余數(shù)問題(教師版)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上余數(shù)問題知識(shí)精講一、帶余除法的定義及性質(zhì)一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b0）,若有a÷b=qr，也就是ab×qr,0rb；我們稱上面的除法算式為一個(gè)帶余除法算式。這里：(1)當(dāng)時(shí)：我們稱a可以被b整除，q稱為a除以b的商或完全商(2)當(dāng)時(shí)：我們稱a不可以被b整除，q稱為a除以b的商或不完全商一個(gè)完美的帶余除法講解模型:這是一堆書，共有a本，這個(gè)a就可以理解為被除數(shù)，現(xiàn)在要求按照b本一捆打包，那么b就是除數(shù)的角色，經(jīng)過打包后共打包了c捆，那么這個(gè)c就是商，最后還剩余d本，這個(gè)d就是余數(shù)。二、三大余數(shù)定理：1.余數(shù)的加法定理a與b的和除以c的余數(shù)，等

2、于a，b分別除以c的余數(shù)之和，或這個(gè)和除以c的余數(shù)。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以23+16=39除以5的余數(shù)等于4，即兩個(gè)余數(shù)的和3+1.當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以23+19=42除以5的余數(shù)等于3+4=7除以5的余數(shù)，即2。2.余數(shù)的乘法定理a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a，b分別除以c的余數(shù)的積，或者這個(gè)積除以c所得的余數(shù)。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以23×16除以5的余數(shù)等于3×1=3。當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。例如：2

3、3，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以23×19除以5的余數(shù)等于3×4除以5的余數(shù)，即2.3.同余定理若兩個(gè)整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a、b對(duì)于模m同余，用式子表示為：ab(modm)，左邊的式子叫做同余式。同余式讀作：a同余于b，模m。由同余的性質(zhì)，我們可以得到一個(gè)非常重要的推論：若兩個(gè)數(shù)a，b除以同一個(gè)數(shù)m得到的余數(shù)相同，則a，b的差一定能被m整除。用式子表示為：如果有ab(modm)，那么一定有abmk，k是整數(shù)，即m|(ab)經(jīng)典例題【例1】用某自然數(shù)去除，得到商是46，余數(shù)是，求和【解析】 因?yàn)槭堑谋哆€多,得到，得，所以，【例2】甲、乙兩數(shù)的和是，

4、甲數(shù)除以乙數(shù)商余，求甲、乙兩數(shù)【解析】 (法1)因?yàn)榧滓遥约滓乙乙乙?；【解析?則乙，甲乙【解析】 (法2)將余數(shù)先去掉變成整除性問題，利用倍數(shù)關(guān)系來做：從中減掉以后，就應(yīng)當(dāng)是乙數(shù)的倍，所以得到乙數(shù)，甲數(shù)【例3】一個(gè)兩位數(shù)除310，余數(shù)是37，求這樣的兩位數(shù)。【解析】 本題為余數(shù)問題的基礎(chǔ)題型，需要學(xué)生明白一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，就是把余數(shù)問題-即“不整除問題”轉(zhuǎn)化為整除問題。方法為用被除數(shù)減去余數(shù)，即得到一個(gè)除數(shù)的倍數(shù)；或者是用被除數(shù)加上一個(gè)“除數(shù)與余數(shù)的差”，也可以得到一個(gè)除數(shù)的倍數(shù)。本題中310-37=273，說明273是所求余數(shù)的倍數(shù)，而273=3×7×13，所求的兩位

5、數(shù)約數(shù)還要滿足比37大，符合條件的有39，91.【例4】有兩個(gè)自然數(shù)相除，商是，余數(shù)是，已知被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之和為，則被除數(shù)是多少？【解析】 被除數(shù)除數(shù)商余數(shù)被除數(shù)除數(shù)+17+13=2113，所以被除數(shù)除數(shù)=2083，由于被除數(shù)是除數(shù)的17倍還多13，則由“和倍問題”可得：除數(shù)=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除數(shù)=2083-115=1968?！纠?】有48本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多5人如果把書全部分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人5本，書不夠如果把書全分給第二組，那么每人3本，有剩余；每人4本，書不夠問：第二組有多少人?【解析】 由，知，一組

6、是10或11人同理可知，知，二組是13、14或15人，因?yàn)槎M比一組多5人，所以二組只能是15人，一組10人【例6】一個(gè)兩位數(shù)除以13的商是6，除以11所得的余數(shù)是6，求這個(gè)兩位數(shù)【解析】因?yàn)橐粋€(gè)兩位數(shù)除以13的商是6，所以這個(gè)兩位數(shù)一定大于，并且小于；又因?yàn)檫@個(gè)兩位數(shù)除以11余6，而78除以11余1，這個(gè)兩位數(shù)為【例7】有一個(gè)大于1的整數(shù)，除所得的余數(shù)相同，求這個(gè)數(shù).【解析】 這個(gè)題沒有告訴我們，這三個(gè)數(shù)除以這個(gè)數(shù)的余數(shù)分別是多少，但是由于所得的余數(shù)相同，根據(jù)同余定理，我們可以得到：這個(gè)數(shù)一定能整除這三個(gè)數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說它是任意兩數(shù)差的公約數(shù)，的約數(shù)有，所以這個(gè)數(shù)可能為?！纠?】

7、與的和除以7的余數(shù)是_【解析】 找規(guī)律用7除2，的余數(shù)分別是2，4，1，2，4，1，2，4，1，,2的個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)時(shí)，用7除的余數(shù)為1；2的個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)多1時(shí)，用7除的余數(shù)為2；2的個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)多2時(shí)，用7除的余數(shù)為4因?yàn)?，所以除?余4又兩個(gè)數(shù)的積除以7的余數(shù)，與兩個(gè)數(shù)分別除以7所得余數(shù)的積相同而2003除以7余1，所以除以7余1故與的和除以7的余數(shù)是【例9】求的余數(shù)【解析】 因?yàn)?，根?jù)同余定理(三)，的余數(shù)等于的余數(shù)，而，所以的余數(shù)為5【例10】求的最后兩位數(shù)【解析】 即考慮除以100的余數(shù)由于，由于除以25余2，所以除以25余8，除以25余24，那么除以25余1；又因?yàn)槌?余1，

8、則除以4余1；即能被4和25整除，而4與25互質(zhì)，所以能被100整除，即除以100余1，由于，所以除以100的余數(shù)即等于除以100的余數(shù)，而除以100余29，除以100余43，所以除以100的余數(shù)等于除以100的余數(shù)，而除以100余63，所以除以100余63，即的最后兩位數(shù)為63【例11】除以7的余數(shù)是多少？【解析】 除以7的余數(shù)為1，所以，其除以7的余數(shù)為：；2008除以7的余數(shù)為6，則除以7的余數(shù)等于除以7的余數(shù)，為1；所以除以7的余數(shù)為：課后作業(yè)【作業(yè)1】5122除以一個(gè)兩位數(shù)得到的余數(shù)是66，求這個(gè)兩位數(shù)?！敬鸢浮?9【作業(yè)2】明明在一次計(jì)算除法時(shí)，把被除數(shù)171錯(cuò)寫成117，結(jié)果商少

9、3而余數(shù)恰恰相同，這題中的除數(shù)是多少？【答案】18【作業(yè)3】?jī)蓴?shù)相除，商4余8，被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)、余數(shù)四數(shù)之和等于415，則被除數(shù)是_【解析】 因?yàn)楸怀龜?shù)減去8后是除數(shù)的4倍，所以根據(jù)和倍問題可知，除數(shù)為，所以，被除數(shù)為?！咀鳂I(yè)4】除以一個(gè)兩位數(shù)，余數(shù)是求出符合條件的所有的兩位數(shù)【解析】 ，那么符合條件的所有的兩位數(shù)有，因?yàn)椤坝鄶?shù)小于除數(shù)”,所以舍去，答案只有?！咀鳂I(yè)5】求除以17的余數(shù)【解析】 先求出乘積再求余數(shù)，計(jì)算量較大可先分別計(jì)算出各因數(shù)除以17的余數(shù)，再求余數(shù)之積除以17的余數(shù)除以17的余數(shù)分別為2，7和11，【作業(yè)6】一個(gè)大于1的數(shù)去除290，235，200時(shí)，得余數(shù)分別為，則這

10、個(gè)自然數(shù)是多少？【解析】 根據(jù)題意可知，這個(gè)自然數(shù)去除290，233，195時(shí)，得到相同的余數(shù)（都為）既然余數(shù)相同，我們可以利用余數(shù)定理，可知其中任意兩數(shù)的差除以這個(gè)數(shù)肯定余0那么這個(gè)自然數(shù)是的約數(shù)，又是的約數(shù)，因此就是57和38的公約數(shù),因?yàn)?7和38的公約數(shù)只有19和1，而這個(gè)數(shù)大于1，所以這個(gè)自然數(shù)是19【作業(yè)7】有48本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多5人如果把書全部分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人5本，書不夠如果把書全分給第二組，那么每人3本，有剩余；每人4本，書不夠問：第二組有多少人?【解析】 由，知，一組是10或11人同理可知，知，二組是13、14或15人，因?yàn)槎M比一組多5人，所以二組只能是15人，一組10人【作業(yè)8】某個(gè)大于1的自然數(shù)分別除442，297，210，得到相同的余數(shù)，則該自然數(shù)為。【分析】首先要清楚一個(gè)事實(shí)：兩個(gè)數(shù)被同一個(gè)數(shù)除余數(shù)相同，則這兩個(gè)數(shù)相減（大減?。┠鼙贿@個(gè)數(shù)整除。知道了這個(gè)事實(shí)后我們就很容易做這個(gè)題了。因?yàn)樵撟匀粩?shù)能整除，也能整除，同樣能整除。所以可知這個(gè)自然數(shù)必定是145，232，87的公約數(shù)。而這三個(gè)數(shù)大于1的公約數(shù)只有29。所以可知這個(gè)自然數(shù)為29。【作業(yè)9】?jī)晌蛔匀粩?shù)與除以7都余1，并且，求【解析