(dāng)于一個(gè)理想的單位脈沖序列發(fā)生器，能夠產(chǎn)生一系列單位脈沖。根據(jù)采樣開(kāi)關(guān)閉合的規(guī)律，可以將采樣過(guò)程進(jìn)行分類(lèi)：(1) 如果采樣開(kāi)關(guān)采樣的時(shí)間間隔是固定不變的，則稱(chēng)為均勻采樣或周期采樣。(2) 如果采樣開(kāi)關(guān)采樣的時(shí)間間隔是變化的，則稱(chēng)為非均勻采樣或

10、非周期采樣。(3) 如果采樣開(kāi)關(guān)采樣的時(shí)間間隔是隨機(jī)的，則稱(chēng)為隨機(jī)采樣。(4) 在一個(gè)離散系統(tǒng)中，可能存在多個(gè)采樣開(kāi)關(guān)。如果系統(tǒng)中所有的采樣開(kāi)關(guān)均同時(shí)采樣，則稱(chēng) 為同步采樣，否則稱(chēng)為異步采樣。(5) 如果系統(tǒng)中所有采樣開(kāi)關(guān)都是周期采樣，但采樣周期不同，則稱(chēng)為多速采樣或多種周期采樣。 下面只研究同步周期采樣過(guò)程。2 采樣信號(hào)的數(shù)學(xué)描述為了對(duì)離散系統(tǒng)進(jìn)行定性和定量研究，就必須利用數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)描述信號(hào)的采樣過(guò)程，并研究采樣信號(hào)的性質(zhì)。下面首先研究采樣信號(hào)的表達(dá)式。當(dāng)采樣開(kāi)關(guān)的輸入信號(hào)為連續(xù)信號(hào)e(t)時(shí)，經(jīng)過(guò)采樣開(kāi)關(guān)采樣后， 在其輸出端就得到離散信號(hào)序列e(kT),k =1,2/ o若以e (t)表

11、示采樣信號(hào)，則有ode (t) = e(kT)、(t_kT)k0其中(t -kT )為單位脈沖函數(shù)，又稱(chēng)為克勞奈克(Croneck)函數(shù)，即5 (t _ kT )= J = kT0,t 式 kT所以，式(8-1)寫(xiě)可以為oOQOoOe (t)二 e(kT)、(t-kT)e(t)、(t - kT) =e(t) 、(t - kT)k=0k=0k=0若定義、T(t) = 、(t _ kT)k=0則有e (t) =e(t)、T(t)(8-1)(8-2)采樣信號(hào)的脈沖調(diào)制過(guò)程dJ 尹r!0t由式(8-2)可知，采樣過(guò)程相當(dāng)于一個(gè)脈沖調(diào)制過(guò)程，如圖8-7所示。式(8-1)或式(8-2)就是采樣信號(hào)的數(shù)學(xué)表

12、達(dá)式。對(duì)式(8-1)進(jìn)行拉氏變換，得QOoOQO - - - kTsE (s)二 Le 二 Le(kT)、(t kT)工嘉 e(kT)L、(t 一 kT)=為 e(kT)e (8-3)k=0k=0k=0式(8-3)是采樣信號(hào)e (t)的拉氏變換表達(dá)式。后面將由式(8-3)建立Z變換與拉氏變換之間的重要聯(lián)系。下面再對(duì)式(8-2)進(jìn)行拉氏變換，可以得到采樣信號(hào)e (t)拉氏變換的另一種形式的表達(dá)式。因?yàn)門(mén)(t)是以T為周期的周期性時(shí)間函數(shù)，所以，可以展開(kāi)成復(fù)數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù)(8-4)、：T(t)二 Ckejstk :其中，S =2二/T為采樣角頻率,Ck由下式計(jì)算1- T 2r ； T (t)e_

13、jk stdtT :1-Ar (t-kT)estdt|k=0(8-5)將式(8-5)代入式(8-4)，得odz1 ejk stT(8-6)將式(8-6)代入式(8-2)，得e (t)lejk st =丄：e(t)ejk stT k(8-7)對(duì)式(8-7)進(jìn)行拉氏變換，得- 1 E (s)二 Le (t)二 L v e(t)ejk st二一 Le(t)ejk FT k eT k Jon設(shè)E(s)二Le(t)，則由拉氏變換的位移定理，得A OQE (s)二 L E(s jk s)(8-8)T k 二式(8-8)稱(chēng)為泊松(Poisson)求和公式，因?yàn)樵撌教峁┝死硐氩蓸娱_(kāi)關(guān)在頻域內(nèi)的十分有用的信息，

14、所以它在描述采樣過(guò)程性質(zhì)方面是非常重要的。另外，式(8-8)還將采樣信號(hào)e (t)的拉氏變換E (s)與連續(xù)信號(hào)e(t)的拉氏變換E(s)緊密地聯(lián)系起來(lái)了，由此可以直接從E(s)求出 E (s)。F面將會(huì)看到，由于 E (s)是s的周期函數(shù)，可以對(duì) e (t)進(jìn)行頻譜分析，也可以清楚地看到頻譜混疊現(xiàn)象及其影響。832采樣定理由于采樣定理給出了從采樣后的離散時(shí)間信號(hào)恢復(fù)到原連續(xù)時(shí)間信號(hào)時(shí)所必需的最低頻率，所以在分析研究離散控制系統(tǒng)之前，應(yīng)該首先介紹它。在式(8-8)中，如果E (S)不含有S右半平面的極點(diǎn)，則可令 S = j ,可直接得到采樣信號(hào) e (t)的傅 氏變換1 cdE (j ) =-

15、 Ej(k s)(8-9)T k-oo其中E(j )為連續(xù)信號(hào)e(t)的傅氏變換。* *式(8-9)即為采樣信號(hào)e (t)的頻譜E (j )的表達(dá)式，它反映了離散信號(hào)的頻譜E (j )與連續(xù)信號(hào)的頻譜E(j )之間的關(guān)系。在一般情況下，連續(xù)信號(hào)e(t)的頻譜是單一孤立的頻譜，其帶寬是有限的，即上限頻率為有限值max，如圖8-8(a)所示；而離散信號(hào)e*(t)的頻譜|E*(j )|則具有以S為周期的無(wú)窮多個(gè)頻譜,如圖8-8(b)所示(b)圖8-8連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)的頻譜* 1由式(8-9)可知，在離散信號(hào)的頻譜|E (j )|中，當(dāng)k=0時(shí)，所對(duì)應(yīng)的部分 -|E(j ) |稱(chēng)為主頻譜,它與連續(xù)信

16、號(hào)的頻譜| E( j ) |的形狀相同，僅在幅值上變化了1T 。除了主頻譜之外，|E*(j)|中還包 含無(wú)窮多個(gè)高頻頻譜。這是由于信號(hào)采樣引起的。為了準(zhǔn)確地復(fù)現(xiàn)連續(xù)信號(hào) e(t)，必須使采樣后的離散信號(hào) e (t)的頻譜|E (j ) |彼此不相重疊，這 樣，就可以利用一個(gè)比較理想的低通濾波器濾掉全部的高頻頻譜分量，保留主頻譜。圖8-9理想濾波器頻率特性由圖8-8可見(jiàn)，相鄰頻譜不相重疊的條件是 s -2 max(8-10)如果滿(mǎn)足式(8-10)的條件，并將采樣后的離散信號(hào)e (t)加到如圖8-9所示的理想濾波器上，則在濾波器的輸出端就可不失真地復(fù)現(xiàn)原來(lái)的連續(xù)信號(hào)e(t)，但幅值縮小了 1 T倍。如果.s 2 max，則會(huì)出現(xiàn)圖 8