分段線性插值

1、摘要用函數(shù)來表示變量間的數(shù)量關系廣泛應用于各學科領域， 但是在實際問 題中，往往是通過實驗、觀測以及計算等方法，得到的是函數(shù)在一些點上 的函數(shù)值。如何通過這些離散數(shù)據(jù)找到函數(shù)的一個滿足精度要求且便于使 用的近似表達式，是經(jīng)常遇到的問題。對于這類問題我們解決的方法為插值法，而最常用也最簡單的插值方 法就是多項式插值。 當然用插值法得到的近似表達式必須滿足插值條件即 假設給定了 n+1 個點的自變量的值以及函數(shù)值， 近似函數(shù)必須要過這 n+1 個點。多項式插值，從幾何角度看，就是尋求 n次代數(shù)曲線y=Pn (x )通 過n+1個點作為f (x)的近似。但是隨著插值節(jié)點個數(shù)的增加，高次插值多項式的近

2、似效果并不理想。 根據(jù)大量實驗得出，在進行高次多項式插值時，會出現(xiàn)龍格現(xiàn)象。龍格( Runge )現(xiàn)象即當 n 趨于無窮大時， x 在某一鄰域內 ,f(x) 收斂，而在這 個區(qū)域外 f(x) 發(fā)散。因此，為了解決這樣的一個問題，我們可以通過縮小插值區(qū)間的辦法 達到減小誤差的目的， 所以本實驗將針對低次分段插值多項式來做具體的 討論和學習。關鍵詞：龍格現(xiàn)象分段差值1、實驗目的1) 通過對分段線性插值算法程序的編寫，提高自己編寫程序的能力2) 體會分段線性插值是如何消除龍格現(xiàn)象的。3) 用實驗報告的形式展現(xiàn)，提高自己在寫論文方面的能力2、算法理論設?= ?(?)在節(jié)點a = ?0 < ?1

3、< ? < ? = ?處的函數(shù)值為y ?=?(?),i=0,1, ?,n。為了提高近似程度，可以考慮用分段線性插值來逼近原函數(shù)，這時的插值函數(shù)為分段函數(shù)：S1(?),? ?o,?1?(?) = S2(?),? ?1,?2?s?(?),? ?-1,?在區(qū)間?_ 1,?上的線性函數(shù)為?(?) = ? ?_ 1?_ ?_ 1 - ?_ ?_ 1 ?二丄?_ ?_ 1?= 1 2 ? ?誤差為:R?(?)=?(?) - S?(?)?'' (?)- 2!(?- ?_1)(?_ ?),?_ 1 < ?< ?易見，?(?)是平面上以點(? , ?)(?= 0,1,2,

4、? ,?)為節(jié)點的折線,有如下的特點:1. ?(?)在?-1,?上為次數(shù)不超過一次的多項式；2. ?(?) ?,?;3. ?(?) ?1?-1,?；如果fx) ?2?,?,由線性插值的誤差公式得到|?'' (?) |1?(?)1 =尹丄 1(?- ?-1)(?- ?)I1maxmax< 2 ?_,? I?(?) I ?-：%? I( ?- ?-1)(? - ?)I令？?？= ?1 <?<? |?'' (?)|,則有|?'' (?) |I?(?)I =I(?- ?-1)(?- ?)I1max< 2 ?_,? I?(?)I?J

5、a?I(?- ?-1)(?- ?)I? 12?2=(? -?-1)=?, ?=? -?-12 48關于整體誤差：?(?) = ?(?) - ?(?) 丿 丿 丿可以按如下方式考慮，若記M = 1俘?？ ,?= 1品?？，則對任一x ?,?都有1?(?) - ?(?) - ?(?) w 1 <m?aj? i?i?1 1 <?aw>?i?i2? cw ?28 -于是，當h -0,時R (x) -0，說明分段線性插值？?(？?)收斂于？?(?)3、數(shù)值算例已知點坐標如下表所示:Xi0.50.70.91.11.3yi0.45790.6440.7830.8910.964用分段線性插值法

6、，求解當x為0.8時，對應y的值解：具體程序如下所示:#i nclude "stdafx.h" float Fdline(float x,float y,float x1,int len)int i=0;float s=0;for(i=0;i<len-1;i+)if(x1>=xi && x1<xi+1)break;s=(x1-xi)/(xi-1-xi)*yi-1+(x1-xi-1)/(xi-xi-1)*yi; return s;float Fdline(float x,float y,float x1,int len);void main(

7、)float x=0.5,0.7,0.9,1.1,1.3;float y=0.479,0.644,0.783,0.891,0.964;int len=sizeof(x)/sizeof(x0);float x1=0;float s=0;printf("請輸入要求解的x1的值:n");scan f("%f", &x1);s=Fdli ne(x,y,x1,le n);printf("經(jīng)過分段三次Hermite插值的結果為:n");prin tf("%fn",s);運行結果:fsi F：W i nd aws5ystem 3 2cin d.請輸入要求解的幻的值：D.8經(jīng)過分段三次Hermite插值的結果為;0.72&500請按任意鍵繼續(xù)5 、對結果進行分析根據(jù)分段線性插值的原理，可以看出分段線性插值雖然有很好的收