微分方程14051

1、教學(xué)內(nèi)容（含時(shí)間安排）板書或旁注第八章 微分方程第一節(jié) 微分方程的基本概念（1課時(shí)）要求：弄清微分方程“階”、“解”、“初時(shí)條件”、“通解”、“特解”等基本概念。重點(diǎn)：微分方程的基本概念。難點(diǎn)：建立數(shù)學(xué)模型。1引例 例1已知曲線上任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之比，且該曲線通過點(diǎn)，求此曲線的方程解 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，所求曲線應(yīng)滿足關(guān)系式，即 ， 或 ，上式通過積分，得，其中為任意常數(shù)，再由條件，求得，故所求曲線方程為 （雙曲線） 例2設(shè)質(zhì)量為的物體在重力作用下自由下落，已知初速度為，求物體下落的距離與時(shí)間的關(guān)系（設(shè)物體下落時(shí)不計(jì)空氣阻力）解 設(shè)表示下落的位置與起始位置之間的距離，表

2、示下落的時(shí)間，問題要求出，即與的函數(shù)關(guān)系由牛頓第二定律知 ，又因?yàn)槲矬w受重力的作用（不計(jì)空氣阻力），于是應(yīng)滿足關(guān)系式，即 此外，應(yīng)滿足初始狀態(tài)的條件是，對(duì)于方程關(guān)于積分一次，得,再積分一次，得 其中是兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)再由初始狀態(tài)的條件，求出，則 就是所求物體自由下落時(shí)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 2基本概念 定義1. 含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）或微分的等式稱為微分方程例如： ，均是微分方程，以上微分方程中未知函數(shù)都是一元函數(shù)，他們所滿足的微分方程稱常微分方程如果未知函數(shù)是多元函數(shù)，則含有未知函數(shù)及偏導(dǎo)數(shù)的等式，稱偏微分方程例如： ，本章只討論常微分方程，以后常微分方程簡稱方程 定義2. 在方程中出現(xiàn)的未知

3、函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱為微分方程的階例如： 是一階微分方程，二階微分方程，是三階微分方程一般地，階微分方程的一般形式是 定義3. 若用某個(gè)函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)代入微分方程中后，使方程成為恒等式，則此函數(shù)稱為微分方程的解例如： 函數(shù)是微分方程的解，方程是微分方程的解 定義4 若方程解中含有獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)等于微分方程的階數(shù)，則稱此解為微分方程的通解例如： 函數(shù)是微分方程的通解，函數(shù)是微分方程的通解定義5. 從通解中取定任意常數(shù)的一組值所得到的解稱為微分方程的特解例如： 函數(shù)是微分方程的特解，函數(shù)是微分方程的特解 定義6. 用來確定通解中任意常數(shù)的條件稱為初始條件 例如： 條件是一階微分方程的初始

4、條件；條件，是二階微分方程的初始條件定義7. 求微分方程滿足初始條件的特解這樣一個(gè)問題，叫一階微分方程的初值問題，記作 例3求含有兩個(gè)任意常數(shù)的曲線族所滿足的二階微分方程 解 分別求出函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù) ，上面兩式消去得二階微分方程 例4（1）驗(yàn)證函數(shù)（）是微分方程的通解；（2）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是微分方程的通解，求滿足初始條件，的特解解（1）因?yàn)?，將上式代入方程中滿足方程，故為方程的解，且相互獨(dú)立，因此是方程的通解（2）將條件代入中，得，將條件代入中，得，故得所求特解為例5試確定，使是微分方程的解 解 因?yàn)?，將，代入方程中，得，又因?yàn)?，得，所以，因此?dāng)時(shí)，是微分方程的解 第二節(jié) 可分離變量的

5、微分方程（1課時(shí)）要求：掌握變量可以分離方程及其解法。重點(diǎn)：可分離變量的微分方程的求解。難點(diǎn)：可分離變量的微分方程的求解1引例 求解微分方程解 因?yàn)?，方程兩邊積分，得為方程的解對(duì)于微分方程，不能象上面直接積分，因?yàn)榈仁接疫吅校绻匠套優(yōu)?，則兩端可積分得 或 為方程通解2可分離變量的微分方程如果一階微分方程的右端函數(shù)，則稱形如的方程為可分離變量的微分方程求方程通解 分離變量，得 ，上式兩端積分 ，得方程通解為 ，其中函數(shù)是的原函數(shù)，函數(shù)是的原函數(shù) 例1求微分方程的通解解 首先判別方程是可分離變量的，分離變量 ，上式兩端積分 ，得 于是方程的通解為說明 為運(yùn)算方便，遇到對(duì)數(shù)，可不加絕對(duì)值，只認(rèn)

6、為可正可負(fù) 例2求微分方程的通解解 微分方程是可分離變量的，分離變量，得 兩端積分，得即為微分方程的通解上式給出的方程通解是隱函數(shù)形式的，稱為方程的隱式通解 第三節(jié) 一階線性微分方程（1課時(shí)）要求：掌握一階線性微分方程的解法，會(huì)解伯努利方程。重點(diǎn)：一階線性微分方程的求解，線性微分方程解的特點(diǎn)。難點(diǎn)：作為自變量的一階線性微分方程及伯努利方程的求解問題。作業(yè)：習(xí)題124（）一、線性微分方程1定義 形如 （1）的微分方程稱為一階線性微分方程 當(dāng)時(shí)，微分方程 （2）稱為一階線性齊次微分方程； 當(dāng)時(shí)，微分方程稱為一階線性非齊次微分方程 2求解 （1）求解一階線性齊次微分方程 通解該方程是可分離變量方程，

7、分離變量，得 上式兩端積分，得 即得線性齊次微分方程的通解 （2）用常數(shù)變易法，求線性非齊次微分方程（1）的通解 設(shè)（2）通解中的換成函數(shù)，即作變換， 設(shè)為方程（1）的解，將其代入方程（1）中求出因?yàn)?將其代入（1）中，得 即 ，上式兩端積分，得 再將代回，即得線性非齊次微分方程（1）的通解 （3） 注意 線性非齊次微分方程的通解等于所對(duì)應(yīng)線性齊次微分方程通解加線性非齊次微分方程的一個(gè)特解 例1求方程的通解解 （1）先求出對(duì)應(yīng)線性齊次微分方程通解因?yàn)?分離變量，得 ， 兩邊積分，得 得所求微分方程的通解為 （2）用常數(shù)變易法求線性非齊次通解設(shè)為線性非齊次方程的解，將其及 代入原方程中，得 即 積分，得 于是微分方程的通解為例2求連續(xù)函數(shù)，使它滿足積分方程 解 方程兩邊求導(dǎo)，得 ，成為一階線性微分方程，