異面直線的判斷與所成的角

1、異面直線的判斷與所成的角一選擇題（共10小題）1異面直線是指（）A空間中兩條不相交的直線B平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線C分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線D不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線2已知：空間四邊形ABCD如圖所示，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，G、H分別是BC，CD上的點(diǎn)，且.，則直線FH與直線EG（）A平行B相交C異面D垂直3在下列圖形中，G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有（）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)4在長方體ABCDA1B1C1D1的十二條棱中，與面對(duì)角線AC垂直且異面的棱的條數(shù)是（）A2B4C6D85正方體ABCDA1B1

2、C1D1中，與對(duì)角線A1B成45°的棱有（）條A4B8C12D26如圖所示，在三棱錐PABC的六條棱所在的直線中，異面直線共有（）A2對(duì)B3對(duì)C4對(duì)D6對(duì)7將正方體的紙盒展開如圖，直線AB、CD在原正方體的位置關(guān)系是（）A平行B垂直C相交成60°角D異面且成60°角8如果兩條異面直線稱為“一對(duì)”，那么在正方體的十二條棱中共有異面直線（）A12對(duì)B24對(duì)C36對(duì)D48對(duì)9如圖，點(diǎn)P、Q、R、S分別在正方體的四條棱上，并且是所在棱的中點(diǎn)，則直線PQ與RS是異面直線的一個(gè)圖是（）ABCD10一個(gè)正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有下列結(jié)論：ABEF；AB與CM成

3、60°角；EF與MN是異面直線；MNCD，其中正確的是（）ABCD二填空題（共5小題）11如圖所示，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是CC1，AD的中點(diǎn)，那么異面直線OE和FD1所成角的余弦值等于 12在正四棱錐PABCD中，PA=2，直線PA與平面ABCD所成角為60°，E為PC的中點(diǎn)，則異面直線PA與BE所成角的大小為 13在棱長為1的正方體ABCDA'B'C'D'中，異面直線A'D與AB'所成角的大小是 14如圖是正方體的展開圖，其中直線AB與CD在原正方體中所成角的大小是

4、 15空間四邊形ABCD中，對(duì)角線AC=10，BD=6，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，且MN=7，則異面直線AC與BD所成的角為 異面直線的判斷與所成的角參考答案與試題解析一選擇題（共10小題）1異面直線是指（）A空間中兩條不相交的直線B平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線C分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線D不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線【分析】依據(jù)異面直線的定義，逐一分析研究各個(gè)選項(xiàng)的正確性，可以通過舉反例的方法進(jìn)行排除【解答】解：A 不正確，因?yàn)榭臻g中兩條不相交的直線可能平行B 不正確，因?yàn)槠矫鎯?nèi)的一條直線與平面外的一條直線可能平行，也可能相交C不正確，因?yàn)榉謩e位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線可

5、能平行，也可能相交D 正確，這就是異面直線的定義故選 D【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線的定義，用舉反例的方法判斷一個(gè)命題是假命題，是一種簡(jiǎn)單有效的方法2已知：空間四邊形ABCD如圖所示，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，G、H分別是BC，CD上的點(diǎn)，且.，則直線FH與直線EG（）A平行B相交C異面D垂直【分析】由已知EF為三角形ABD的中位線，從而EFBD且EF=BD，由.，得在四邊形EFHG中，EFHG，即E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，且EFHG，由此能得出結(jié)論【解答】解：四邊形ABCD是空間四邊形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，EF為三角形ABD的中位線EFBD且EF=BD又.，CHGCDB，且HGBD，

6、HG=BD在四邊形EFHG中，EFHG即E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，且EFHG，四邊形EFGH是梯形，直線FH與直線EG相交，故選B【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平行線分線段成比例定理，是基礎(chǔ)題，根據(jù)已知條件，判斷出EFHG且EFHG，是解答本題的關(guān)鍵3在下列圖形中，G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有（）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【分析】利用G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，線面的關(guān)系可判斷GH、MN是異面直線的圖形【解答】解：由題意：G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，對(duì)于圖1：G，M是中點(diǎn)，上下面平行，故得GH、MN

7、平行；對(duì)于圖2：過N點(diǎn)作GH的平行線，可得GH與MN相交GH與MN不平行；且GH與MN不在同一平面，故得直線GH、MN是異面直線；對(duì)于3：GH與MN不在同一平面，GH與MN不平行，延長必相交故得直線GH、MN不是異面直線；對(duì)于4：取GH的中點(diǎn)為E，可得GENM是平行四邊形故得GH、MN平行；圖2，圖3中直線GH、MN是異面直線；故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩條直線在空間圖形中的位置的判斷利用了正三棱柱的特征和中點(diǎn)的性質(zhì)屬于基礎(chǔ)題4在長方體ABCDA1B1C1D1的十二條棱中，與面對(duì)角線AC垂直且異面的棱的條數(shù)是（）A2B4C6D8【分析】作出圖形，列舉出與面對(duì)角線AC垂直且異面的棱【解答】解：如

8、圖，在長方體ABCDA1B1C1D1的十二條棱中，與面對(duì)角線AC垂直且異面的棱有：BB1和DD1，與面對(duì)角線AC垂直且異面的棱的條數(shù)是2故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查滿足條件的棱的條數(shù)的求法，考查長方體的結(jié)構(gòu)特征等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題5正方體ABCDA1B1C1D1中，與對(duì)角線A1B成45°的棱有（）條A4B8C12D2【分析】根據(jù)線線角的定義在正方體中逐一尋找判斷即可【解答】解：如圖所示：在正方形ABB1A1中，AA1、AB、BB1、A1B1與A1B均成45°角，根據(jù)線線角的定義知，DD1、CC1、DC、D1C1都與A1B成45°角，所以滿足條件的棱有

9、8條，故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中異面直線所成角的定義及其求法，屬基礎(chǔ)題6如圖所示，在三棱錐PABC的六條棱所在的直線中，異面直線共有（）A2對(duì)B3對(duì)C4對(duì)D6對(duì)【分析】畫出三棱錐，找出它的棱所在直線的異面直線即可【解答】解：如圖所示，三棱錐PABC中，棱PA與BC是異面直線，棱PB與AC是異面直線，棱PC與AB是異面直線；共3對(duì)故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中的異面直線的判定問題，解題時(shí)應(yīng)結(jié)合圖形進(jìn)行解答，是基礎(chǔ)題7將正方體的紙盒展開如圖，直線AB、CD在原正方體的位置關(guān)系是（）A平行B垂直C相交成60°角D異面且成60°角【分析】以AB所在平面為底面，將右側(cè)正方形折起

10、為右邊的平面，因?yàn)镈EAB，所以CDE即為直線AB，CD所成的角，在CDE中求解即可【解答】解：如圖，直線AB，CD異面因?yàn)镈EAB，所以CDE即為直線AB，CD所成的角，因?yàn)镃DE為等邊三角形，故CDE=60°故選D【點(diǎn)評(píng)】本題以圖形的折疊為載體，考查平面圖形向空間圖形的轉(zhuǎn)化，考查折疊問題、異面直線的判斷及異面直線所成的角，考查空間想象能力和運(yùn)算能力8如果兩條異面直線稱為“一對(duì)”，那么在正方體的十二條棱中共有異面直線（）A12對(duì)B24對(duì)C36對(duì)D48對(duì)【分析】畫出正方體，查出一條棱的異面直線的對(duì)數(shù)為4，用正方體的棱數(shù)乘以2即可得到結(jié)果【解答】解：如圖，在正方體ABCDA1B1C1D

11、1中，與棱AB異面的有CC1，DD1，B1C1，A1D1共4對(duì)，正方體ABCDA1B1C1D1有12條棱，排除兩棱的重復(fù)計(jì)算，異面直線共有12×2=24對(duì)故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線的判定，體現(xiàn)了組合思想方法，是基礎(chǔ)題9如圖，點(diǎn)P、Q、R、S分別在正方體的四條棱上，并且是所在棱的中點(diǎn)，則直線PQ與RS是異面直線的一個(gè)圖是（）ABCD【分析】利用一面直線的定義和正方體的性質(zhì)，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)中的2條直線的位置關(guān)系，把滿足條件的選項(xiàng)找出來【解答】解：A 中的PQ與RS是兩條平行且相等的線段，故選項(xiàng)A不滿足條件B 中的PQ與RS是兩條平行且相等的線段，故選項(xiàng)B也不滿足條件D 中，由于P

12、R平行且等于SQ，故四邊形SRPQ為梯形，故PQ與RS是兩條相交直線，它們和棱交與同一個(gè)點(diǎn)，故選項(xiàng)D不滿足條件C 中的PQ與RS是兩條既不平行，又不相交的直線，故選項(xiàng)C滿足條件故選 C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查異面直線的定義，正方體的性質(zhì)，判斷2條直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題10一個(gè)正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有下列結(jié)論：ABEF；AB與CM成60°角；EF與MN是異面直線；MNCD，其中正確的是（）ABCD【分析】將其還原成正方體，如圖所示，依據(jù)圖形、正方體的幾何性質(zhì)進(jìn)行判斷各線的位置關(guān)系【解答】解：將正方體紙盒展開圖還原成正方體，如圖知，ABEF，EF與MN是異面直線，AB

13、CM，MNCD，只有正確，故應(yīng)選D【點(diǎn)評(píng)】考查正方體的幾何性質(zhì)，線線的位置關(guān)系，本題涉及到了直線間的幾個(gè)常見位置關(guān)系如平行、垂直、異面二填空題（共5小題）11如圖所示，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是CC1，AD的中點(diǎn)，那么異面直線OE和FD1所成角的余弦值等于【分析】取BC的中點(diǎn)G連接GC1，則GC1FD1，再取GC的中點(diǎn)H，連接HE、OH，則OEH為異面直線所成的角，在OEH中，利用余弦定理可得結(jié)論【解答】解：取BC的中點(diǎn)G連接GC1，則GC1FD1，再取GC的中點(diǎn)H，連接HE、OH，則E是CC1的中點(diǎn)，GC1EHOEH為異面直線所成的角在

14、OEH中，OE=，HE=，OH=由余弦定理，可得cosOEH=故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成的角，考查余弦定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是作出異面直線所成的角12在正四棱錐PABCD中，PA=2，直線PA與平面ABCD所成角為60°，E為PC的中點(diǎn)，則異面直線PA與BE所成角的大小為45°【分析】連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接OE，OP，先證明PAO即為PA與面ABCD所成的角，即可得出結(jié)論【解答】解：連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接OE，OP因?yàn)镋為PC中點(diǎn)，所以O(shè)EPA，所以O(shè)EB即為異面直線PA與BE所成的角因?yàn)樗睦忮FPABCD為正四棱錐，所以PO平面ABCD，所以AO為P

15、A在面ABCD內(nèi)的射影，所以PAO即為PA與面ABCD所成的角，即PAO=60°，因?yàn)镻A=2，所以O(shè)A=OB=1，OE=1PBC中，PB=PC=2，BC=，2（4+2）=4+4BE2，BE=，OE2+OB2=BE2，所以在直角三角形EOB中OEB=45°，即面直線PA與BE所成的角為45°故答案為為45°【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角，考查線面垂直，比較基礎(chǔ)13在棱長為1的正方體ABCDA'B'C'D'中，異面直線A'D與AB'所成角的大小是【分析】根據(jù)題意，連接BC，得出ABC是異面直線A'D與

16、AB'所成的角，利用等邊三角形求出它的大小【解答】解：正方體ABCDA'B'C'D'中，連接AD、AB、BC，如圖所示；則ABDC，且AB=DC，四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，ABC是異面直線A'D與AB'所成的角，連接AC，則ABC是邊長為等邊三角形，ABC=，即異面直線A'D與AB'所成角是故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中兩條異面直線所成角的作法與計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題14如圖是正方體的展開圖，其中直線AB與CD在原正方體中所成角的大小是60°【分析】如圖：由于ABMC 且 AB=MC，故直線AB與CD成的角等于CD與 CM成的角，根據(jù)由CMD為等邊三角形，可得MCD=60°即為所求【解答】解：原正方體如圖所示：由于ABMC 且 AB=MC，故直線AB與CD成的角等于CD與 CM成的角由CMD為等邊三角形，MCD=60°，故直線AB與CD在原正方體中所成角的大小是60°故答案為：60°【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查異面直線所成的角的定義和求法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想15空間四邊形ABCD中，對(duì)角線AC=10，BD=6，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，且