應用FDTD方法解決電磁輻射問題

1、 應用FDTD方法解決電磁輻射問題 自電磁場基本方程以來，電磁場理論和應用的發(fā)展已經有一百多年的歷史。目前，電磁波的研究已深入到各個領域，應用十分廣泛，例如無線電波傳波，光纖通信和移動通信，雷達技術，微波，天線，電磁成像，地下電磁探測，電磁兼容等等。在各類復雜系統(tǒng)中的電磁問題，主要依靠各種電磁場數值計算方法加以解決。隨著電子計算機處理能力和存儲容量的巨大發(fā)展，更促進了這些計算方法在實際問題中的應用。目前在電磁場領域應用的數值算法也是種類繁多，各有其優(yōu)缺點，常用的電磁場計算方法大致有：FDTD Finite difference time domain（時域有限差分法）TLM Tran

2、smission line method （傳輸線法）FEM Finite element method （有限元法）BEM Boundary element method （邊界元法）MoM Method of moments （矩量法）其中時域有限差分法(FDTD)理論經過30多年的發(fā)展和完善，已經成為時域電磁場數值計算的主要方法之一，并廣泛應用各類實際工程電磁場中。一、 FDTD法簡介時域有限差分法以差分原理為基礎，直接從概括電磁場普遍規(guī)律的麥克斯韋旋度方程出發(fā)，將其轉換為差分方程組，在一定體積內和一段時間上對連續(xù)電磁場的數據采樣。因此，它是以電磁場問題的最原始、最本質、最完備的數值模擬

3、。以它為基礎制作的計算程序，對廣泛的電磁場問題具有通用性，因此得到了廣泛的應用。1. Yee差分算法基本原理考慮空間一個無源區(qū)域，其煤質參數不隨時間變化且各向同性，由Maxwell方程組中的兩個旋度方程在直角坐標系中可導出六個耦合公式： 其中為介電常數（F/m）；為磁導率（H/m）；為電導率（S/m）；為磁阻率（）。 按照Yee差分算法，首先在空間建立矩形差分網格，網格節(jié)點的空間坐標與一組相應的整數標號一一對應： 而該點的任意函數F(x,y,z,t)在時刻的值可以表示為 分別為矩形網格沿x，y，z方向的空間步長是時間步長。時域差分法的實質就是將計算問題在時間和空間進行離散: 用中心差分取二階精

4、度：對空間離散： 對時間離散：為了獲得（1.10）式的精度，并滿足（1.3）至（1.8），可將空間任意矩形網格上的E和H的六個分量如圖1-1所示放置。 圖1-1 Yee網格單元及電磁場空間離散點關系每個磁場分量由四個電場分量環(huán)繞著；每個電場分量由四個磁場分量所環(huán)繞。為獲得（1.11）的精度，可將E和H在時間上相差半個步長交替計算。按照這些原則，可將式（1.3）（1.8）化為差分方程組。以（1.3）式為例，差分后得到（1.12） 其余的也可以寫出，每個網格點上的個場分量的新值依賴于該點在前一時間步長時刻的值即該點周圍臨近點上另一場量在早半個時間步長時的值。因此任意時刻可一次算出一個點，并行算法可

5、計算出多個點。通過這些運算可以交替算出電場磁場在各個時間步的值。具體參考12，這里不多敘述。2. 數值穩(wěn)定性條件與網格劃分數值計算中一個比較重要的問題就是數值解的穩(wěn)定性問題，這在FDTD方程中取決于網格的空間步長和時間不長的關系。 Ø 數值穩(wěn)定性條件以上所建立的麥克斯韋旋度方程的有限差分算式是顯式的，時間步長 ，空間步長 必須滿足一定關系，否則會使得數值表現(xiàn)不穩(wěn)定。這種不穩(wěn)定表現(xiàn)為在解顯示差分方程時，隨著時間步數的增加，計算結果也無限制的增加。Taflaove等對Yee差分格式穩(wěn)定性進行討論，導出了對時間步長的限制性條件： 當 時，數值穩(wěn)定條件（12）可簡化為 一維條件下，這一穩(wěn)定性

6、條件就簡化為： 上式可以看出，即要求時間步長不能大于電磁波傳播一個空間步長所需的時間，否則，就破壞了電磁波傳播的因果關系12。如果計算空間中的媒質是不均勻的，那么穩(wěn)定條件對不同的煤質區(qū)域是不同的，我們只需取最大的V滿足的條件，在其他區(qū)域中也就得到滿足了。此時有：其中n為空間維度。Ø 網格劃分由數值穩(wěn)定性條件可知，網格劃分需要滿足一定的條件，在有足夠條件的情況下，將網格劃分的越細，計算的結果就會越精確。目前有一款交互式軟件網格劃分軟件GEOM，根據設計需要，可自動的用FDTD的方法分析幾何結構，產生離散模型。但是計算機計算能力畢竟是有限的，有時候提高一定比例的網格大小，并不一定能夠獲得

7、更多的精度，同時計算的效率卻下降了很多。而且對于一些復雜的模型結構，由于介質層的物理尺寸很小，較大的網格無法覆蓋這樣的結構，就導致了劃分后介質層的缺損。因此需要在滿足穩(wěn)定性條件的前提下對劃分的大小進行優(yōu)化。最好的辦法就是采用非均勻網格劃分的辦法。合理的利用了計算區(qū)域內不同的計算需要，對于一些關鍵位置的地方，如不同介質的交接處，或者是結構細微處，或者是饋源的地方，對網格細化，而在介質均一的位置，則放大網格的大小，使得總的網格數量得到降低。對于非均勻劃分方案的確定，也并不是盲目的過程?？梢允紫壤幂^大的網格大小進行一下預模擬，對模擬的結果進行分析，判斷電場(或磁場等其他場分布)分布的規(guī)律及形態(tài)，對

8、于關鍵計算的部位，再采用較小的網格劃分。其次，可以利用遺傳算法等優(yōu)化算法，對網格劃分進行局部最優(yōu)化的搜索，提高網格劃分的質量。下圖1.2是對手機天線幾種網格劃分示意圖。 圖1.2a 均勻網格劃分 圖1.2b 非均勻網格劃分 圖1.2c含有亞網格的網格劃分除了非均勻網格劃分的方法，另外一種在這個基礎上的改進網格劃分方法就是亞網格劃分的方法14。亞網格劃分在原有網格劃分的基礎上，在計算的關鍵點，或者是重點關注的部分，或者是介質層物理尺寸很薄的地方，將網格進一步劃小，而其它部分的網格則保持不變。這樣做的好處在于可以在不影響其它部分的情況下，提高重點計算區(qū)域的計算精度。同時網格的數量不會因此激增。3.

9、 吸收邊界條件當我們考慮像輻射和散射這種開放向題時，原則上應該在無限空間中計算電磁場，但是，由于計算機存儲量的限制不可能考慮很大的空間,，因而，一個基本問題是如何處理網格的截斷向題。一種有效的方法是在截斷處設置一種吸收邊界條件，如果它能吸收全部向外傳播的波，就等效于考慮了一個無限大的空間。目前構造吸收邊界條件的思路主要有兩種：一種是從外形波方程出發(fā)構造的透射邊界條件，如Mur邊界條件，這種類型的透射邊界條件具有構造簡單，內存需求小等特點。另一種是在邊界上引入吸收材料，電磁波在無反射地進入吸收材料后被衰減掉，如PML。這種方法構造復雜，內存需求量較大，但在很大的入射角度的吸收條件較好。Mur給出

10、了適合于在時域有限差分應用的吸收邊界條件的一階和二階的近似形式，具體推導過程可見1617。 應該注意的是Mur的局限性：（1） 邊界面上任意點的插值都是在其領域的三維空間上進行的，不允許靠近邊界的區(qū)域出現(xiàn)介質的不連續(xù)；（2） 在垂直入射的情況下的計算精度僅相當于一階吸收邊界條件。完全匹配層PML是通過在截斷邊界外放置虛擬的吸收介質來系數外形波的，PML邊界由硬邊界構成，在計算PML邊界時，就可以不涉及邊界外的未知量，大幅度提高了計算精度，詳細過程見18與Mur邊界條件相比，PML邊界具有更高的計算精度而且任意方向入射時均無反射。在二維自由空間，PML邊界吸收的反射系數可低于-70dB，比其他各

11、種邊界條件改善約40dB。這種人工涉及的完全匹配層由有耗導電、導磁煤質組成，可吸收人以入射角、任何頻率、任意偏振態(tài)的入射電磁波，實用性更強，它內存大，盡管有的文獻19提出的各向異性媒質的PML吸收邊界條件所需計算機內存量減少了一半，但是其實際計算量并沒有減少多少，在不連續(xù)介質接觸邊界面和三維區(qū)域的6個面不全為吸收邊界時也難以應付，具體算法可見19。目前各種吸收邊界條件都存在這一些缺點，吸收邊界條件反射過大，所適應的入射角的范圍不夠寬廣，提高計算精度等都應該是我們努力的方向。二、 電磁輻射問題電磁輻射是由空間共同傳送的電能量和磁能量所組成，而該能量是由電荷移動所產生的。時變的電荷和電流是激發(fā)電磁

12、波的源。為了有效使電磁波能量按所要求的方向輻射出去，時變的電荷和電流必須按某種特殊的方式分布，天線就是設計成按規(guī)定的方式有效的輻射電磁波能量的裝置。其實質就是一種導行波與自由空間的轉換器件或者換能器，用于發(fā)送和接受自由空間的電磁波。舉例說，正在發(fā)射訊號的射頻天線所發(fā)出的移動電荷，便會產生電磁能量，電磁包括形形色色的電磁輻射，從低頻電磁輻射到高頻電磁輻射，兩者之間還有無線電波、微波、紅外線和紫外光等。任何形式和形狀的天線都可以看成是有無限多個載有交流信號的基本小線元組成，這些基本元通常被稱為電偶極子，電偶極子產生的電磁場分析計算是線性天線工程的基礎?？筛鶕炀€上的電流分布來計算由其產生的電磁場，

13、由給定的求出A，再根據求得B，最后由 求得。舉例如下：在自由空間取一個觀察點P。如圖23所示。用直角坐標系表示。其中假設介質的電磁常數為 、，只要知道表面電流就可以求出自由空間的電磁場分布。 圖2.1 帶有表面電流的理想導體再由電場的矢量波動方程可以由Maxwell方程組的第一個方程解出 在FDTD差分格式中，由于網格中的電流密度取的是平均值，因此其中，由可得： 的解為：在電磁學中，將自由空間按照輻射距離r劃分為三個區(qū)域近場反應區(qū)，近區(qū)場，遠區(qū)場。當即的區(qū)域稱為近區(qū)，即的區(qū)域稱為遠區(qū)。近區(qū)場求解過程見2021。這里以遠場區(qū)為例，代入（2.4），對于遠區(qū)場，和相較于來說可以忽略。 在遠場區(qū)域，電

14、場體現(xiàn)出球面波的特性，更加一般的輻射體包括磁感表面 ，可寫出三維坐標中電場強度，。過程中求出的，按式進行離散差分。用FDTD方法解決電磁輻射問題的一般過程：1) 用空間上相鄰的節(jié)點，時間上當前以及上一個時間表示的當前時間當前節(jié)點的電磁場分布表達式;2) 在足夠的觀測時間長度內，計算在網格邊界處的電磁場，大小；3) 將時域表達的，通過傅立葉變換，轉換到頻域表達的，；4) 通過計算得到的場分布，得到網格邊界處的等效表面電流，；5) 運用輻射方程式，計算得到遠場分布。經過上述幾個步驟，就可以完成電磁場的時域差分計算。三、 FDTD方法的改進應用傳統(tǒng)的時域有限差分法分析、計算偽低頻電磁場問題時，由于空

15、間步長遠小于電磁波波源波長，滿足Courant-Friedrich-Levy穩(wěn)定條件的時間步長，遠小于電磁波波源的周期。這樣將導致很大的時間步數。為消除Courant-Friedrich-Levy穩(wěn)定條件限制，在滿足計算精度的條件下采用較大的時間步長以提高算法的計算效率方面，世界上許多學者做了大量的探索工作，提出了幾類切實可行的解決方案，其中具有代表性的主要有兩類。一類是使用改進的Lanczoc方法,另一類是采用交替方向隱格式時域有限差分法(ADI-FDTD)2627。改進的Lanczoc方法和ADIFDTD法都是以1966年Yee提出的網格體系為基礎提出的新方法。ADI-FDTD法保留了時域

16、有限差分法計算格式簡單等大部分優(yōu)點，是一種無條件穩(wěn)定的差分方法?？扇我庠O定計算時間步長，但隨著時間步長的增加計算精度會不斷降低。因此三維交替方向隱格式時域有限差分法的計算精度尚有待于進一步完善。由于應用FDTD方法時受到計算機存儲容量的限制，計算區(qū)域網格空間不能無限制增加，所以采用并行計算技術來提高時域有限差分計算能力也是解決問題的有效途徑之一。從串行計算到并行計算，可以大幅度提高計算能力，通過并行FDTD算法可以解決大內存的要求，可以大大縮短時間。參考文獻1 A. Taflove and K. R. Umashankar, “Review of FD-TD numerical modelin

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