變更主元法復(fù)習(xí)課程

1、變更主元法變更主元法在解答與函數(shù)、方程、不等式有關(guān)的數(shù)學(xué)題目時(shí)，常常把數(shù)學(xué)式子中的主元與常量換位(即將主元看作常量)，主元與參數(shù)換位，參數(shù)與常量換位，產(chǎn)生一種認(rèn)識(shí)上的轉(zhuǎn)化，但并不換元借助這 種思維方式解題的方法叫做變更主元法.例1.若不等式X2 mx > 4x m 3對(duì)于滿足 K m < 4的所有實(shí) 數(shù)m恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.【巧解】變更主元法不等式x2 mx >4x m 3 (x 1)m x2 4x 3 >0設(shè)f(m) (x 1)m x2 4x 3.視參數(shù)m為自變量，主元x為參數(shù)，f(m)關(guān)于m的一次函數(shù).1°當(dāng)=1時(shí)，f (m)恒等于0,即卩f (m

2、) > 0不成立即x2 mx > 4x m 3不成立.2°當(dāng)工1時(shí)，(x-1 )m x2-4 x+3> 0f(1) 0 f(4) 0x2 3x2 0x 1 或 x 2x 1 或 x 2x21 0x 1 或 x 2綜合 1 °、2° 得：x V -1或x > 22例2.求函數(shù)yx2 xx x-的值域1【巧解】變更主元法 易知函數(shù)的定義域?yàn)镽將原函數(shù)去分母整理，得：(y 1)x2 (y 1)x (y 1) 0 視 y 為某常數(shù).(1) 當(dāng) y 1 時(shí)，x 0(2) 當(dāng)y半1時(shí)，因x R,即方程有實(shí)根故(y 1)24(y 1)2 >0即 3

3、y210y3 >0得-y 331綜合(1)、( 2)得 1 y 33例31997年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科題若(z x)2 4(x y)(y z) 0 , 求證：x, y,z成等差數(shù)列【巧證】變更主元法將已知式視為y (y為主元、x、z為常量)的二次方程，有：4y24(x z)y (x z)20即 2y (x z) 02y x zx y y z按定義，x、y、z成等差數(shù)列例 4.設(shè) a,b R,求證：直線(2a+b) x+(a-b)y+( a-b)=0 總是 經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)：【巧證】變更主元法將原方程變形為：(2x y 1)a (x y 1)b0 (1)視參數(shù)a,b為主變數(shù)v a,b R即a,b為任取的兩個(gè)實(shí)數(shù)，要(1)式成立，必有2x y 1 0解得 x 2x y 10y 3就是說，不論a,b取什么實(shí)數(shù)，x=-2 , y =3,適合上述方程， 即系列直線總是經(jīng)過定點(diǎn)(-2 , 3)巧練1.函數(shù)y x2 -的值域是x巧練2.對(duì)滿足丨logzP |< 2的一切實(shí)數(shù)p,求使不等式x2 px 1 > 3x p都成立的x的取值范圍.巧練3.求證：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P (a