《非線性電力系統(tǒng)分析講義》

1、非線性電力系統(tǒng)分析與控制講義甘德強從本質(zhì)上講，電力系統(tǒng)是一個大規(guī)模的動態(tài)系統(tǒng)。給北美經(jīng)濟帶來數(shù)百億美元損失的2003夏季美加大停電就是一個復雜的動態(tài)過程。因此，無論是在上個世紀的管制時代，還是在現(xiàn)在的市場運行時代，電力系統(tǒng)穩(wěn)定都是電力 系統(tǒng)工程師們最關(guān)心的主題之一。例如，小干擾穩(wěn)定，暫態(tài)穩(wěn)定性，電壓穩(wěn)定性，中長期穩(wěn)定性和頻率穩(wěn)定等等動 態(tài)問題都是電力系統(tǒng)運行和規(guī)劃必需考慮的。這些問題的數(shù)學模型和分析方法也是電力系統(tǒng)自動化專業(yè)研究生應當 適當了解或者掌握的。除小干擾穩(wěn)定外，上述穩(wěn)定性問題都具有非線性的動力學特征。電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的傳統(tǒng)課程和教材重視穩(wěn)定性分析的建模和數(shù)值分析方法，而較少涉及穩(wěn)定

2、性問題的非線 性動力學基本特征。本課程旨在向?qū)W生介紹這方面的知識，為研究生進一步深入研究電力系統(tǒng)穩(wěn)定性問題奠定基礎。經(jīng)過本課程學習，學生應當能夠理解相關(guān)電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析文獻，并運用基本的非線性系統(tǒng)理論分析電力系統(tǒng)穩(wěn) 定性問題。講義為大學電力系統(tǒng)專業(yè)研究生使用。課程要求學生完成課外練習，閱讀相關(guān)文獻，編寫期末綜述報告，并通 過期末考試。預修課程包括線性代數(shù)，高等數(shù)學，電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的基礎課程（如馬大強著，或者王錫凡-方 萬良-杜正春著）和現(xiàn)代控制理論（如豹著） 。課程還根據(jù)研究課題的需要，靈活的修訂教學容比如補充介紹廣義系統(tǒng)分析，奇異攝動理論或者混雜系統(tǒng)等 容，以便保持與學科發(fā)展同步，為科

3、研創(chuàng)造有利條件。在編選講義的過程中，我們主要使用了下列參考文獻：1. H. K. Khalil, Nonlin ear Systems , seco nd editio n, 19962. S. Sastry, Nonlin ear Systems, Sprin ger-Verlag, New York, 19993. M. Vidyasagar, Non li near Systems An alysis, Second Editi on, Pren tice-Hall, I nc., En glewood Cliffs,NJ, USA, 1993目錄一概論 31. 1平面線性系統(tǒng) 31 2

4、非線性系統(tǒng) 5參考文獻 7二. 常微分方程基本定理 72. 1數(shù)學基礎 72. 2解的存在唯一性 102. 3解對初值的連續(xù)性 13參考文獻 13三. 穩(wěn)定性理論 133. 1自治系統(tǒng)平衡點穩(wěn)定性 143. 2自治系統(tǒng)中心流形 213. 3自治系統(tǒng)穩(wěn)定域 223. 4自治系統(tǒng)全局穩(wěn)定性和有界性 243. 5非自治系統(tǒng)穩(wěn)定性 25練習 26四. 微分代數(shù)方程 27五. 暫態(tài)穩(wěn)定分析和預防控制 276.1數(shù)學模型 276.2仿真法 286.3直接法 286.4暫態(tài)穩(wěn)定預防控制 28參考文獻 28符號說明 29研究生課程教學大綱 29概論1. 1平面線性系統(tǒng)考慮下述天然“解耦”的平面系統(tǒng):1，或者采

5、用矩陣形式:：2 2x210x102x2系統(tǒng)的解為:X(t)X2(t)Xi(0)e 1 x2 (0)e2t或者采用矩陣形式:Xi(t)et 0Xi(0)X2(t)0e2tX2(0)注意解曲線滿足關(guān)系:Xi2X2為(0)X2(0)Xi,X2組成了所謂 相平面，上述關(guān)系可以采用 相圖表示，如下圖。圖線性系統(tǒng)的相圖當一個平面線性系統(tǒng)不局部天然“解耦”結(jié)構(gòu)時，其解同樣存在一般形式Khalil 1996。下面簡單介紹。對平面系統(tǒng)：X Ax 其解x(t)具備如下通用形式：1x(t) T exp(Jt)T x其中T為相似變換矩陣，T可逆；J為約當矩陣。矩陣T, J都是實數(shù)的。取決于矩陣 A的特征值分布情況，

6、約當 矩陣J有如下三種通用形式：10k02 '0其中元素都是矩陣 A在不同情況下可能的特征值。下面對三種形式可能出現(xiàn)的情況分別進行介紹。圖（a）穩(wěn)定結(jié)點（i 0, 20）; （b）不穩(wěn)定結(jié)點（10,20 )； (c)鞍點(1 20 )矩陣A有兩個共扼特征值（）注意由定義 0 ,此時同樣可能出現(xiàn)的三種情況，如下圖所示。圖（a）穩(wěn)定焦點（0）；（ b）不穩(wěn)定焦點（0）（ c）中心（0）矩陣A有兩個相同的非零實數(shù)特征值1 20現(xiàn)在有四種情況可以考慮，如下圖所示。圖（a）穩(wěn)定結(jié)點（ 0,k0）; （b）不穩(wěn)定結(jié)點（0,k0）圖（a）臨界穩(wěn)定結(jié)點（0, k 0）; （b）臨界不穩(wěn)定結(jié)點（0,k0

7、)四矩陣A有一個或者二個零實數(shù)特征值這是退化的情況，詳見文獻Khalil 1996。最后，我們給出幾個定義。定義(匯點Sink )穩(wěn)定結(jié)點和焦點稱為匯點。定義(源點Source )不穩(wěn)定結(jié)點和不穩(wěn)定焦點稱為源點。1 2非線性系統(tǒng)現(xiàn)實中絕大部分動態(tài)問題都是非線性的，例如如下單機無窮大電力系統(tǒng):dx1dtXC1c2sin XC3X1其中c, , c2和c3為兩個正常數(shù)。一個非線性的動態(tài)問題由下述常微分方程述：X f (X)(自治系統(tǒng))或者X f(x,t)(非自治系統(tǒng))對一般的常微分方程 X f (X)或者X f(X,t)都難以找到解析解，因此非線性系統(tǒng)的分析及具挑戰(zhàn)性。定 性分析和數(shù)值計算是最常見

8、的研究手段。另外一方面，非線性系統(tǒng)表現(xiàn)出許多引人入勝的特征。f(X)平衡點；滿足f (X,t)0的點X稱為非定義(平衡點或者奇點)滿足 f (X)0的點X稱為自治系統(tǒng)自治系統(tǒng)X f (X,t)的平衡點。？ ？假設X 0，令y x X，自治系統(tǒng)f (X)可以變換為:f (y X)這樣新坐標體系下原點 y 0就稱為上述系統(tǒng)的平衡點。這樣的變換總是存在的，并且對非自治系統(tǒng)也成立。為 簡化表達，后面我們經(jīng)常就假設一個非線性系統(tǒng)的原點就是平衡點。如果矩陣A非奇異，則自治系統(tǒng)x 0它平衡點。？ ？引理(孤立平衡點充分條件)Vidiyasagar 1993; Sastry 1996X f(x)的平衡點x 0

9、是孤立平衡點。？證明一因為 A非奇異，所以存在 c 0，滿足Ax ex將f(x)在原點進行泰勒展開得到：f (x) f (0) Ax o(x) Ax o(x)其中o(x)是x的平方項，滿足:lim 0(x)0x 0f (x) Ax o(x)2x，上式表明，存在“ 、 c0 ,< ,x0(x,2這樣,使得:當x 0時，f(x) 0。證畢定義(平面系統(tǒng)閉軌)Sastry 1999一個集合R2稱為閉軌，如果不是一個孤立平衡點，且存在T使得：xx(x0,nT)人,n Z在一個平面非線性系統(tǒng)的相圖中，閉軌是一條閉合曲線。例如，在線性系統(tǒng)中，圍繞中心的一條解曲線在相 平面形成閉軌。定義(平面系統(tǒng)極限

10、環(huán))Sastry 1999孤立的閉軌就是極限環(huán)。例子Sastry 1999考慮下述非線性系統(tǒng)*他2 2 2X1(x X2)x?x2 2 2X2 (X1X2 )進行極坐標變換，我們得到新系統(tǒng):r r( 2 r2)1這個系統(tǒng)存在極限環(huán) X2 y2 r2。參考文獻4. 廖曉昕，穩(wěn)定性的理論，方法和應用，華中科技大學，1999二.常微分方程基本定理2. 1數(shù)學基礎一.歐氏空間理論分析定理(維爾斯特拉斯)-歐氏空間連續(xù)函數(shù)在緊致集合上取得極大值。定義(函數(shù)序列)一對于每一個X。, lim fn(X0) f(Xo)，稱函數(shù)序列fn收斂于f。函數(shù)f為函數(shù)序列fn的極限 n函數(shù)，記為 lim fn(x) f(

11、x)。n例 令n 1,2,., fn(x) xn, x 0,1定義了一個函數(shù)序列，如下圖所示。圖函數(shù)序列 fn(x) xn,x 0,1(取自Sprecher)令f（x） 0如果X 1,°），顯然函數(shù)序列fn（x） xn,x 0,1收斂于f 。1x 1注意到f是不連續(xù)的。那么，函數(shù)序列fn滿足什么條件時其極限函數(shù)是連續(xù)的呢？這個條件為一致收斂。定義（一致收斂）對定義在集合E上的函數(shù)序列fn，對任意給定,存在N ,使得只要n N ,則對所有x E , 有fn f稱函數(shù)序列fn 一致收斂于f。定理（柯西定則）一在集合E上的函數(shù)序列fn 一致收斂于f當且僅當：對任意給定，存在N ,使得只要m

12、 N , n N，則對所有x E，有fm fn 。定理一如果在集合E上的函數(shù)序列fn 一致收斂于f，則f是連續(xù)函數(shù)。定義（普希茨條件）假設函數(shù)f定義在E Rn上，且存在L 0 ,使得對任意x, y E ,有：f （x） f （y） L x y，則稱函數(shù)f在e上滿足普希茨條件。常數(shù)L為普希茨常數(shù)。定理陸啟韶設在凸集E Rn上，函數(shù)f的所有一階偏導數(shù)存在且有界，則f在E上滿足普希茨條件（試采用微分中值定理證明）。引理-假設函數(shù)f定義在E Rn上，且滿足普希茨條件，則f是連續(xù)函數(shù)。引理a f（s）ds定理（數(shù)等效）二.線性空間理論分析定義（線性空間）定義（數(shù)）例子連續(xù)函數(shù)的集合f ： a, bRn，

13、用C a,b表示，形成一個線性空間。如果我們令f max f （t），則建立t a ,b了一個賦線性空間。定義（收斂） 定義（完備性）定義（巴拿赫空間）完備賦線性空間稱為巴拿赫空間。定義（壓縮映射）設X為一賦線性空間，那么映射T :X X稱為壓縮映射，如果存在01,使得Tx Tyx, y X定義（不動點）一巴拿赫空間X的一個點x稱為映射T :X X的不動點如果Tx x。定理（壓縮映射原理）-假設X為一巴拿赫空間的閉集，則壓縮映射T : XX有唯一的不動點。證明：令XoX，構(gòu)造序列Xk 1Txk,k 1,2,.。注意:xk 1XkTXk TXk 1XkXk 1X1XoN，則XrX,Xr 1Xs上

14、式表明,只要極限存在,*Tx這就證明,XrXr 1r 2Xrr 3Xs 1XsX1XoX1xok 0s 1-X1XoN足夠大,xs可以任意小。這就證明序列 xk是柯西序列。因為 X是完備空間，所以xk的令其為 x。因為壓縮映射是連續(xù)映射，則:T lim Xn lim TXnlim Xn 1 xnnnX*為不動點。假設X*也是一個不動點，則* *x x* *Tx Tx* *x x因為1，上式說明x* x*0,即不動點是唯一的。波蘭數(shù)學家Banach (巴拿赫)于1910年前后證明了上述定理，因此又稱巴拿赫不動點定理。壓縮映射原理 在更抽象的距離空間也適用2. 2解的存在唯一性建立常微分方程初值問

15、題后關(guān)心的第一個問題就是，初值問題解的存在性和唯一性。下面介紹一個常見的結(jié)果。定理Hirsch-Smale(解的局部存在唯一性)令ERn R為一閉集，假設存在L 0,使得連續(xù)函數(shù)f:ERn滿足:f (x,t) f(y,t) L x y , x,y E則存在閉集J E , (x0, t0)J，使得下面常微分方程初值問題在J上存在唯一解：x f (x, t), x(t0) x0證明一定理的證明由五個步驟組成。(1) 將常微分方程轉(zhuǎn)化為積分方程假設(t)是初值問題的解，也就是說：| f( ,t) ,(t0)滄。顯然，滿足下面的積分方程：t(t) X。t f( , s)ds反之，如果(t)是上述積分方

16、程的解，對兩端求導得：I f ( ,t)，且(t0) x0。因此，上述積分方程和原初值問題等價。下面我們只要證明等價的積分方程存在唯一解就可以了。(2) 構(gòu)造畢卡函數(shù)序列定義如下函數(shù)序列：t0 X0,1 x0 t f( 0, s)ds,t0t，k x°t f ( k 1, s)dst0設J E為一閉集，(x°,t°) J。令Msup f (x, t)，注意 0 j 且:(x,t) Jkx0tt0f(f ( k 1, s) dstMdstM t t0 Ma(3) 證明k 一致收斂首先運用數(shù)學歸納法證明：存在常數(shù)Z 0 ,使得對所有k0,有:(aL)kZ。假設對kma

17、x ( 10)，這樣:r at0f ( 1, s) f( 2,s) ds我們有:f ( k,s)現(xiàn)在我們采用柯西定則證明tLt0(aL)k 7，則:f ( k 1, s) d stLt0k 一致收斂。上式說明，只要a足夠小使得aLds aLZ(aL)kZk N1，對任意給定ds(aL)kZ，總存在(足夠大)N，使得對任意r s N，總有，即k 一致收斂。(4) 證明(t)是積分方程的解設k一致收斂于連續(xù)函數(shù)，對積分方程k x0tt0f(k 1, s)ds兩端取極限得tX0 lim t f( k 1, s)dskt0現(xiàn)在我們證明：limkf( k 1,s)dst0tt0f ( , s)ds這是顯

18、然的因為，給定任意0，總存在足夠小0，使得只要，就有:tLt0tds L dst0ttf( k1,s) f( ,s)ds ；|f(k1，s) f( ,s)dst0t0這樣我們就證明了函數(shù)序列k的極限函數(shù)(t)滿足積分方程 (t)X。t0,s)ds。x0f( , s)ds的解，令 Ht0ii, s) f ( i, s) ds t L iit00時才成立。這就證明：ii (t)(5) 證明積分方程解的唯一性假設i和ii都是積分方程(t)II (0i(Q H。注意：H | ii (0i(創(chuàng)：|f(t0因為(aL) 1，上式只有在Hsup i ii，且最大值在t t?處，即: t Ji ds LH t

19、 ? (aL)Hi(t)0，即積分方程的解是唯一。證畢上述定理的證明由畢卡(Picard )完成，定理中的函數(shù)序列 k又稱畢卡序列。 下面我們從抽象空間的高度，運用巴拿赫不動點定理證明常微分方程解的存在唯一性。定理Arnold, 1973(解的局部存在唯一性)令E Rn R為一閉集，假設存在L 0,使得連續(xù)函數(shù)f:E Rn滿足:f (x,t) f (y,t) L x y ,x,y E則存在閉集J E , (x0, t0) J，使得下面常微分方程初值問題在J上存在唯一解：x f (x, t), x(t0) x0證明：首先如前述初值問題等價于積分方程(t)Xotf ( , s)ds的解的存在性和唯

20、一性。定義映射:toXott f( , s)dstosup f (x, t)?，F(xiàn)在假設J(x,t) J(Xo, to)J為一閉集，需要證明 TJ。這是顯然的，因為:Xott f( , s)dLotof ( ,s) dstoMds M t t0Ma上式中只要a足夠小,就有TJ。實際上,T也是壓縮映射，注意tof ( 1, s)f ( 2, s) dstLtods(t)c max(t)，上式可以寫作:tLtocdLaC只要a足夠小，就有La 1，即T是壓縮映射。由壓縮映射原理，T在閉集J E上存在唯一不動點，即:。也就是說，積分方程(t)Xotf ( , s)ds的解存在和唯一。證畢由于壓縮映射原

21、理的高度概括性，采用壓縮映射原理后，定理的證明大大簡化。解的局部存在唯一性定理斷言，在區(qū)間to a, to a上初值問題存在唯一解。這個結(jié)論具有局部性質(zhì)。事實上，在點to a處重復使用這個定理，就可能將解的存在區(qū)間延拓。但延拓有時是有極限的。例子旳刑1996考慮單變量系統(tǒng)x2 , x(0)1解的存在性。x, yRn , tto ,t1 ,f (x,t) f(y,t)Lx y則常微分方程初值問題在區(qū)間to, ti上，對所有ti，存在唯一解：x f(x, t) , x(to) Xo o ? ?x的解是存證明一注意根據(jù)前述解的局部存在唯一性定理知道，在區(qū)間t0,a上初值問題x f(x,t) , x(

22、t0)在和唯一的。令在區(qū)間to, a上這個解為x(t)，考慮如下初值問題：x f(x,t a) , x(to) x(a)上述初值問題同樣滿足解的局部存在唯一定理的條件，因此問題的解存在且唯一，其存在區(qū)間為to a, to 2a o這樣我們就證明了在to, to 2a上解存在且唯一。重復這個過程，定理得證。？ ？例子Khalil 1996 假設|A(t) a , g(t) b，則線性時變系統(tǒng)x(t) A(t)x g(t)的解全局存在且唯一。？ ？2. 3解對初值的連續(xù)性f (x, t) , x(to) x滿足解的存在唯 ，存在(,T)，使得：。設xo, yo定理(解對初值的連續(xù)性)Sastry

23、1996假設初值問題x 為兩個不同的初值，相應解曲線為x(t), y(t)，則對任意給定xoyox(t) y(t)證明一注意x(t) y(t)|xoyoo f(X,S)f(y,s) dsXotyoL o x(s) y(s)ds由格朗維爾不等式，對t 0,T ,x(t) y(t)|xoyo eLt這樣，對任意，總存在方，使得x(t) y(t)。證畢？ ？e參考文獻三.穩(wěn)定性理論定理(線性系統(tǒng)穩(wěn)定性)Khalil 19963. 1自治系統(tǒng)平衡點穩(wěn)定性本節(jié)考慮如下常微分方程解的穩(wěn)定性:X f (x)假設在Bh上f C且保證上述初值解的存在唯一性。穩(wěn)定性和漸進穩(wěn)定性基本定理定義(局部正定函數(shù))Sast

24、ry,1999連續(xù)可微函數(shù)V : BhR是局部正定函數(shù)如果:V(0)0 , V(x) 0, x Bh定義(K類函數(shù))Sastry,1999連續(xù)函數(shù)R是K類函數(shù)如果其嚴格增且(0)0 ,記做 K稱為K類函數(shù)定義(K類函數(shù))Khalil,1996如果 K且lim (x)X許多書中稱K類函數(shù)為KR類函數(shù)。定理對任意局部正定函數(shù)V :Bh R，必存在兩個函數(shù)1, 2 K，使得：1(x) V(x) 2(x) , x Bh0，使得:定義(自治系統(tǒng)局部穩(wěn)定性)-自治系統(tǒng)平衡點 x 0是穩(wěn)定的如果給定0，總能夠找到x(0)|x(t)|, t 0定義函數(shù)V : BhR對常微分方程xf (x)的全導數(shù)等于：

25、63;(x)1 n V n V、VVVf2 (x)V*fi(x),JJVi 1xji 1 Xj%X2xfn (x)定理(自治系統(tǒng)穩(wěn)定性)一令x 0 Bh為常微分方程x f (x)的平衡點，如果存在:(2)全導數(shù)V 0, x Bh則平衡點x 0是穩(wěn)定的。Perko2001，陸啟韶 1989證明1取任意 0,滿足B Bh。記：c mi nV (x)由V局部正定知c 0。由于V連續(xù)且V (0)0，存在 0 ,使得:xV(xJ c由于V 0,所以V(x(x°,t)非增，即:V(x(X0,t) V(X0)c, t 0。證由于c是B上的最小值，因此從 B出發(fā)的任何解曲線 x(x0, t)都不會到

26、達B的邊界 B，即x(x0 ,t) 明可以到此結(jié)束。但如果對此結(jié)論有疑問，現(xiàn)在采用反證法證明。假設從x0, x0出發(fā)的解曲線在 匕時刻到達 B，即：x(x0,t1)，則因為c mi nV (x)，所以:IxV(x(X0,tJ) c上式矛盾。所以：xx(x0,t), t 0證畢上述定理由俄國數(shù)學家亞普諾夫于1892年建立。下圖給出了定理的幾何意義。八x-i圖 亞普諾夫穩(wěn)定性定理的證明證明2由于V局部正定，存在 K，使得:(x) V(x) , x Bh給定 0，由于V連續(xù)且V(0) 0，存在 0,使得x0時：V(Xo)()由于V 0，所以：V(x(x°,t) V(x。)()因為(x) V

27、(x)，所以：(x)(x(X0,t) V(x(x°,t) V(x0)()由于單調(diào)增，所以：x(t,x0)。證畢借助于K類函數(shù) ，上述第2種證明方法更簡單，思路清晰。這個方法的思想在非自治系統(tǒng)也可以采用，使得自治系統(tǒng)和非自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性證明統(tǒng)一起來。但是，兩種證明方法都應當掌握，因為在文獻里面，兩種證明方法 都常見。定義(自治系統(tǒng)漸進穩(wěn)定性)自治系統(tǒng)平衡點 x 0是漸進穩(wěn)定的如果給定0，總能夠找到0，使得:(1) x(0)x(t) , t 0(2) lim x(t) 0t注意，上述定義中，第(2)個條件并不隱含第(1)個條件。穩(wěn)定和漸進穩(wěn)定的區(qū)別如下圖所示。圖穩(wěn)定和漸進穩(wěn)定定理(自治系

28、統(tǒng)漸進穩(wěn)定性)一令x 0 Bh為常微分方程x f (x)的平衡點，如果存在：(1)連續(xù)可微函數(shù)V ： BhR滿足V(0) 0, V(x) 0 , x Bh (即局部正定函數(shù)V )(2)全導數(shù) V 0, x Bh, x 0 則平衡點x 0是穩(wěn)定的。給定證明1 Brauer-Nohel1969, Khalil1996漸進穩(wěn)定性的第 (1)個條件已經(jīng)滿足，現(xiàn)在我們用反證法證明：存在，只要Xo，就有：lim V(x(t)0首先注意因為連續(xù)函數(shù) V(x(t)嚴格下降且存在下界，所以極限lim V(x(t)存在。假設存在，使得:V(x(t)0， t 0因為V (x)在原點連續(xù)，所以存在 0，使得:x0 V

29、(x)這樣滿足V(x(t)0的解曲線x(t) 一定滿足：x(t)令:max|x|上式成立因為V(x)是連續(xù)函數(shù)，其在緊致集合上存在最大值。再注意:dV V(x) V(x) V(x。)0V(x)dt V(x。) t dt0但是當t足夠大時上式變成：V(x) V(x)t 0顯然錯誤。因此，不存在，使得：V(x(t)0， t 0這就證明lim V(x(t)0不成立，因此:tlim V(x(t)0由此可得lim x(t) 0，證畢t證明 2Miller-Michel 1982, Sastry 1999證明 3Hirsch-Smale 1974; Perko 2001定理的幾何意義非常清楚，見下圖。因為

30、0 ,圖中等高線V(x) c1, V(x) c2最后收縮至原點，意味系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定。Xi定義(穩(wěn)定矩陣)矩陣A是穩(wěn)定矩陣如果 A的所有特征值的實部Re()滿足Re( ) 0。? ?定理【Kha”1 1996矩陣a是穩(wěn)定矩陣，當且僅當對任意給定對稱正定矩陣q，存在對稱正定矩陣 P，滿足如下亞普諾夫矩陣方程：PA AtPQ而且，如果矩陣 A是穩(wěn)定矩陣，則 P是唯一的。？ ？定理(亞普諾夫第一方法)Kha" 1996令f : &Rn，非線性系統(tǒng)X f(x)的平衡點x 0是漸進穩(wěn)定的如果矩陣 A 是一個穩(wěn)定矩陣；是不穩(wěn)定的如果 A的一個特征值的實部大于零。X X 0? ?證明我們將只

31、證明第一個結(jié)論，即如果A是穩(wěn)定矩陣，則x 0是漸進穩(wěn)定的。由泰勒定理知道，在Bh里面:f(x) Ax g(x)其中g(shù)(x)滿足：g(x)因此，給定任意0,存在 0,使得:g(x)2X2，即：|g(x) 2 x 2令P為一對稱正定矩陣，定義:V xTPx計算全導數(shù)：V f T (x) Px xT Pf (x)XTAT gT (x) Px xTP Ax g(x) xt(PA a P)x 2xT Pg(x)xtQx 2 p2 x22min (Q) 2 P2 X2這樣，只要0足夠小，就有：V 0。因此平衡點是漸進穩(wěn)定的。證畢？ ？二漸進穩(wěn)定性的不變性原理前面介紹的漸進穩(wěn)定性定理要求V 0 ,下面介紹一

32、組只需要 V 0的結(jié)果，即爾不變性原理。首先我們給出一組定義。在定義中令 x(t)代表自治系統(tǒng)的解曲線。定義(正極限集)稱LRn為自治系統(tǒng)的正極限集，如果對任意5? L，都存在一個序列x(tn)，滿足：tnX(tn)在許多文獻里，正極限集又稱極限集。例子-漸進穩(wěn)定系統(tǒng)的原點是正極限集；穩(wěn)定極限環(huán)是正極限集。定義(不變集)稱 MRn為自治系統(tǒng)的不變集，如果：x(0) Mx(t) M例子-自治系統(tǒng)的平衡點和極限環(huán)都是不變集。引理Khalil 1996如果x(t)是有界的，則其正極限集L非空，緊致，不變，并且：tx(t) L爾不變性原理有兩種常見表達方式，下面分別介紹。定理(爾不變性原理1) Kha

33、lil 1996假設存在連續(xù)可微函數(shù)V :BhR，令Bh為一緊致正不變集，而且:V(x) 0，再令M為E中最大不變集，則:當t 時，x(x°,t)收斂到M證明一x Rn :V(x) c 為一閉定理(爾不變性原理2) Sastry 1999假設存在連續(xù)可微函數(shù)V : Bh R，令 集，而且V(x)0, xc令E xc：V(x)0，再令M為E中最大不變集，貝V:xc當t時，x(x°,t)收斂到M。證明一假設X。c,因為V(x) 0, xc,所以V(x)非增，這樣x(x0,t)c。也就是說c為一不變集。爾不變性原理的條件完全滿足。證畢爾不變性原理有三個進步Khalil 1996。

34、第一，突破了對一個穩(wěn)定平衡點的研究，它還提供了一個計算穩(wěn)定域(上述V不必要(嚴格)負定，半負定就可以了。定理中 c)的方法。而穩(wěn)定域是電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定分析中最關(guān)心的課題。第二，有趣的是，在爾不變性原理中，V函數(shù)甚至不必要是正定的，只要連續(xù)可微就可以了。第三，全導數(shù)下述結(jié)果是爾不變性原理的一個特例。定理(巴巴欣克拉索夫斯基定理)令x 0為常微分方程X f(x)的平衡點，如果：(1) 存在連續(xù)可微函數(shù)V : BhR滿足V(0) 0 , V(x) 0 , x Bh (即局部正定函數(shù)V )(2) 并且全導數(shù)V 0, x Bh(3) 集合E x Bh ：V(x) 0不包含整條解曲線則平衡點x 0是漸進穩(wěn)

35、定的。顯然，巴巴欣克拉索夫斯基定理中第(3)個條件可以修改為：集合E x Bh :V(x) 0只包含原點。這樣我們有如下常見推論。推論-令x 0 Bh為常微分方程x f (x)的平衡點，如果：(1) 存在連續(xù)可微函數(shù)V : BhR滿足V(0) 0 , V(x) 0 , x Bh (即局部正定函數(shù)V )(2) 并且全導數(shù)V 0, x Bh(3) 集合E x Bh :V(x) 0只包含原點則平衡點x 0是漸進穩(wěn)定的。三.指數(shù)穩(wěn)定性定義(指數(shù)穩(wěn)定性)3. 2自治系統(tǒng)中心流形考慮自治系統(tǒng)X f(x)，其平衡點x 0雅可比矩陣A 丄。亞普諾夫第一方法解決了當A有非零實部特征值X x 0時的系統(tǒng)穩(wěn)定性問題

36、， 下面要介紹的哈特曼-格魯巴曼定理進一步擴展了這一認識。但是，采用線性化無法解決當 A存在零實部特征值時的系統(tǒng)穩(wěn)定性問題，中心流形理論給這個問題提供了一個漂亮的答案。雙曲平衡點定義(In set ,Outset )Sastry 1999定義(穩(wěn)定，不穩(wěn)定流形) 定理(哈特曼格魯巴曼定理)哈特曼-格魯巴曼定理指出，當非線性系統(tǒng)具有雙曲平衡點時，其線性化系統(tǒng)和原系統(tǒng)存在拓撲等價關(guān)系。定理(穩(wěn)定流形定理)- 二非雙曲平衡點當非線性系統(tǒng)存在非雙曲平衡點時，其線性化系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)不一定存在拓撲等價關(guān)系。例子定理(中心流形定理)一將非線性系統(tǒng):x f(x)f(x)f (x) Ax 得:Ax f (x)

37、AxAxf(x)注意：f (x) 0, f0。x x 0假設A包含k個零實部特征值，U Cu F(u,v)V Bv G(u, v)其中C為包含k個零實部特征值的kl個負實部特征值。這樣，采用相似變換后，x f (x)總可以表達為：k方陣，B為包含I個負實部特征值的II個方陣；函數(shù)F , G及其一階導數(shù)在(0,0)處都等于零。h(0)中心流形定理斷言，存在0和光滑函數(shù)h(v)，使得當v 時，v h(u)，且滿足邊界條件關(guān)系式v h(u)定義的曲線稱為中心流形。將v h(u)帶入V Bv G(u,v)，并注意U Cu F(u,v)，得到中心流形應當滿足的條件：h(h(u) Cu F(u,h(u)

38、Bh(u) G(u,h(u) 0uL.h(0)0, 0u u 0將求得的中心流形帶入U Cu F(u,v)，得到降階系統(tǒng):U Cu F(u,h(u)定理如果降階系統(tǒng) u Cu F(u,h(u)的平衡點是穩(wěn)定(漸進穩(wěn)定，不穩(wěn)定)的，則原系統(tǒng)x f(x)是穩(wěn)定(漸進穩(wěn)定，不穩(wěn)定)的?，F(xiàn)在的問題是如何求取中心流形v h(u)。對此，我們有如下結(jié)果。定理 例子3. 3自治系統(tǒng)穩(wěn)定域成功的對一類非線性系統(tǒng)的吸引域進行定性刻劃是電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定研究領域的最重要的理論貢獻。定義(穩(wěn)定域)例子一下述兩階系統(tǒng)Khalil 1996:存在二個平衡點：(0, 0), ( . 3, 0), ( . 3, 0),其穩(wěn)定

39、域包含在穿越平衡點C. 3, 0)和(3, 0)的兩條軌線之間，女嚇圖。42-20斗圖例題相圖運用爾不變性原理可以對穩(wěn)定域進行近似估計Khalil 1996?？聪旅娴睦?。例子Khalil 1996計算如下兩階系統(tǒng)的穩(wěn)定域:1X2【2X1 (%22 1)X2解：首先將右端項線性化,得出此矩陣的所有特征值為負,PA得：At P平衡點是漸進穩(wěn)定的?，F(xiàn)在解如下亞普諾夫方程:1.50.50.5取亞普諾夫函數(shù)V(x)TX Px ,其全導數(shù)為:V(x)(X12 * X；)(X；X2II |2II X2X12 2、2x1 X2)X1X2IIX1 2x2225 x在推導上式過程中我們用到關(guān)系式X1X1X212

40、 INI 2 和 X 2x25x2。，如果取:Xi引理（吸引域基本性質(zhì)）Khalil 1996吸引域是一個開的，連通的不變集 證明一引理（穩(wěn)定域邊界）Hahn 1967穩(wěn)定域邊界由軌跡組成。定理（雙曲系統(tǒng)吸引域邊界）3. 4自治系統(tǒng)全局穩(wěn)定性和有界性一全局穩(wěn)定性定義（全局漸進穩(wěn)定） 定理（全局漸進穩(wěn)定） 二有界性定義（有界性）3. 5非自治系統(tǒng)穩(wěn)定性在這一節(jié)，我們考慮下述非自治系統(tǒng)：X f(t,x)假設在Bh上f C且保證上述常微分方程解的存在唯一性。定義(正定函數(shù))V(t,x)定義(無窮小上有界函數(shù))V(t,x)定理(非自治系統(tǒng)穩(wěn)定性)【廖曉昕1999, Rouche1977 Miller1

41、982】若在區(qū)域Bh上存在1) 正定函數(shù)V(t,x),2) V 0，則平凡解x 0是穩(wěn)定的。證明：由V(t,x)正定，知存在 (x) K，使得：V(t,x) (x)。(t0,)，當注意到V(t°,0) 0以及在區(qū)域Bh上V(t0,0) 0且連續(xù)。對任意，0 h，存在(足夠小)x(t°,)時：V(t0,x°)()。因為 dV 0,所以 V(t,x)非增，因此：V(t,x(t,t0,x。)V(t°,x°)( )(t t。)dt由V(t, x)(x)和上面不等式得到：(x(t,t°,x0) V(t,x(t,t°,x0) V(t&#

42、176;,x0)( )(t t° )因為 單調(diào)增，所以：x(t,t°,x0)|( t t0)證畢如果比上述定理多要求一個條件，即V(t,x)有無窮小上界，則可以得到一致穩(wěn)定，如下面的結(jié)果所述。定理(非自治系統(tǒng)一致穩(wěn)定)【Miller1982】若在區(qū)域Bh上存在1)正定函數(shù)V(t,x),2)dVdt3) V(t,x)有無窮小上界,則平凡解x 0是一致穩(wěn)定的。證明：由假設知道存在1,2 K使得：1(x)V(t,x)2(x)(t 0, x Bh)注意到2在x0處連續(xù)，因此給定0 h，存在(足夠小)0滿足：2()i()。這樣如果 t。0, x0貝V：VC，"2(x。)2(

43、 )i()因為理0,所以V(t,x)非增，因此：dtV(t,x(t,t°,x°) V(t°,x°)2(X0)2( )1( ) (t t°)而且：i(x(t,t°,x0) V(t,x(t,t°,x°) V(t°,x0)2(X0)2( )1( ) (t t°)因為i單調(diào)增，所以：X(t,t0,X°)(t t。)證畢定理(非自治系統(tǒng)一致漸近穩(wěn)定)Miller-Michel1982, Sastry1999定理(非自治系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定)定理(一致有界)【Miller1982】定理(一致最終有界)【M

44、iller1982】定理(一致最終有界)【Khalil1996】練習練習13.81 Problem (lonaiflrr the, nuionnmofftJi RyflWm of iirnt ordi or- dinwy diffmentin equationsi = /(t)(3.8.2)wkerc / E T.Rt J?11). Assunic that there exists & functxm u 6 CpFR such that致珂印=VvWT/(x) = 0for all j e 於、whwe Vv (dv血、"疋工口卩,LetAfx 丘 E 爐：t(x) =

45、A)6 = (x G JT : v(z) < Arrnd滋=h E臚：鞏時> >.制門怙 that each of these may consist of several disjoint rompunent ftete*Piovc tbat che acts Af*Cv and C arc invanant with respect to (3 S.2). Ptovt Dial K»«ib dhyvitit uitupuuent sei 就 these seis is in%<iriant with Expect to (3&”2O練習2

46、-取，計算下述系統(tǒng)穩(wěn)定域。四微分一代數(shù)方程Hill 一Mareels1990五暫態(tài)穩(wěn)定分析和預防控制一個電力系統(tǒng)在遭受大的干擾（如發(fā)電機端口發(fā)生三相短路故障）后，各個發(fā)電機轉(zhuǎn)子會發(fā)生相對運動，其1 , 2。運動軌跡由一個常微分方程（所謂搖擺方程）初值問題描述。如果故障切除瞬間系統(tǒng)的狀態(tài)處于故障后系統(tǒng)的穩(wěn) 定域，則故障軌跡將收斂到一個穩(wěn)定平衡點。我們稱系統(tǒng)是暫態(tài)穩(wěn)定的；否則，為暫態(tài)不穩(wěn)定6. 1數(shù)學模型6. 2仿真法6. 3直接法EEAC TEF等方法及其數(shù)學基礎6. 4暫態(tài)穩(wěn)定預防控制洛南，甘德強，王建全參考文獻1 倪以信，壽，寶霖，動態(tài)電力系統(tǒng)的理論和分析，清華大學，2002年5月2 余貽鑫

47、，王成山，電力系統(tǒng)穩(wěn)定性理論與方法，科學，19993 D. Gan, R. J. Thomas, R. D. Zimmerma n, "Stability-Co nstrai ned Optimal Power Flow",IEEE Trans.On Power Systems, vol. 15, no. 2, May 2000, pp. 535-5404 M. Pavella,D. Ruiz-Vega,“A Comprehensive Approach to TransientStabilityControl,Part I:NearOptimal Preve ntive

48、Con trol, paper submitted to IEEE Trans. On Power Systems, TPWRS-00275-20025 M. Pavella,D. Ruiz-Vega,“A Comprehensive Approach to TransientStabilityControl,Part II:OpenLoop Emerge ncy Con trol, paper submitted to IEEE Trans. On Power Systems, TPWRS-00276-20026 E. De Tuglie, M. Dicorato, M. La Scala,

49、 P. Scarpellini,“ Dynamic Security Dispatch under PracticalConstraints ” , 14 th Power System Computation Conference, Sevilla, Greece, June 20027 H.D. Chia ng, “ Direct stabilityan alysis of electric power systems using en ergy functions: theory,applications, and perspective” , Proceedings of the IEEE , vol. 83, no. 11, 1995, pp. 1497-15298 新林，元章(YangXin lin ，Sun Yua nzha ng),"電力