平衡微分方程與切應(yīng)力互等定理

1、第二章 應(yīng)力狀態(tài)分析一. 內(nèi)容介紹彈性力學(xué)的研究對(duì)象為三維彈性體，因此分析從微分單元體入手，本章的任務(wù)就是從靜力學(xué)觀點(diǎn)出發(fā)，討論一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，建立平衡微分方程和面力邊界條件。    應(yīng)力狀態(tài)是本章討論的首要問題。由于應(yīng)力矢量與內(nèi)力和作用截面方位均有關(guān)。因此，一點(diǎn)各個(gè)截面的應(yīng)力是不同的。確定一點(diǎn)不同截面的應(yīng)力變化規(guī)律稱為應(yīng)力狀態(tài)分析。首先是確定應(yīng)力狀態(tài)的描述方法，這包括應(yīng)力矢量定義，及其分解為主應(yīng)力、切應(yīng)力和應(yīng)力分量；其次是任意截面的應(yīng)力分量的確定轉(zhuǎn)軸公式；最后是一點(diǎn)的特殊應(yīng)力確定，主應(yīng)力和主平面、最大切應(yīng)力和應(yīng)力圓等。    應(yīng)力狀

2、態(tài)分析表明應(yīng)力分量為二階對(duì)稱張量。本課程分析中使用張量符號(hào)描述物理量和基本方程，如果你沒有學(xué)習(xí)過張量概念，請(qǐng)進(jìn)入附錄一，或者查閱參考資料。    本章的另一個(gè)任務(wù)是討論彈性體內(nèi)一點(diǎn)微分單元體的平衡。彈性體內(nèi)部單元體的平衡條件為平衡微分方程和切應(yīng)力互等定理；邊界單元體的平衡條件為面力邊界條件。二. 重點(diǎn)    1.應(yīng)力狀態(tài)的定義：應(yīng)力矢量；正應(yīng)力與切應(yīng)力；應(yīng)力分量；     2.平衡微分方程與切應(yīng)力互等定理；    3.面力邊界條件；    4.應(yīng)

3、力分量的轉(zhuǎn)軸公式；       5.應(yīng)力狀態(tài)特征方程和應(yīng)力不變量三知識(shí)點(diǎn)體力、應(yīng)力矢量、應(yīng)力分量、平衡微分方程、面力邊界條件、主平面與主應(yīng)力、主應(yīng)力性質(zhì)、截面正應(yīng)力與切應(yīng)力、三向應(yīng)力圓、八面體單元、偏應(yīng)力張量不變量、面力、正應(yīng)力與切應(yīng)力、應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量、切應(yīng)力互等定理、應(yīng)力分量轉(zhuǎn)軸公式、平面問題的轉(zhuǎn)軸公式、應(yīng)力狀態(tài)特征方程、應(yīng)力不變量、最大切應(yīng)力、球應(yīng)力張量和偏應(yīng)力張量§2.1 體力和面力學(xué)習(xí)思路:       本節(jié)介紹彈性力學(xué)的基本概念體力和面力，體力Fb和面力Fs的概

4、念均不難理解。    應(yīng)該注意的問題是，在彈性力學(xué)中，雖然體力和面力都是矢量，但是它們均為作用于一點(diǎn)的力，而且體力是指單位體積的力；面力為單位面積的作用力。    體力矢量用Fb表示，其沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量用Fbi（i=1，2，3）或者Fbx、Fby和Fbz表示，稱為體力分量。    面力矢量用Fs表示，其分量用Fsi（i=1，2，3）或者Fsx、Fsy和Fsz表示。    體力和面力分量的方向均規(guī)定與坐標(biāo)軸方向一致為正，反之為負(fù)。    學(xué)習(xí)要點(diǎn)

5、：1. 體力；2. 面力。體力：作用于物體的外力可以分為兩種類型：體力和面力。    所謂體力就是分布在物體整個(gè)體積內(nèi)部各個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力，又稱為質(zhì)量力。例如物體的重力，慣性力，電磁力等等。面力是分布在物體表面上的力，例如風(fēng)力，靜水壓力，物體之間的接觸力等。為了表明物體在xyz 坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn)P 所受體力的大小和方向，在P點(diǎn)的鄰域取一微小體積元素V,設(shè)V 的體力合力為F，則P點(diǎn)的體力定義為 令微小體積元素V 趨近于0，則可以定義一點(diǎn)P的體力為    一般來講，物體內(nèi)部各點(diǎn)處的體力是不相同的。    物體內(nèi)任

6、一點(diǎn)的體力用Fb表示，稱為體力矢量，其方向由該點(diǎn)的體力合力方向確定。    體力沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量用Fbi( i = 1,2,3)或者Fbx,Fby,Fbz表示，稱為體力分量。體力分量的方向規(guī)定與坐標(biāo)軸方向一致為正，反之為負(fù)。        應(yīng)該注意的是：在彈性力學(xué)中，體力是指單位體積的力。面力：類似于體力，可以給出面力的定義。對(duì)于物體表面上的任一點(diǎn)P，在P 點(diǎn)的鄰域取一包含P點(diǎn)的微小面積元素S。設(shè)S 上作用的面力合力為 F，則P 點(diǎn)的面力定義為    面力矢量是單位面積上的

7、作用力，面力是彈性體表面坐標(biāo)的函數(shù)。一般條件下，面力邊界條件是彈性力學(xué)問題求解的主要條件。        面力矢量用Fs表示，其分量用Fsi（i=1，2，3）或者Fsx、Fsy和Fsz表示。    面力的方向規(guī)定以與坐標(biāo)軸方向一致為正，反之為負(fù)。    彈性力學(xué)中的面力均定義為單位面積的面力。§2.2 應(yīng)力和應(yīng)力狀態(tài)學(xué)習(xí)思路:       物體在外界因素作用下，物體內(nèi)部各個(gè)部分之間將產(chǎn)生相互作用，物體內(nèi)部相互作用力稱

8、為內(nèi)力。為討論彈性體的強(qiáng)度，將單位面積的內(nèi)力，就是內(nèi)力集度定義為應(yīng)力。    pn為過任意點(diǎn)M，法線方向?yàn)閚的微分面上的應(yīng)力矢量。應(yīng)力矢量不僅隨點(diǎn)的位置改變而變化，而且即使在同一點(diǎn)，也由于截面的法線方向n的方向改變而變化。    一點(diǎn)所有截面的應(yīng)力矢量的集合稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。討論一點(diǎn)各個(gè)截面的應(yīng)力變化趨勢(shì)稱為應(yīng)力狀態(tài)分析。    凡是應(yīng)力均必須說明是物體內(nèi)哪一點(diǎn)，并且通過該點(diǎn)哪一個(gè)微分面的應(yīng)力。應(yīng)力狀態(tài)對(duì)于研究物體的強(qiáng)度是十分重要的。顯然，作為彈性體內(nèi)部一個(gè)確定點(diǎn)的各個(gè)截面的應(yīng)力矢量，就是應(yīng)力狀態(tài)必然存

9、在一定的關(guān)系。不可能也不必要寫出一點(diǎn)所有截面的應(yīng)力。為了準(zhǔn)確、明了地描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，必須使用合理的應(yīng)力參數(shù)。    為了探討各個(gè)截面應(yīng)力的變化趨勢(shì)，確定可以描述應(yīng)力狀態(tài)的參數(shù)，通常將應(yīng)力矢量分解。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：    1. 應(yīng)力矢量；    2. 應(yīng)力矢量的分解；    3. 應(yīng)力分量。應(yīng)力矢量：物體在外界因素作用下，例如外力，溫度變化等，物體內(nèi)部各個(gè)部分之間將產(chǎn)生相互作用，這種物體一部分與相鄰部分之間的作用力稱為內(nèi)力。    內(nèi)力的計(jì)算可以采用

10、截面法，即利用假想平面將物體截為兩部分，將希望計(jì)算內(nèi)力的截面暴露出來，通過平衡關(guān)系計(jì)算截面內(nèi)力F。內(nèi)力的分布一般是不均勻的。為了描述任意一點(diǎn)M的內(nèi)力，在截面上選取一個(gè)包含M的微面積單元S， 則可認(rèn)為微面積上的內(nèi)力主矢F的分布是均勻的。設(shè)S 的法線方向?yàn)閚，則定義：     上式中pn為微面積S 上的平均應(yīng)力。如果令S 逐漸減小，并且趨近于零，取極限可得 上述分析可見：pn是通過任意點(diǎn)M，法線方向?yàn)閚的微分面上的應(yīng)力矢量。    應(yīng)力pn是矢量，方向由內(nèi)力主矢F確定，又受S方位變化的影響。    應(yīng)力矢量不

11、僅隨點(diǎn)的位置改變而變化，而且即使在同一點(diǎn)，也由于截面的法線方向n的方向改變而變化。這種性質(zhì)稱為應(yīng)力狀態(tài)。因此凡是應(yīng)力均必須說明是物體內(nèi)哪一點(diǎn)，并且通過該點(diǎn)哪一個(gè)微分面的應(yīng)力。    一點(diǎn)所有截面的應(yīng)力矢量的集合稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力狀態(tài)對(duì)于研究物體的強(qiáng)度是十分重要的。顯然，作為彈性體內(nèi)部一個(gè)確定點(diǎn)的各個(gè)截面的應(yīng)力矢量，就是應(yīng)力狀態(tài)必然存在一定的關(guān)系。不可能也不必要寫出一點(diǎn)所有截面的應(yīng)力。為了準(zhǔn)確、明了地描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，必須使用合理的應(yīng)力參數(shù)。正應(yīng)力與切應(yīng)力：討論一點(diǎn)各個(gè)截面的應(yīng)力變化趨勢(shì)稱為應(yīng)力狀態(tài)分析。為了探討各個(gè)截面應(yīng)力的變化趨勢(shì)，確定可以描述應(yīng)力狀態(tài)的

12、參數(shù)，通常將應(yīng)力矢量分解。     應(yīng)力矢量的一種分解方法是將應(yīng)力矢量pn在給定的坐標(biāo)系下沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向分解，如用px, py, pz表示其分量，則 pn=px i + py j+ pz k 這種形式的分解并沒有工程實(shí)際應(yīng)用的價(jià)值。它的主要用途在于作為工具用于推導(dǎo)彈性力學(xué)基本方程。    另一種分解方法，是將應(yīng)力矢量 pn沿微分面S的法線和切線方向分解。與微分面S 法線 n方向的投影稱為正應(yīng)力，用s n表示；平行于微分面S 的投影稱為切應(yīng)力或剪應(yīng)力，切應(yīng)力作用于截面內(nèi)，用t n 表示。     彈性體的

13、強(qiáng)度與正應(yīng)力和切應(yīng)力息息相關(guān)，因此這是工程結(jié)構(gòu)分析中經(jīng)常使用的應(yīng)力分解形式。    由于微分面法線 n 的方向只有一個(gè)，因此說明截面方位就確定了正應(yīng)力 s n 的方向。但是平行于微分面的方向有無窮多，因此切應(yīng)力t n不僅需要確定截面方位，還必須指明方向。應(yīng)力分量：為了表達(dá)彈性體內(nèi)部任意一點(diǎn)M 的應(yīng)力狀態(tài)，利用三個(gè)與坐標(biāo)軸方向一致的微分面，通過M點(diǎn)截取一個(gè)平行六面體單元。將六面體單元各個(gè)截面上的應(yīng)力矢量分別向3個(gè)坐標(biāo)軸投影，可以得到應(yīng)力分量sij。    應(yīng)力分量的第一腳標(biāo) i 表示該應(yīng)力所在微分面的方向，即微分面外法線的方向；

14、0;   第二腳標(biāo) j 表示應(yīng)力的方向。如果應(yīng)力分量與 j 坐標(biāo)軸方向一致為正，反之為負(fù)。    如果兩個(gè)腳標(biāo)相同， ij，則應(yīng)力分量方向與作用平面法線方向一致，這是正應(yīng)力，可以并寫為一個(gè)腳標(biāo)，例如s x。    如果兩腳標(biāo)不同，ij，則應(yīng)力分量方向與作用平面法線方向不同，這是切應(yīng)力，例如txy。    六面體單元的3對(duì)截面共有九個(gè)應(yīng)力分量sij。     應(yīng)該注意：應(yīng)力分量是應(yīng)力矢量在坐標(biāo)軸上的投影，因此是標(biāo)量，而不是矢量。 

15、0;   在已知的坐標(biāo)系中應(yīng)力狀態(tài)通常用應(yīng)力張量表示。使用應(yīng)力張量可以完整地描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。§2.3 應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量學(xué)習(xí)思路:       應(yīng)力矢量不僅隨點(diǎn)的位置改變而變化，而且也由于截面的法線方向n的方向改變而變化，研究這一變化規(guī)律稱為應(yīng)力狀態(tài)分析。如果應(yīng)力分量能夠描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，那么應(yīng)力分量與其它應(yīng)力參數(shù)必然有內(nèi)在聯(lián)系。    本節(jié)分析應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系，為深入討論應(yīng)力狀態(tài)作準(zhǔn)備。    利用三個(gè)坐標(biāo)平面和一個(gè)任意斜截面構(gòu)造微分四

16、面體單元，通過四面體單元探討坐標(biāo)平面的應(yīng)力分量和斜截面上的應(yīng)力矢量的關(guān)系。    根據(jù)平衡關(guān)系，推導(dǎo)任意斜截面的應(yīng)力矢量、法線方向余弦和各個(gè)應(yīng)力分量之間的關(guān)系。    分析表明：一點(diǎn)的應(yīng)力分量確定后，任意斜截面的應(yīng)力矢量是確定的。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：    1. 微分四面體單元；    2. 應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量。一點(diǎn)的九個(gè)應(yīng)力分量如果能夠完全確定一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，則其必須能夠表達(dá)通過該點(diǎn)的任意斜截面上的應(yīng)力矢量。 為了說明這一問題，在O點(diǎn)用三個(gè)坐標(biāo)面和一任意斜截面截取一個(gè)微分四面體單元。

17、斜截面的法線方向矢量為n，它的三個(gè)方向余弦分別為l，m和n。 設(shè)斜截面上的應(yīng)力為pn，i，j 和 k 分別為三個(gè)坐標(biāo)軸方向的單位矢量，pn在坐標(biāo)軸上的投影分別為px, py, pz。則應(yīng)力矢量可以表示為 pn = pxi+ py j+ pz k同樣，把單位體積的質(zhì)量所受的體積力Fb沿坐標(biāo)軸分解，有Fb = Fbxi+ Fby j+ Fbz k設(shè)S為ABC的面積，則 OBC=lS,    OCA=mS,    OAB=nSABC的法線方向的單位矢量可表示為 n = l i+ l j + m k微分四面體在應(yīng)力矢量和體積力作用下應(yīng)滿足平衡

18、條件，設(shè)h為O點(diǎn)至斜面ABC的高，由x方向的平衡，可得將公式代入上式，則     對(duì)于微分四面體單元，h與單元體棱邊相關(guān)，因此與1相比為小量，趨近于零，因此同理     如果采用張量記號(hào)，則上述公式可以表示為上式給出了物體內(nèi)一點(diǎn)的9個(gè)應(yīng)力分量和通過同一點(diǎn)的各個(gè)微分面上的應(yīng)力之間的關(guān)系。這一關(guān)系式表明，只要有了應(yīng)力分量，就能夠確定一點(diǎn)任意截面的應(yīng)力矢量，或者正應(yīng)力和切應(yīng)力。因此應(yīng)力分量可以確定一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。§2.4 平衡微分方程學(xué)習(xí)思路:       物體在外力作用下產(chǎn)生變形

19、，最后達(dá)到平衡位置。平衡不僅是指整個(gè)物體，而且彈性體的任何部分也是平衡的。    本節(jié)通過微分平行六面體單元討論彈性體內(nèi)部任意一點(diǎn)的平衡。    應(yīng)該注意：在討論微分單元體平衡時(shí)，考慮到坐標(biāo)的微小變化將導(dǎo)致應(yīng)力分量的相應(yīng)改變。即坐標(biāo)有增量時(shí)，應(yīng)力分量也有對(duì)應(yīng)的增量。這個(gè)增量作為高階小量，如果不涉及微分單元體平衡時(shí)是可以不考慮的。    微分平衡方程描述了彈性體內(nèi)部任意一點(diǎn)的平衡，確定了應(yīng)力分量與體力之間的關(guān)系。又稱為納維（Navier）方程。    平衡微分方程描述彈性體內(nèi)部應(yīng)力分量與體力之間的微分關(guān)系，是彈性力學(xué)的第一個(gè)基本方程。    切應(yīng)力互等定理是彈性體力矩平衡的結(jié)果。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：