幾種典型帶電體的場強(qiáng)和電勢公式

1、幾種典型帶電體的場強(qiáng)和電勢 公式作者:日期:幾種電荷分布所產(chǎn)生的場強(qiáng)和電勢1、均勻分布的球面電荷（球面半徑為R,帶電量為q）E（r）二一4兀名0 rE（r） =0 0電場強(qiáng)度矢量:（球面外，即r . R）（球面內(nèi)，即r : R）電勢分布為:1 qU r4江 g 0 r1 qU r 巴4兀名0 R， （球外）0 （球內(nèi)）2、均勻分布的球體電荷（球體的半徑為 R,帶電量為q）E(r)=丄翌4二；o R3 1 qr0電場強(qiáng)度矢量：丨 E（r）= 4“or3U(r)=43電勢分布為：dUr =丄“R3（球體內(nèi)，即r : R）（球體外，即r R），（r R即球外）8二；。3、均勻分布的無限大平面電荷（電

2、荷面密度為 （T ）-。（r : R即球內(nèi)）電場強(qiáng)度矢量：E（x）（_i）（平板兩側(cè)的場強(qiáng)與距 離無關(guān)。）2%電勢分布為:其中假設(shè)ro處為零電勢參考點(diǎn)。若選取原點(diǎn)（即帶電平面）為零電勢參考點(diǎn)。即U。=0那么其余處的電勢表達(dá)式為:U xx2%U x x2%x -04、均勻分布的無限長圓柱柱面電荷（圓柱面的半徑為R,單位長度的帶電量為入。）電場強(qiáng)度矢量E(r)2 , (r - R,即在柱面外)-2江 rE(r) =0 0(r : R,即在柱面內(nèi))rfaRfao其中假設(shè)fa處為零電勢參考點(diǎn)。且fa處位于圓柱柱面外部。（即fa F）。若選取帶電圓柱柱面處為零電勢參考點(diǎn)（即 U（R）=0 ）。那么，其余

3、各處的電勢表達(dá)式為:U r 1=00 _ r _ R即在圓柱面內(nèi)U rln -r _ R即在圓柱面外2 二；o R電場強(qiáng)度矢量:E r 二E r 二5、均勻分布的無限長帶電圓柱體（體電荷密度為 p、半徑為Ro）P -r2 ；o工電勢:U r =一一RR2坯4 ；02 ；r2圓柱體內(nèi)其中假圓柱體外設(shè)圓柱體軸線處為零電勢參考點(diǎn)。即 U r = 0 =06、均勻分布的帶電圓環(huán)（帶電量為q ;圓環(huán)的半徑為R。）在其軸線上x處的 電場強(qiáng)度和電勢電場強(qiáng)度矢量：E（x）=1qX一 x0。其中x0為軸線方向的單位4兀 % （x2+r2）2 矢量。討論:(a)當(dāng) x n R 或 X -時(shí)Ep(x)二qi此時(shí)帶電

4、圓環(huán)可視為點(diǎn)電荷進(jìn)行處理。（b）當(dāng)x：R或x 0時(shí) Ep（0）=0 。即,帶電圓環(huán)在其圓心處的電場強(qiáng)度為零。電勢：U x二1q一.。其中電勢的零參考點(diǎn)位于無窮遠(yuǎn)處。亦 % （x2+R2）2帶電圓環(huán)在其圓心處的電勢為:U(x)x=04二；R7、均勻分布的帶電直線(其中，線電荷密度 入，直線長為I )(1) 在直線的延長線上，與直線的端點(diǎn)距離為 d的P點(diǎn)處：電場強(qiáng)度矢量:E p di4兀 d(l +d )4兀丄一丄id I dU p dIn 1 d4 兀 od(2) 在直線的中垂線上，與直線的距離為 d的Q點(diǎn)處: 電場強(qiáng)度矢量為：UQd =n4 二；oInI 、I2_4d2_2 4d2(3) 在直

5、線外的空間中任意點(diǎn)處：電場強(qiáng)度矢量：Er =Exi Eyj其中：Ex =一(Si nS - Si nd )4兀 0EyCost -Cosp4二；0或者改寫為另一種表示式： 即：(r,z) = Er+ Ezk。其中：01r 皿)fr /2ijO巨fd僅幾l4兀名d12丿電勢：丸2I -,j 。4 二；o d . 12 4d2電場強(qiáng)度矢量：EPdJodd0 或-飛昇。Er r4 二 -1Ez1*2 l 22 l 2(z 2)r (z 2) r (z 2)4 二；or2 +(z 丄)22（z 2）2電勢:UpIn4 二；oz+ +Jr2 +(z +丄)22 1 2（4）若帶電直線為無限長時(shí),那么，與

6、無限長帶電直線的距離為d的P點(diǎn)處:電勢：UpdIn屯 或UprIn 。其中假設(shè)do或（r。）2兀呂0 d2兀Sq r為電勢的零參考點(diǎn)。（5）半無限長帶電直線在其端點(diǎn)處：（端點(diǎn)與帶電直線的垂直距離為d）電場強(qiáng)度矢量：E= Exi+Eyj。其中Ex=Ey=-一。4兀8、電偶極子P的電場強(qiáng)度和電勢（1）在電偶極子的延長線上x處：其中（X 1）電場強(qiáng)度矢量：EW或爲(wèi)。電勢：U x2或 Ur2 。4兀軌x4兀名0 r電場強(qiáng)度矢量:EyF y3電勢：u（yq+丸=04兀 Jr丿-q 0 +9在電偶極子的中垂線上y處：其中（丫 1）（3）在空間中任意點(diǎn)r處：其中（r I） 電場強(qiáng)度矢量：（采用平面極坐標(biāo)系）

7、更口0r方向?yàn)?二arctg旦二tg Er。其中為E與r0之間的夾角。I電勢：U r = 1%如1 Pr。電場強(qiáng)度矢量的另一種表達(dá)式為:E 二4二；0r式中:? r0為矢徑r方向的單位矢量。上式電場強(qiáng)度矢量的表達(dá)式就是將電場強(qiáng)度E矢量分解在電偶極矩Pe和矢徑r的方向上?？梢宰C明：該表達(dá)式與電場強(qiáng)度的平面極坐標(biāo)表達(dá)式是相等的。 若采用二維笛卡爾坐標(biāo)系（平面直角坐標(biāo)系）：因?yàn)楦魑锢砹恐g的關(guān)系為：r2=x2 y2 ，Cost -r所以電勢的表達(dá)式為: 1U r0 x2 y2 32Px2而電場強(qiáng)度的表達(dá)式為:E =Exi Eyj其中:Ex.:U 1:x4 二；P 2x2 - y2 x2 y252，E

8、y;:U3Pxy 0-：y 4： p x2 y21 Pi、4x22E = E； E；茶4二；。x2 y2若采用三維笛卡爾坐標(biāo)系（即三維直角坐標(biāo)系）則有如下關(guān)系式:其大小為:r2 =x2 y2 Z，E x2 y2z2。那么，電勢的表達(dá)式為:X / x2 ；Z232 而電場強(qiáng)度的表達(dá)式為:E 二 ExiEyjEzk 0其中:其大小為E ： P2 3Cos爲(wèi)1 ，!4兀 s0r9、帶電圓盤在其軸線上距離圓心為 x點(diǎn)處：電場強(qiáng)度矢量：Ep(x)=m 1-。2 Jx2+R2 丿對上式結(jié)果進(jìn)行討論：(a) 當(dāng) x R 或 x 時(shí) Ep(x)q2 i 或 Ep(r) q 2 r4兀名ox4兀名r此時(shí)帶電圓盤可視為點(diǎn)電荷進(jìn)行處理。(b) 當(dāng)x ；： R或x 0時(shí)，則E(x)i 。即此時(shí)帶電圓盤可視為無限2大帶電平板進(jìn)行處理。電勢：U p(x)R2 x2 X 。2呂。帶電圓盤在其圓心處附近處的電