不等式完全解析與攻擊

1、解簡(jiǎn)單的不等式1解不等式：(x2x+1)(x+1)(x4)(6x)>0解：對(duì)于任何實(shí)數(shù)x，x2x+1>0恒成立，所以原不等式等價(jià)于：(x+1)(x4)(6x)>0 (x+1)(x4)(x6)<0所以原不等式的解為：x<1或4<x<62 解不等式：0解：原不等式即0 它相當(dāng)于 (2x+1)(x-3)(4x+3)(x-4)0x 或3x43 解不等式：|x5|2x+3|<1解法一：當(dāng)x時(shí)，5x+2x+3<1 x<7 當(dāng)<x<5時(shí)， 5x2x3<1 此時(shí)不等式的解為： 當(dāng)x5時(shí)，x52x3<1, x>9, x5

2、由可知原不等式的解集為： 即x<7或x>。解法二：原不等式化為:|x5|<|2x+3|+1兩邊平方得：x210x+25<4x2+12x+10+2|2x+3|即：2|2x+3|>3x222x+154x+6>3x222x+15 3x+26x9>0 x<9或x>或4x+6<3x2+22x15 x2+6x7>0 x<7或x>1原不等式的解集為： 即：x<7或x>4 已知不等式與不等式同解，解不等式。解：， 的解為 中 解 由題意 代入所求： 5 (1998年全國(guó)高考)設(shè)ab，解關(guān)于x的不等式 a2x+b2(1-x

3、)ax+b(1-x)2.解析 將原不等式化為 (a2-b2)x-b2(a-b)2x2+2(a-b)bx+b2， 移項(xiàng)，整理后得 (a-b)2(x2-x)0， ab 即(a-b)2>0， x2-x0， 即 x(x-1)0. 解此不等式，得解集 x|0x1.6 (1995年全國(guó)高考) 的解集是_.解析 這是一個(gè)指數(shù)不等式，基本解法是化為同底的指數(shù)形式，然后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為整式不等式. 原不等式即，也就是x2-2x-8<0，解得-2<x<4.故原不等式的解集為x| -2<x<4.7 (北京2003年春招)解不等式：解析 這是一個(gè)對(duì)數(shù)不等式，基本解法是化為

4、同底的對(duì)數(shù)形式，然后利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為整式不等式.原不等式變形為.所以，原不等式.故原不等式的解集為. 8 解不等式解析 這是個(gè)無(wú)理不等式，基本解法是去根號(hào)化為整式不等式，怎樣去根號(hào)？一般有三種情況，一是；二是；三是.原不等式等價(jià)于() 或（） 解()得 x ()得x 故原不等式的解集為xx.9 已知f(x)=,則不等式x+(x+2)·f(x+2)5的解集是_. 解析 這是個(gè)分段函數(shù)型不等式，基本解法是轉(zhuǎn)化為若干個(gè)不等式組.原不等式等價(jià)于或，解得或，故原不等式的解集為，填.解含參不等式例1 解不等式：，aR分析：這是基本的一元二次不等式，左邊x2(a+1)x+a可分解為(xa

5、)(x1)，下面關(guān)鍵的就是要比較a 與1的大小關(guān)系，因此以a與1的大小為分類的標(biāo)準(zhǔn)，分三種情形討論就可以了。解：(xa)(x1)>0（1） 當(dāng)a>1時(shí)，解為x<1或x>a（2） 當(dāng)a=1時(shí)，解為xR且x1（3） 當(dāng)a<1時(shí)，解為x<a或x>1 例2. 解： 例3 若a0,解不等式x+2a(+1).解析 怎樣對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論？必須先對(duì)原不等式等價(jià)變形：x+2a(+1)<0x(x+2)(xa)0. 于是得到必須將a與-2,0進(jìn)行比較分類：當(dāng)a0時(shí)，解集為x|x2或0xa 當(dāng)2a0時(shí)，解集為x|x2或ax0 當(dāng)a=2時(shí)，解集為x|x0且x2 當(dāng)a2

6、時(shí)，解集為x|xa或2x0  例4 解關(guān)于x的不等式：(m+1)x24x+10 (mR)分析：此題是含參數(shù)m的不等式，首先應(yīng)根據(jù)m+1是否取0確定原不等式是一元一次不等式還是一元二次不等式；若m+1不等于零，還要按m+1的值為正或負(fù)及關(guān)于x的二次三項(xiàng)式的判別式的符號(hào)為分類標(biāo)準(zhǔn)對(duì)m取一切實(shí)數(shù)的情形進(jìn)行分類，求出原不等式的解.解：當(dāng)m=1時(shí)，4x+10 x當(dāng)m1時(shí)，=164(m+1)=4(3m),當(dāng)m3時(shí)，方程(m+1)x24x+1=0才有解下面以m與1和3的大小關(guān)系作為分類標(biāo)準(zhǔn)來(lái)討論：當(dāng)m<1時(shí)， m+1<0，且<此時(shí)原不等式的解集為：(, ,+)當(dāng)1<m<

7、;3時(shí)，m+1>0且此時(shí)原不等式的解集為：,當(dāng)m=3時(shí)，解集為： 當(dāng)m>3時(shí)，解集為空集.例5. 解：原不等式等價(jià)于 例6 (2000年全國(guó)高考題)設(shè)函數(shù)，其中.（）解不等式1； (2)略.解析 不等式即，由此得，即，其中常數(shù).所以，原不等式等價(jià)于即 所以，當(dāng)時(shí)，所給不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，所給不等式的解集為. 解抽象函數(shù)型不等式所謂抽象函數(shù)型不等式，即不等式與一個(gè)抽象函數(shù)有關(guān)，同時(shí)已知抽象函數(shù)的定義域、奇偶性或單調(diào)性等. 這一類不等式的解法是先根據(jù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)，轉(zhuǎn)化為一般不等式來(lái)解，但一定要注意定義域.例15 設(shè)f(x)是定義域?yàn)?-，0)(0，+)的奇函數(shù)，且在(0，+)上

8、為增函數(shù). 若f(1)=0，解關(guān)于x的不等式 floga(1-x2)+1>0，其中a>1.解析 由于f(x)是奇函數(shù)，且在(0，+)上為增函數(shù)，所以它在(-，0)上也為增函數(shù).又由于f(1)=f(-1)=0. 于是原不等式等價(jià)于或由得x2<0，所以解集為；由解得. 故原不等式的解集為x|或.例16 已知偶函數(shù)f(x)在上是增函數(shù)，求解不等式f(2x+5)<f(x2+2).解析 由題意知f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 由偶函數(shù)定義知不等式f(2x+5)<f(x2+2)即f(|2x+5|)<f(|x2+2|)，也就是|2x+5|<|x2+2|，等價(jià)于

9、或解(1)得或x>3；解(2)得. 故原不等式的解集為.例17 已知函數(shù)f(x)是定義在上的函數(shù)，且f(1)=1，f(-x)=-f(x)，若a、b，a+b0，有. 試解不等式.解析 先要由已知條件判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，因?yàn)楫?dāng)x時(shí)，f(1)=1，f(-x)=-f(x)，所以f(x)在上是奇函數(shù)，且令中b為-b，得，從而知函數(shù)f(x)在上為增函數(shù)，于是，故原不等式的解集為.含參不等式的解法舉例當(dāng)在一個(gè)不等式中含有了字母，則稱這一不等式為含參數(shù)的不等式，那么此時(shí)的參數(shù)可以從以下兩個(gè)方面來(lái)影響不等式的求解，首先是對(duì)不等式的類型（即是那一種不等式）的影響，其次是字母對(duì)這個(gè)不等式的解的大小的影響

10、。我們必須通過(guò)分類討論才可解決上述兩個(gè)問(wèn)題，同時(shí)還要注意是參數(shù)的選取確定了不等式的解，而不是不等式的解來(lái)區(qū)分參數(shù)的討論。解參數(shù)不等式一直是高考所考查的重點(diǎn)內(nèi)容，也是同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到但又難以順利解決的問(wèn)題。下面舉例說(shuō)明，以供同學(xué)們學(xué)習(xí)。一， 含參數(shù)的一元二次不等式的解法：例1：解關(guān)于的x不等式分析：當(dāng)m+1=0時(shí),它是一個(gè)關(guān)于x的一元一次不等式；當(dāng)m+11時(shí)，還需對(duì)m+1>0及m+1<0來(lái)分類討論，并結(jié)合判別式及圖象的開(kāi)口方向進(jìn)行分類討論：當(dāng)m<-1時(shí)，=4（3-m）>0，圖象開(kāi)口向下，與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，不等式的解集取兩邊。當(dāng)-1<m<3時(shí)，=4（3

11、-m）>0, 圖象開(kāi)口向上，與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，不等式的解集取中間。當(dāng)m=3時(shí)，=4（3-m）=0，圖象開(kāi)口向上，與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，不等式的解為方程的根。當(dāng)m>3時(shí)，=4（3-m）<0,圖象開(kāi)口向上全部在x軸的上方，不等式的解集為。解： 當(dāng)m=3時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)m>3時(shí), 原不等式的解集為。小結(jié)：解含參數(shù)的一元二次不等式可先分解因式再討論求解，若不易分解，也可對(duì)判別式分類討論。利用函數(shù)圖象必須明確：圖象開(kāi)口方向，判別式確定解的存在范圍，兩根大小。二次項(xiàng)的取值（如取0、取正值、取負(fù)值）對(duì)不等式實(shí)際解的影響。牛刀小試：解關(guān)于x的不等式思路點(diǎn)撥：先將左邊分解因式

12、，找出兩根，然后就兩根的大小關(guān)系寫(xiě)出解集。具體解答請(qǐng)同學(xué)們自己完成。二， 含參數(shù)的分式不等式的解法：例2：解關(guān)于x的不等式分析：解此分式不等式先要等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式，再對(duì)ax-1中的a進(jìn)行分類討論求解，還需用到序軸標(biāo)根法。解：原不等式等價(jià)于當(dāng)=0時(shí)，原不等式等價(jià)于解得，此時(shí)原不等式得解集為x|；當(dāng)>0時(shí), 原不等式等價(jià)于,則：當(dāng)原不等式的解集為；當(dāng)0<原不等式的解集為；當(dāng)原不等式的解集為；當(dāng)<0時(shí), 原不等式等價(jià)于，則當(dāng)時(shí), 原不等式的解集為；當(dāng)時(shí), 原不等式的解集為；當(dāng)時(shí), 原不等式的解集為；小結(jié)：本題在分類討論中容易忽略=0的情況以及對(duì)，-1和2的大小進(jìn)行比較再結(jié)合系軸

13、標(biāo)根法寫(xiě)出各種情況下的解集。解含參數(shù)不等式時(shí)，一要考慮參數(shù)總的取值范圍，二要用同一標(biāo)準(zhǔn)對(duì)參數(shù)進(jìn)行劃分，做到不重不漏，三要使劃分后的不等式的解集的表達(dá)式是確定的。對(duì)任何分式不等式都是通過(guò)移項(xiàng)、通分等一系列手段，把不等號(hào)一邊化為0，再轉(zhuǎn)化為乘積不等式來(lái)解決。牛刀小試：解關(guān)于x的不等式思路點(diǎn)撥：將此不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式后需對(duì)參數(shù)分兩級(jí)討論：先按>1和<1分為兩類，再在<1的情況下，又要按兩根與2的大小關(guān)系分為三種情況。有很多同學(xué)找不到分類的依據(jù)，缺乏分類討論的意識(shí)，通過(guò)練習(xí)可能會(huì)有所啟示。具體解答請(qǐng)同學(xué)們自己完成。三， 含參數(shù)的絕對(duì)值不等式的解法：例3：解關(guān)于x的不等式分析：解絕

14、對(duì)值不等式的思路是去掉絕對(duì)值符號(hào)，本題要用到同解變形，首先將原不等式化為不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式，然后就、兩個(gè)參數(shù)間的大小關(guān)系分類討論求解。解：當(dāng)時(shí)，此時(shí)原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，由，此時(shí)原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)， 此時(shí)此時(shí)原不等式的解集為；綜上所述，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為。小結(jié)：去掉絕對(duì)值符號(hào)的方法有定義法：平方法：利用同解變形：;牛刀小試：（2004年遼寧省高考題）解關(guān)于x的不等式思路點(diǎn)撥：將原不等式化為然后對(duì)進(jìn)行分類討論求解。要注意空集;抓住絕對(duì)值的意義，在解題過(guò)程中謹(jǐn)防發(fā)生非等價(jià)變形造成的錯(cuò)誤。具體解答請(qǐng)同學(xué)們自己完成。求參數(shù)的值或范圍已知含參不等式的解集，求參數(shù)的值或范圍也是高考中不等式問(wèn)題中的一種常見(jiàn)題型. 基本解法是先將參數(shù)看成常數(shù)，按常規(guī)方法來(lái)解不等式，然后再根據(jù)所給定的解集求出參數(shù)的值或范圍.例19 (2003年北京春招)若不等式的解集為（1，2），則