專題08含參數(shù)的導數(shù)問題解題規(guī)律

1、專題 含參數(shù)的導數(shù)問題解題規(guī)律一知識點 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式 () 常用函數(shù)的導數(shù)()=(為常數(shù));()=;()=;'=;()'=() 初等函數(shù)的導數(shù)公式()=;()'=;()'=; ()=;()=;()'=;()=導數(shù)的運算法則()()±()'=;()()()'=;()'=復合函數(shù)的導數(shù)()對于兩個函數(shù)=()和=()，如果通過變量，可以表示成的函數(shù)，那么稱這兩個函數(shù)(函數(shù)=()和=()的復合函數(shù)為=().(二) 構(gòu)造函數(shù) 例已知函數(shù) .()討論的單調(diào)性;()當 , 為兩個不相等的正數(shù)，證明： . 【答案】()時，在區(qū)

2、間為增函數(shù);時，在區(qū)間為增函數(shù);在區(qū)間為減函數(shù);()見解析 .【解析】 () 求出，分兩種種情況討論的圍，在定義域，分別令求得的圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的圍，可 得函數(shù)的減區(qū)間; ()設，原不等式等價于，令，則原不等式也等價于即 . 設，利用導數(shù)可得在區(qū)間為增函 數(shù)，從而可得結(jié)論 .【詳解】()函數(shù)的定義域為， . 若，則在區(qū)間為增函數(shù);若，令，得則當時，在區(qū)間為增函數(shù)；當時，在區(qū)間為減函數(shù)()當時，不妨設，則原不等式等價于，令，則原不等式也等價于即下面證明當時，恒成立設，則，故在區(qū)間為增函數(shù)，即，所以【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的證明，屬于難題不等式證明問題是近年高

3、考命題的熱點，利用導數(shù)證明不等主要方法有兩個，一是比較簡單的不等式證明，不等式兩邊作差構(gòu)造函 數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值即可；二是較為綜合的不等式證明，要觀察不等式特點， 結(jié)合已解答的問題把要證的不等式變形，并運用已證結(jié)論先行放縮，然后再化簡或者進一步利用導數(shù)證明練習已知函數(shù)()證明：f x有兩個零點;()已知1，若x0 R ,使得，試比較與2xq的大小.【答案】()見解析；()見解析【解析】試題分析：()在0,3上單調(diào)遞減，在3,上單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)的最值情況確定零點個數(shù)；()由，可得：-，令t 一，函數(shù)h t在1,上單調(diào)遞增，二fM-fk1 2 Ja-pa a+f又在1,

4、上是增函數(shù)， x0 ，即2x02試題解析：()據(jù)題知，求導得：令f x 0，有x 3 ;令x 0 ,得0x3，所以f x在0,3上單調(diào)遞減，在3,上單調(diào)遞增,令x 1，有fl 10 ;令x e2，有故f x在1,3和3,e各有個零點f x有兩個零點（）由，而a-Pa-fiIn +a ct+0令t -,則，<0?函數(shù)h t在1, 上單調(diào)遞增，故1 2 JGC_ Q又在1,上是增函數(shù)， x0，即2x02（三）極值點偏移例已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)，）.（）討論函數(shù)的單調(diào)性；（）當函數(shù)有兩個零點時，證明：【答案】（）見解析；（）見解析【解析】本題考查導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及用導數(shù)證明不等

5、式的問題。（）求導數(shù)后，根據(jù)導函數(shù)的符號判斷出函數(shù)的單調(diào)性。（）根據(jù)題意將證明的問題轉(zhuǎn)化為證明，即證，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明即可。試題解析：（）解： 當時，令，解得，當時，單調(diào)遞減; 當時，單調(diào)遞增。 當時，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增綜上，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。當時，在上單調(diào)遞增（）證明：當時，由（）知函數(shù)單調(diào)遞增，不存在兩個零點。所以。設函數(shù)的兩個零點為，則 ''十2設，解得，所以，要證，只需證，設匚：一-：二：一一 r -:匕：一. -1 L£設單調(diào)遞增，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，故.練習已知函數(shù)（）討論的單調(diào)性；（）已知存在兩個極值點，

6、令，若，求的取值圍【答案】（）見解析；（）【解析】（）對函數(shù)進行求導，討論導數(shù)的正負，求得單調(diào)區(qū)間（）將變形為，利用韋達將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，求得最值，即可得到的取值圍【詳解】<i）rw = -i-h=> oiX*X衛(wèi)。（i當/一為0在。+空）上里調(diào)連減！<1L）當亦一施>0即X0或心曲h令fm 得三戸或2七軍邁 當時，在上，單調(diào)遞增；在上，單調(diào)遞減 當時，在和上，單調(diào)遞減; 在上，單調(diào)遞增（），則，由（）可知，且則，從而令，則因為，所以，所以在上單調(diào)遞減，則，即 因為，即，所以，即的取值圍為【點睛】本題考查了導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值的關(guān)系，以及函數(shù)的能成立的問題

7、，培養(yǎng)學生的轉(zhuǎn)化能力，運算能力，屬于難題.（四）多變量問題例.已知函數(shù)（Ox ）, （ m R）（I）求f x的單調(diào)區(qū)間；（n）求證：是 g x的唯一極小值點；（川）若存在a , b 0,，滿足，求m的取值圍（只需寫出結(jié)論）3 3乞【答案】（）單調(diào)遞增區(qū)間為 0, , f x的單調(diào)遞減區(qū)間為,（）見解析（）m e44 4【解析】試題分析：（I）求出f' x , f ' x 0求得x的圍，可得函數(shù)f x增區(qū)間，f ' x 0求得x的圍，可得函數(shù) f x的減區(qū)間；（n）先求得（x 0）,可得g' 10 ,又可證明在定義域遞增,即可證明1是（）的唯一極小值點；（川）令

8、兩函數(shù)的值域有交集即可 （I） 因為3因為Ox ，所以x 34當x變化時，f' X , f x的變化情況如下:x0,43434，f ' x0f xZ極大值故f x的單調(diào)遞增區(qū)間為0 L , f x的單調(diào)遞減區(qū)間為'44(n)證明: (x 0), 設，貝U故g' x在0,是單調(diào)遞增函數(shù), 又Q g' 1 0，故方程g' x 0只有唯一實根x 1 當x變化時，g' x , g x的變化情況如下：x0,11,g' x0g x極小值Z故g x在x 1時取得極小值g 1 m，即是g x的唯一極小值點3_(川)m e4(五) 與三角函數(shù)有關(guān)的

9、函數(shù)問題例已知函數(shù)(x 0).()若a 1，求函數(shù)f x的極大值;()若x 0,時，恒有f x 0成立，求實數(shù)a的取值圍.2【答案】()2k 1； ()1,()對f x求導，【解析】試題分析：()當a 1時，對其求導，判斷導數(shù)與的關(guān)系，故而可得其極值;當a 1時，函數(shù)單調(diào)遞增，不等式成立；當a 1時,對其進行二次求導， 可得f”x0恒成立，f'x單調(diào)遞增，結(jié)合零點存在定理可得 f' x有唯一零點xo，進而可得當xO,xo時,f x單調(diào)遞減，且,即f x 0不恒成立;試題解析：()a 1時，當，k N時，f'x0， f x單調(diào)遞增，當,N 時，f ' x 0，kN

10、.f x單調(diào)遞減，所以，當時，f x取得極大值 2k 1/、 /Yx) = acosx-cosc+jcsiiix = (a-l4-xtanr)cost ()當a 10，即a 1時，f' x 0 ,所以f x單調(diào)遞增，所以;1 /'i) =-1 sirLr+sinx + .xco5x =(2 -£j)siixv+ijCOM： > 0當a 1時寸，f' x 0， f x單調(diào)遞所以f ' X單調(diào)遞增所以f ' X有唯一零點，記為x0，當xO,xo時,減，且，即f x0不恒成立；綜上所述，a的取值圍是1,練習.已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為y

11、5x .4()求a,b的值()求函數(shù)f X在,值域4 2【答案】()3,1 ；()【解析】試題分析:()求得f x的導數(shù)，可得切線的斜率和切點，由已知切線的方程可得a, b的方程組,解方程即可得到所求；()求得f x的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，禾U用單調(diào)性即可得到函數(shù) f x在 一， 值域.4 2綜上，由得：b 272當x 0,1時,b/fx I = orcos2jc + 5,二衛(wèi)+ 2s加2jc(p試題解析：()一-'為)，又jT7T朮-5 JT JTQCOS1424解得a 3,b1.()由()知，函數(shù)f x在 一,一上遞增， 函數(shù)f4 2在一，上的值域為4 2(六)構(gòu)造函數(shù)求

12、參數(shù)例設函數(shù)()當a 1時，求函數(shù)g x的極值;()設，對任意，都有，求實數(shù)()無極大值；()b272【解析】試題分析:()1時，定義域為0,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，函數(shù)沒有極大值()列坷)-門叫)I】<°尸(舛)5 |/3)+弋 =碼一兀由已知_ _<0，構(gòu)造函數(shù)，則G x在0,2上單調(diào)遞減,分類討論可得:當x 1,2時,272試題解析：? r- (1) 3/7=1 時J g(r)=T-21iDC-l ,定義域宵(0=4瓷)“ gF(x) = l- =當;©2)時，單調(diào)遞減，當H迂僅十閃)時0少0笛0)單調(diào)遞増，二£仗)的遲減區(qū)間是(CU)邃増區(qū)間星Z

13、P).二宅(%覺“亠212無楓大值()由已知F)-戸他)1“巴匕旦匕U設，則G x在0,2上單調(diào)遞減,當x 1,2時，Gx| =1ilv+' xGr| x'l 二丄一一- 1<0 所以-''整理：設，則在1,2上恒成立,所以h x在1,2上單調(diào)遞增，所以 h x最大值是.當x 0,1 時，所以G(jc)二-lax+ 十工&(工)- -一r + 1 <0 x+1x (x + 1)整理：b設，則在 0,1上恒成立,所以m x在0,1上單調(diào)遞增，所以 m x最大值是,綜上，由得：b .2練習.已知函數(shù)在處的切線斜率為 .()若函數(shù)在上單調(diào)，求實數(shù)的

14、最大值；()當時，若存在不等的使得，求實數(shù)的取值圍【答案】();()()轉(zhuǎn)化為存在不等的,【解析】()先根據(jù)切線的斜率求出，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)，得到恒成立，求出的最大值 且使得，進而得到【詳解】()函數(shù)在處的切線斜率為解得所以，故因為函數(shù)在上單調(diào) 故或在上恒成立顯然即在上不恒成立 所以恒成立即可 .因為可知在上單減，單增故，所以實數(shù)的最大值為 .()當時，由()知函數(shù)在上單調(diào)遞增不妨設，使得即為存在不等的，且使得其否定為：任意，都有即：函數(shù)在上單調(diào)遞增 .由()知：即所以若存在不等的使得實數(shù)的取值圍為 .(七)討論參數(shù)求參數(shù)例已知函數(shù)，(e為自然對數(shù)的底數(shù)).(I)當a 1時，求函數(shù)f x在點0,

15、 f 0處的切線方程；(n)若函數(shù)g x有兩個零點，試求 a的取值圍；(川)當x 0時，恒成立，求實數(shù) a的取值圍.【答案】 () y x 1 () 0,()【解析】 試題分析：()根據(jù)導數(shù)的幾何意義得到 f 01 ， f 01 ，根據(jù)這兩點可以寫出切線方程。()對函數(shù) g x 進行單調(diào)性的研究，分 a 0， a 0， a 0, 三種情況討論單調(diào)性，研究函數(shù)的圖像 變換趨勢，得到參數(shù)方位。 ()原不等式等價于恒成立，對右側(cè)函數(shù)研究單調(diào)性得最值即可。解析：(I)當 a 1 時， f 0 1, f 01.所以函數(shù) f x 在點 0, f 0 處的切線方程為 y x 1.(n)函數(shù)g x的定義域為R

16、，由已知得 當a 0時，函數(shù)只有一個零點； 當a 0，因為ex 2a 0 ,當 x ,0 時,g x 0 ；當 x 0, 時,g x0.所以函數(shù)g x在 ,0上單調(diào)遞減，在 0,上單調(diào)遞增又g 01, g 1 a ,因為x 0,所以x 10， ex 1所以，所以取，顯然X。0且g xg0所以，由零點存在性定理及函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)有兩個零點 當a 0時，由，得x 0，或.i）當a1，則 In 2a20當x變化時,g x , g x變化情況如下表：注意到g01,所以函數(shù)g x至多有一個零點，不符合題意 ii）當 a1則 In 2a0, g x 在,單調(diào)遞增，函數(shù)g x至多有一個零點，不符合題意2

17、1若a ，則In 2a0當x變化時，g x , g x變化情況如下表:2注意到當x 0, a0 時，,g 01，所以函數(shù)g x至多有一個零點，不符合題意綜上，a的取值圍是0, （川）當f x 0 時，即，令，則令，則當x0,ln2 時，x 0,x單調(diào)遞減；當時，x 0,x單調(diào)遞增又00, 10,所以，當x0,1 時，x 0，即h x 0,所以h x單調(diào)遞減；當x 1, 時，即h x 0,所以h x單調(diào)遞增，所以，所以.點睛：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分離參數(shù)法的運用，考查學生分析解決問題的能力，分類討論的能力，屬于較難的題.利用導數(shù)證明不等式常見類型及解題策略（）構(gòu)

18、造差函數(shù)根據(jù)差函數(shù)導函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進而證明不等式.（）根據(jù)條件,尋找目標函數(shù) 一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應項之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元 函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)練習.設函數(shù)f x ex, g x Inx .（i）證明：；（n）若對所有的 x 0,都有，求實數(shù)a的取值圍.【答案】（i）見解析；（n） a 2.【解析】 試題分析：（i）令，求導得單調(diào)性，進而得，從而得證；（n）記求兩次導得 h x在0, 遞增，又，進而討論2 a的正負，從而得原函數(shù)的單調(diào)性，進而可求最值.試題解析：（i）令，由 F x在（0,e遞減，在e, 遞增， F x 0

19、即成立.（n） 記， h x 0在0,恒成立，, , h x在0, 遞增，又，當a 2時，h x 0成立，即h x在0,遞增，則,即成立；當 a 2時， hx在0,遞增，且，必存在t 0,使得h t0 .則x 0,t時，h t 0,即x 0,t時，與h x 0在0,恒成立矛盾，故a 2舍去.綜上，實數(shù)a的取值圍是a 2 .點睛：導數(shù)問題經(jīng)常會遇見恒成立的問題:()根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題;()若 f x0就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為f X min 0，若f x 0恒成立;()若 恒成立，可轉(zhuǎn)化為(八)利用特值縮小圍例.已知，其中a為實常數(shù)，

20、曲線y f x在點e, f e處的切線的縱截距為,(其中e是無理數(shù))()求 a ；()不等式f xmx2對x 0, 恒成立，求實數(shù) m的最大值.【答案】()a 1;()實數(shù)m的最大值為e.【解析】 試題分析：()根據(jù)曲線的切線的幾何意義得到切線方程為，由截距已知，可以求出參數(shù)值。()不等式恒成立求參變量分離可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題,代入特值x 1時，得到m e,現(xiàn)在驗證的最大值可以是，即可。再構(gòu)造函數(shù)，研究最值即可。曲線y f x在e, f e處的切線方程為x 0時,I +2總I +-解得a 1.f (工)二它"+ uxlnx,0/(xj > O4-eadux >O>

21、 mx O + elnx > mx(n)當x 1時，得到m e ;下證當m e時，不等式對 x 0恒成立設，則 10占Al -X設，x 0, h 10,h 10, x 0,1 時，x 1, 時,所以x 0,x1時，x 0,1時， x 0, x 1, 時， x 0，所以，結(jié)論成立；綜述：實數(shù)m的最大值為e.點睛：這個題目考查了導數(shù)的幾何意義，切線的幾何意義，也考查了函數(shù)恒成立求參的問題。第二問的解 決方法常見的是：變量分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，或者直接含參討論，研究函數(shù)最值；還有就是這個題 目中用到的方法，先猜后證。練習.已知函數(shù).（）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（）若有兩個極值點 x1, x2,

22、且，求a取值圍.（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.11【答案】（）單調(diào)遞增區(qū)間為0,丄 和2,，單調(diào)遞減區(qū)間為丄，2 ;2 2（）【解析】（）求導，利用導數(shù)的符號確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）求導，禾U用導函數(shù)，將函數(shù)存在極值問題轉(zhuǎn)化為導函數(shù)對應方程的根的分布情況進行求解.試題解析：（）f x的定義域為0,1 1fx的單調(diào)遞增區(qū)間為%和2，單調(diào)遞減區(qū)間為2,2（）因為，令若f x有兩個極值點，則方程（）有兩個不等的正根，所以a2 16 >0 ,即a 4 （舍）或a 4時，且，x1x21 .又11乂為，于疋，3 e1 1 1 1（ x ），則恒成立， h x在 ，-單調(diào)遞減，即，故的取值圍為.(九)分參

23、法求參數(shù)例已知函數(shù)()求f X在上的最小值;1()若存在X。丄,e使得成立，求實數(shù)的取值圍e11【答案】()t , ；0 t , ； (),1 .ee【解析】()首先求得函數(shù)的導函數(shù)為，分類討論可得：11t , ；0 t ,；ee11()原問題等價于x丄(，構(gòu)造新函數(shù)，x 丄(，ee結(jié)合函數(shù)()的性質(zhì)可得實數(shù)的取值圍是,1試題解析:（）f' x 0，函數(shù)f x單調(diào)遞增11令f ' x 0，解得x ,則x -時, eef' x 0，函數(shù)f x單調(diào)遞減1t -時，函數(shù)f x在單調(diào)遞增e因此，函數(shù)f x取得極小值即最小值,令，x1-,e ， e0 t1時，et e12，則x

24、時，函數(shù)數(shù)1ef x取得極小值即最小值,綜上，t1，；0 t1ee()存在X。1 ,e使得1 x,eee令，x1-,e ， e則則，可知1-,1時單調(diào)增，xe1,e時單調(diào)減且，因此令h' x解得x 1，可得x1是函數(shù)h x的極大值點，即最大值，h 11 , m 1，實數(shù)的取值圍,1 .點睛：導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數(shù)的應用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來看，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行:（）考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系.（）（）利用導數(shù)求函數(shù)的最值

25、（極值），解決利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù).生活中的優(yōu)化問題.（）考查數(shù)形結(jié)合思想的應用.1 x練習已知函數(shù)（）,（）.ex（）若函數(shù)（）和（）的圖象在處的切線平行，求的值;()當,時，不等式（）w（）恒成立，求的取值圍.【答案】【解析】1e 3（）（） -2e3試題分析：（）分別求出（），（）的導數(shù)，計算得到'()'（），求出的值即可;2 1（）問題轉(zhuǎn)化為-一在,恒成立，令（）x2x ,，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出（）的最大值，得到關(guān)于的不等式，解出即可.試題解析:()'()-x，'()e(),11,解得：e（）當 ,時，不等式（）W（）

26、恒成立,由題意得:1 ；2e即-一V在,恒成立,2令(), ,則()故()在,遞增,故()W故3 ,e練習.已知函數(shù).()3,e解得：w乞衛(wèi)3()求函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間;()若關(guān)于x的不等式恒成立，求整數(shù) a的最小值.【答案】()當a 0時,f x的單調(diào)遞增區(qū)間為 0, ，無減區(qū)間,當a 0時，f x的單調(diào)遞增區(qū)間為0,1 ，單調(diào)遞減區(qū)間為；()【解析】試題分析:()首先對函數(shù)求導，然后對參數(shù)分類討論可得當a 0時,的單調(diào)遞增區(qū)間為 0,，無減區(qū)間,當a 0時，f x的單調(diào)遞增區(qū)間為0,1 ，單調(diào)遞減區(qū)間為()將原問題轉(zhuǎn)化為在0,上恒成立,考查函數(shù)的性質(zhì)可得整數(shù)a的最小值是.試題解析:()，函

27、數(shù)fx的定義域為0,0時,0,上單調(diào)遞增,0時,0，則x:或f x為增函數(shù),1 時，f' x0， f x為減函數(shù),當a 0時，f x的單調(diào)遞增區(qū)間為0,，無減區(qū)間,當a 0時，f x的單調(diào)遞增區(qū)間為 0, 1 ，單調(diào)遞減區(qū)間為、1 ()解法一：由得，/ x 0,原命題等價于在 0,上恒成立，令，則，令，則h x在0,上單調(diào)遞增，由 h 110 ,、 1存在唯一 X0,1 ，使 h X00 ,.2當0 x x°時，g' x 0, g x為增函數(shù),當xx0時，g' x 0 , g x為減函數(shù),- xx0 時，1aX。又xg5，則-1,2 ,2X。由aZ ,所以a2

28、.故整數(shù)a的最小值為解法二1：得，令，a 0時，g' x 0, g x在0,上單調(diào)遞減,該情況不成立,、lax* + (2)x 22)(jc+1)g- hr)=aw t西 /0時，當x10,時，g' x 0, g x單調(diào)遞減；a當時，g' x 0, g x單調(diào)遞增，g x0恒成立，即令，顯然ha為單調(diào)遞減函數(shù)由 a Z，且 h 110,當a 2時，恒有h a 0成立，故整數(shù)a的最小值為綜合可得，整數(shù) a的最小值為點睛：導數(shù)是研究函數(shù)的 單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數(shù)的應用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來看，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：（）考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系.（）利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù).（）利用導數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問題.（）考查數(shù)