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文檔簡介
1、教學(xué)內(nèi)容(含時間安排)板書或旁注第八章 微分方程第一節(jié) 微分方程的基本概念(1課時)要求:弄清微分方程“階”、“解”、“初時條件”、“通解”、“特解”等基本概念。重點:微分方程的基本概念。難點:建立數(shù)學(xué)模型。1引例 例1已知曲線上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標與縱坐標之比,且該曲線通過點,求此曲線的方程解 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,所求曲線應(yīng)滿足關(guān)系式,即 , 或 ,上式通過積分,得,其中為任意常數(shù),再由條件,求得,故所求曲線方程為 (雙曲線) 例2設(shè)質(zhì)量為的物體在重力作用下自由下落,已知初速度為,求物體下落的距離與時間的關(guān)系(設(shè)物體下落時不計空氣阻力)解 設(shè)表示下落的位置與起始位置之間的距離,表
2、示下落的時間,問題要求出,即與的函數(shù)關(guān)系由牛頓第二定律知 ,又因為物體受重力的作用(不計空氣阻力),于是應(yīng)滿足關(guān)系式,即 此外,應(yīng)滿足初始狀態(tài)的條件是,對于方程關(guān)于積分一次,得,再積分一次,得 其中是兩個獨立的任意常數(shù)再由初始狀態(tài)的條件,求出,則 就是所求物體自由下落時的運動規(guī)律 2基本概念 定義1. 含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)(偏導(dǎo)數(shù))或微分的等式稱為微分方程例如: ,均是微分方程,以上微分方程中未知函數(shù)都是一元函數(shù),他們所滿足的微分方程稱常微分方程如果未知函數(shù)是多元函數(shù),則含有未知函數(shù)及偏導(dǎo)數(shù)的等式,稱偏微分方程例如: ,本章只討論常微分方程,以后常微分方程簡稱方程 定義2. 在方程中出現(xiàn)的未知
3、函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù),稱為微分方程的階例如: 是一階微分方程,二階微分方程,是三階微分方程一般地,階微分方程的一般形式是 定義3. 若用某個函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)代入微分方程中后,使方程成為恒等式,則此函數(shù)稱為微分方程的解例如: 函數(shù)是微分方程的解,方程是微分方程的解 定義4 若方程解中含有獨立的任意常數(shù)的個數(shù)等于微分方程的階數(shù),則稱此解為微分方程的通解例如: 函數(shù)是微分方程的通解,函數(shù)是微分方程的通解定義5. 從通解中取定任意常數(shù)的一組值所得到的解稱為微分方程的特解例如: 函數(shù)是微分方程的特解,函數(shù)是微分方程的特解 定義6. 用來確定通解中任意常數(shù)的條件稱為初始條件 例如: 條件是一階微分方程的初始
4、條件;條件,是二階微分方程的初始條件定義7. 求微分方程滿足初始條件的特解這樣一個問題,叫一階微分方程的初值問題,記作 例3求含有兩個任意常數(shù)的曲線族所滿足的二階微分方程 解 分別求出函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù) ,上面兩式消去得二階微分方程 例4(1)驗證函數(shù)()是微分方程的通解;(2)已知函數(shù),當時,是微分方程的通解,求滿足初始條件,的特解解(1)因為 ,將上式代入方程中滿足方程,故為方程的解,且相互獨立,因此是方程的通解(2)將條件代入中,得,將條件代入中,得,故得所求特解為例5試確定,使是微分方程的解 解 因為,將,代入方程中,得,又因為,得,所以,因此當時,是微分方程的解 第二節(jié) 可分離變量的
5、微分方程(1課時)要求:掌握變量可以分離方程及其解法。重點:可分離變量的微分方程的求解。難點:可分離變量的微分方程的求解1引例 求解微分方程解 因為,方程兩邊積分,得為方程的解對于微分方程,不能象上面直接積分,因為等式右邊含有,如果方程變?yōu)?,則兩端可積分得 或 為方程通解2可分離變量的微分方程如果一階微分方程的右端函數(shù),則稱形如的方程為可分離變量的微分方程求方程通解 分離變量,得 ,上式兩端積分 ,得方程通解為 ,其中函數(shù)是的原函數(shù),函數(shù)是的原函數(shù) 例1求微分方程的通解解 首先判別方程是可分離變量的,分離變量 ,上式兩端積分 ,得 于是方程的通解為說明 為運算方便,遇到對數(shù),可不加絕對值,只認
6、為可正可負 例2求微分方程的通解解 微分方程是可分離變量的,分離變量,得 兩端積分,得即為微分方程的通解上式給出的方程通解是隱函數(shù)形式的,稱為方程的隱式通解 第三節(jié) 一階線性微分方程(1課時)要求:掌握一階線性微分方程的解法,會解伯努利方程。重點:一階線性微分方程的求解,線性微分方程解的特點。難點:作為自變量的一階線性微分方程及伯努利方程的求解問題。作業(yè):習(xí)題124()一、線性微分方程1定義 形如 (1)的微分方程稱為一階線性微分方程 當時,微分方程 (2)稱為一階線性齊次微分方程; 當時,微分方程稱為一階線性非齊次微分方程 2求解 (1)求解一階線性齊次微分方程 通解該方程是可分離變量方程,
7、分離變量,得 上式兩端積分,得 即得線性齊次微分方程的通解 (2)用常數(shù)變易法,求線性非齊次微分方程(1)的通解 設(shè)(2)通解中的換成函數(shù),即作變換, 設(shè)為方程(1)的解,將其代入方程(1)中求出因為 將其代入(1)中,得 即 ,上式兩端積分,得 再將代回,即得線性非齊次微分方程(1)的通解 (3) 注意 線性非齊次微分方程的通解等于所對應(yīng)線性齊次微分方程通解加線性非齊次微分方程的一個特解 例1求方程的通解解 (1)先求出對應(yīng)線性齊次微分方程通解因為 分離變量,得 , 兩邊積分,得 得所求微分方程的通解為 (2)用常數(shù)變易法求線性非齊次通解設(shè)為線性非齊次方程的解,將其及 代入原方程中,得 即 積分,得 于是微分方程的通解為例2求連續(xù)函數(shù),使它滿足積分方程 解 方程兩邊求導(dǎo),得 ,成為一階線性微分方程,
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