必修四平面幾何中的向量方法附答案

1、平面幾何中的向量方法學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題及其它一些實際問題的過程.2.體會向量是一種處理幾何問題的有力工具.3.培養(yǎng)運算能力、分析和解決實際問題的能力知識點一向量方法在幾何中的應(yīng)用 (1)證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的等價條件：ab(b0)abx1y2x2y10.(2)證明垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等價條件：非零向量a，b，aba·b0x1x2y1y20.(3)求夾角問題，往往利用向量的夾角公式cos .(4)求線段的長度或證明線段相等，可以利用向量的線性運算、向量模的公式：|a|.思考ABC中，M、

2、N分別為AB、AC的中點求證：MNBC.證明設(shè)a，b，則ba，又M、N分別為AB、AC的中點a，b.AMN中，ba(ba)，即與共線，MNBC.知識點二直線的方向向量(1)直線AxByC0的方向向量為(B，A)；直線ykxb的方向向量為(1，k)(2)應(yīng)用直線的方向向量求兩直線的夾角已知直線l1：yk1xb1與直線l2：yk2xb2，它們的方向向量依次為v1(1，k1)，v2(1，k2)當(dāng)v1v2，即v1·v21k1k20時，l1l2，夾角為直角；當(dāng)k1k21時，v1·v20，直線l1與l2的夾角為(0°<<90°)不難推導(dǎo)利用k1、k2表示

3、cos 的夾角公式：cos .思考1已知直線l：2xy10，在下列向量： v1(1,2)；v2(2,1)；v3；v4(2，4)其中能作為直線l方向向量的有：_.答案思考2直線x2y10與直線2xy30的夾角為_；直線2xy10與直線3xy10的夾角為_答案90°45°知識點三直線的法向量(1)直線AxByC0的法向量為(A，B)；直線ykxb的法向量為(k，1)(2)直線法向量的簡單應(yīng)用：利用直線的法向量判斷兩直線的位置關(guān)系：對于直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，它們的法向量分別為n1(A1，B1)，n2(A2，B2)當(dāng)n1n2時，l1l2或l1與l2

4、重合即A1B2A2B10l1l2或l1與l2重合；當(dāng)n1n2時，l1l2.即A1A2B1B20l1l2.思考直線l1：(a2)x(1a)y30與直線l2：(a1)x(2a3)y20垂直，則a的值為_答案±1解析n1(a2,1a)，n2(a1,2a3)，l1l2，n1·n2(a2)(a1)(1a)(2a3)(a1)(a1)0，a±1.題型一向量在平面幾何中的應(yīng)用例1求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的余弦值解如圖，分別以等腰直角三角形的兩直角邊為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系設(shè)A(2a,0)，B(0,2a)，則D(a,0)，C(0，a)，從而可求：(2a，a)，

5、(a，2a)，不妨設(shè)、的夾角為，則cos .故所求鈍角的余弦值為.跟蹤訓(xùn)練1已知正方形ABCD中，E、F分別是CD、AD的中點，BE、CF交于點P.求證：(1)BECF；(2)APAB.證明建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AB2，則A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(xiàn)(0,1)(1)(1,2)，(2，1)·(1)×(2)2×(1)0，即BECF.(2)設(shè)點P坐標(biāo)為(x，y)，則(x，y1)，(2,1)，x2(y1)，即x2y2，同理，由，得y2x4，由得點P的坐標(biāo)為(，)| 2|，即APAB.題型二向量在解析幾何中的應(yīng)用例2已知ABC的三個頂

6、點A(0，4)，B(4,0)，C(6,2)，點D、E、F分別為邊BC、CA、AB的中點(1)求直線DE、EF、FD的方程；(2)求AB邊上的高線CH所在直線方程解(1)由已知得點D(1,1)，E(3，1)，F(xiàn)(2，2)，設(shè)M(x，y)是直線DE上任意一點，則.(x1，y1)，(2，2)(2)×(x1)(2)(y1)0，即xy20為直線DE的方程同理可求，直線EF，F(xiàn)D的方程分別為x5y80，xy0.(2)設(shè)點N(x，y)是CH所在直線上任意一點，則.·0.又(x6，y2)，(4,4)4(x6)4(y2)0，即xy40為所求直線CH的方程跟蹤訓(xùn)練2已知點A(4,0)，B(4,

7、4)，C(2,6)，試用向量方法求直線AC和OB(O為坐標(biāo)原點)的交點P的坐標(biāo)解設(shè)P(x，y)，則(x，y)，(x4，y)，因為P是AC與OB的交點，所以P在直線AC上，也在直線OB上，即得，由點A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)得，(2,6)，(4,4)，得方程組解得故直線AC與OB的交點P的坐標(biāo)為(3,3)題型三平面向量的綜合應(yīng)用例3如圖所示，在平行四邊形ABCD中，BC2BA，ABC60°，作AEBD交BC于E，求的值解方法一(基向量法)設(shè)a，b，|a|1，|b|2.a·b|a|b|cos 60°1，ab.設(shè)b，則ba.由AEBD，得·0.即

8、(ba)·(ab)0.解得，.方法二以B為坐標(biāo)原點，直線BC為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件，設(shè)B(0,0)，C(2,0)，A，D.又設(shè)E(m,0)，則，.由AEBD，得·0.即×0，得m，所以.跟蹤訓(xùn)練3已知P是正方形ABCD對角線BD上一點，PFCE為矩形求證：PAEF且PAEF.證明以D為坐標(biāo)原點，DC所在直線為x軸，DA所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy(如圖所示)，設(shè)正方形邊長為1，|，則A(0,1)，P，E，F(xiàn)，于是，.| ，同理|，|，PAEF.·0，.PAEF.轉(zhuǎn)化條件證“三心”例4(1)已知O是平面上的一個定點，A，B，C是平面

9、上不共線的三個點，動點P滿足()，其中(0，)，則動點P的軌跡一定通過ABC的()A重心 B垂心 C外心 D內(nèi)心(2)已知O是平面上的一個定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足()，其中(0，)，則動點P的軌跡一定通過ABC的()A重心 B垂心 C外心 D內(nèi)心(3)已知O是平面上的一個定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足()，其中(0，)，則動點P的軌跡一定通過ABC的()A重心 B垂心 C外心 D內(nèi)心解析(1)由已知得()，兩邊同向量取數(shù)量積，得·()(|)0，故動點P的軌跡一定通過ABC的垂心，故選B.(2)對()，其中(0，)進(jìn)行移項轉(zhuǎn)化，設(shè)ABC的B

10、C邊上的高為h，BC邊上的中點為D，則由已知得()，即，向量與向量共線，故動點P的軌跡一定通過ABC的重心，故選A.(3)設(shè)BC的中點為D，則由已知得()，兩邊同時與向量取數(shù)量積，得·()(|B|)0，故動點P的軌跡一定通過ABC的外心，故選C.答案(1)B(2)A(3)C1已知ABC，a，b，且a·b<0，則ABC的形狀為()A鈍角三角形 B直角三角形C銳角三角形 D不能確定2已知A(1,2)，B(2,1)，以AB為直徑的圓的方程是_3在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(0,1)和點B(3,4)，若點C在AOB的平分線上且|2，則_.4正方形OABC的邊長為1，點D，E

11、分別為AB，BC的中點，試求cosDOE的值5已知直線l1：3xy20與直線l2：mxy10的夾角為45°，求實數(shù)m的值一、選擇題1在ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(4,7)，則BC邊的中線AD的長是()A2 B. C3 D.2點O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點，滿足···，則點O是ABC的()A三個內(nèi)角的角平分線的交點B三條邊的垂直平分線的交點C三條中線的交點D三條高的交點3在四邊形ABCD中，(1,2)，(4,2)，則該四邊形的面積為()A. B2 C5 D104若O是ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足|2|，則ABC的形狀是()A等腰三角形

12、 B直角三角形C等腰直角三角形 D等邊三角形5已知點A(，1)，B(0,0)，C(，0)，設(shè)BAC的平分線AE與BC相交于E，那么有，其中等于()A2 B. C3 D6若四邊形ABCD滿足0，()·0，則該四邊形一定是()A正方形 B矩形C菱形 D直角梯形7已知直線axbyc0與圓x2y21相交于A，B兩點，則|AB|，則·_.8已知平面上三點A、B、C滿足|3，|4，|5.則···_.9.如圖所示，在ABC中，點O是BC的中點過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若m，n，則mn的值為_10已知P、Q為ABC內(nèi)的兩點，且，則AP

13、Q的面積與ABC的面積之比為_三、解答題11過點A(2,1)，求：(1)與向量a(3,1)平行的直線方程；(2)與向量b(1,2)垂直的直線方程12三角形ABC是等腰直角三角形，B90°，D是BC邊的中點，BEAD，延長BE交AC于F，連接DF.求證：ADBFDC.13.如圖所示，正三角形ABC中，D、E分別是AB、BC上的一個三等分點，且分別靠近點A、點B，且AE、CD交于點P.求證：BPDC.當(dāng)堂檢測答案1答案A2答案x2y2x3y0解析設(shè)P(x，y)為圓上任一點，則(x1，y2)，(x2，y1)，由·(x1)(x2)(y2)(y1)0，化簡得x2y2x3y0.3答案解

14、析已知A(0,1)，B(3,4)，設(shè)E(0,5)，D(3,9)，四邊形OBDE為菱形AOB的角平分線是菱形OBDE的對角線OD.設(shè)C(x1，y1)，|3，.(x1，y1)(3,9)，即.4解以O(shè)A，OC所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，由題意知：，故cosDOE.即cosDOE的值為.5解設(shè)直線l1，l2的法向量為n1，n2，則n1(3,1)，n2(m，1)由題意：cos 45°.整理得：2m23m20，解得：m2或m.課時精練答案一、選擇題1答案B解析BC中點為D，|.2答案D解析··，()·0.·0.OBAC.同理OABC，OCAB

15、，O為三條高的交點3答案C解析·(1,2)·(4,2)440，S四邊形ABCD|·|××25.4答案B解析|，|2|，|，四邊形ABDC是矩形，且BAC90°.ABC是直角三角形5答案C解析如圖所示，由題知ABC30°，AEC60°，CE，3，3.6答案C解析0，四邊形ABCD是平行四邊形，由()·0，得·0，即此四邊形對角線互相垂直，故為菱形7答案解析如圖，作ODAB于D，則在RtAOD中，OA1，AD，所以AOD60°，AOB120°，所以·|·|co

16、s 120°1×1×().8答案25解析ABC中，B90°，cos A，cos C，·0，·4×5×16，·5×3×9.···25.9.答案2解析O是BC的中點，()又m，n，.M，O，N三點共線，1.則mn2.10答案解析如圖，根據(jù)題意，P、Q為ABC中位線DE、DF的中點，PQEFBC，而A到PQ的距離是到BC距離的，根據(jù)三角形的面積公式可知，SAPQSABC.三、解答題11解設(shè)所求直線上任意一點P(x，y)，A(2,1)，(x2，y1)(1)由題意知a，(x2)×13(y1)0，即x3y50.所求直線方程為x3y50.(2)由題意，知b，(x2)×(1)(y1)×20，即x2y40，所求直線方程為x2y40.12證明如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A(2,0)，C(0,2)，則D(0,1)，于是(2,1)，(2,2)，設(shè)F(x，y)，由，得·0，即(x，y)·(2,1)0，2xy