全等三角形講義

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上全等三角形一、全等圖形定義及性質(zhì)1.圖形全等：一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等?！叭取庇帽硎荆x作“全等于”2.全等三角形的定義：兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上，如全等時，點A和點D，點B和點E，點C和點F是對應頂點，記作。 把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應頂點，重合的邊叫做對應邊，重合的角叫做對應角。3. 全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角相等。 例1.下列說法：全等圖形的形狀相同、大小相等；全等三角形的對應邊相等；全等三角形的

2、對應角相等；全等三角形的周長、面積分別相等，其中正確的說法為（） A B C D2.如圖,ABDACE,則AB的對應邊是_,BAD的對應角是_3.已知:如圖,ABEACD,B=C,則AEB=_,AE=_4.如圖:ABCDCB,AB和DC是對應邊,A和D是對應角,則其它對應邊是_,對應角是_5.已知:如圖,ABCDEF,BCEF,A=D,BC=EF,則另外兩組對應邊是_,另外兩組對應角是_ 2題3題4題5題 全等三角形的基本圖形大致有以下幾種：1平移型 如圖3，下面幾種圖形屬于平移型，它們可看成有對應邊在一直線上移動所構成的，故該對應邊的相等關系一般可由同一直線上的線段和或差而得到圖32對稱型

3、如圖4，下面幾種圖形屬于對稱型：圖4 它們的特征是可沿某一直線對折，直線兩旁的部分能完全重合（軸對稱圖形），重合的頂點就是全等三角形的對應頂點3旋轉(zhuǎn)型 如圖5，下面幾種圖形屬于旋轉(zhuǎn)型：它們可看成是以三角形的某一頂點為中心旋轉(zhuǎn)所構成的，故一般有一對相等的角隱含在對頂角、某些角的和 或差中 圖5二、全等三角形的判定畫圖思考？1、 全等三角形的判定方法：（SAS）,(SSS), (ASA), (AAS),(HL)邊邊邊（SSS）邊角邊（SAS）角邊角(ASA)角角邊AAS直角邊和斜邊（HL） 三邊對應相等的兩三角形全等有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全

4、等.兩角和及其中一個角所對的邊對應相等的兩個三角形全等.有一條斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(HL）2全等三角形證題的思路：3.全等三角形的隱含條件：公共邊（或公共角）相等 對頂角相等利用等邊（等角）加（或減）等邊（等角），其和（或差）仍相等 利用平行線的性質(zhì)得出同位角、內(nèi)錯角相等 全等三角形（SSS）【知識要點】三邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊邊邊”或“SSS”，例1.已知：如圖AB=CD,AD=BC，求證：ADBC。例2.已知：如圖，點A、C、B、D在同一條直線上,AC=BD,AM=CN,BM=DN,求證：AMBCND例3.已知AB=CD，BF=CE，AE=CF，問A

5、BCD嗎？例4.已知：如圖,AB=AE,AC=AD,BC=DE, C,D在BE邊上.求證：CAE=DAB例5.如圖，在中，M在BC上，D在AM上，AB=AC , DB=DC 求證：AM是的角平分線例6.如圖：在ABC中，BA=BC，D是AC的中點。求證：BDAC。例7. 如圖：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求證：B=C。例8. 如圖，在中,，D、E分別為AC、AB上的點，且AD=BD,AE=BC,DE=DC.求證：DEAB。 例9.已知：如圖，AB=DC，BD=AC，AC，BD交于O求證：AOBDOC例10.如圖，已知：AB=AC，BE=CE ，E為AD上一點，求證：BED=CED。例1

6、1.已知：如圖，A、E、F、B在一條直線上，AC=BD , AE=BF，CF=DE。求證：ADBC例12.已知：如圖 , E是AD上的一點 , AB=AC , AE=BD , CE=BD+DE求證：B=CAE課后思考1.工人師傅常用角尺平分任意角，做法如下： 如圖：AOB是一個任意角，在OA、OB上分別取OM=ON，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M、N重合，過角尺頂點P的射線OP便是AOB的平分線。你知道這樣做的理由嗎？全等三角形（SAS）【知識要點】ABCEDF兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“SAS”，幾何表示如圖，在和中，例1.如圖，AE=DB,BC=E

7、F,BCEF,求證:ABCDEF例2.已知:如圖,AD是BC上的中線,且DF=DE求證:BECF 例3.如圖，已知，等腰RtOAB中，AOB=90o，等腰RtEOF中，EOF=90o，連結(jié)AE、BF 求證：（1）AE=BF；（2）AEBF例4.如圖，在ABE中，ABAE,ADAC,BADEAC, BC、DE交于點O. 求證：(1) ABCAED； (2) OBOE .例5. 已知：如圖，AB=AC，AD=AE，求證：BE=CD.ADBEC例6. 如圖，已知：點D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，1=2，由此你能得出哪些結(jié)論？給出證明.ABDEC12 DABCE例7.如圖，已知ABC、BD

8、E均為等邊三角形。求證：BDCD=AD。例8.如圖,在中,，分別以AB,AC為邊作兩個等腰直角ABD和ACE， 使（1）求的度數(shù)；（2）求證： 例9.已知:如圖,AB=AC,AE平分BAC.求證:DBE=DCE例10.已知如圖，B是CE的中點，AD=BC，AB=DCDE交AB于F點。求證：（1）ADBC（2）AF=BF例11.已知：如圖，BE、CF是ABC的高，分別在射線BE與CF上取點P與Q，使BP=AC，CQ=AB。求證：（1）AQ=AP；（2）APAQ例12.已知C為AB上一點,ACN和 BCM是正三角形.(1)求證:AM=BN；(2)求AFN的度數(shù).例13.如圖，已知ABC的邊長為1的

9、正三角形，BDC是頂角BDC=1200的等腰三角形，以D為頂點作一個600角，角的兩邊分別交AB于M，交AC于N，連MN形成AMN，求證：AMN的周長等于2。例14.五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180°，求證：AD平分CDE. 課后思考1.如圖，ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四邊形CDEF是正方形，連接AF、BD. (1)觀察圖形，猜想AF與BD之間有怎樣的關系，并證明你的猜想； (2)若將正方形CDEF繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使正方形CDEF的一邊落在ABC的內(nèi)部，請你畫出一個變換后的圖形，并對照已知圖形標記字母，題(1)中猜想的結(jié)論

10、是否仍然成立？若成立，直接寫出結(jié)論，不必證明；若不成立，請說明理由.全等三角形（ASA）【知識要點】兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“AAS”， 全等三角形（AAS）【知識要點】兩角和它們的鄰邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊”或“AAS”， 【典型例題】【例1】如圖，已知中，、分別是及平分線求證：【例2】如圖，在MPN中，H是高MQ和NR的交點，且MQNQ求證：HNPM.【例3】已知：如圖ACCD于C , BDCD于D , M是AB的中點 , 連結(jié)CM并延長交BD于點F。求證：AC=BF【例4】如圖，AB=AC，求證：AD=AEABDEC【例3】已知：如圖

11、，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分別為D、E，BD、CE相交于點F，求證：BE=CDACBDEFABCDP1234【例4】已知如圖，點P在AB上，可以得出PC=PD嗎？試證明之例5.如圖，ACB=900，AC=BC，D為AB上一點,AECD，BFCD，交CD延長線于F點.求證：BF=CE.例6.如圖在ABC中，ACB=90°，AC=BC，AE是BC的中線，過點C作CFAE于F，過B作BDCB交CF的延長線于點D。（1）求證：AE=CD，（2）若BD=5，求AC的長。例7.如圖：在ABC中，ACB=90°，AC=BC，D是AB上一點，AEGD于E，BFCD交CD的延長線

12、于F。求證：AE=EF+BF。例8.如圖，已知在中，AD是角平分線，CFAD交AB于F，垂足為M，CEAD交BA的延長線于E，求證：AC=AE=AF。例9.如圖，ABC中，BAC=900，AB=AC，BD是ABC的平分線，BD的延長線垂直于過C點的直線于E，直線CE交BA的延長線于F求證：BD=2CE10.如圖：在ABC中，AB=AC，AD和BE都是高，它們相交于點H，且AH=2BD.求證：AE=BE.11.已知:如圖,四邊形 ABCD中,ADBC,F是AB的中點,DF交CB延長線于E , CE=CD.求證：ADE=EDC12.如圖，ABC中，D是AC上一點，BEAC，BE=AD，AE分別交B

13、D、BC于點F、G 圖中有全等三角形嗎？請找出來，并證明你的結(jié)論 若連結(jié)DE，則DE與AB有什么關系？并說明理由 13.已知:如圖,ABCD,1=2,O是AD的中點,EF、AD交于O求證：O也是EF的中點 12.已知：如圖,AE=BF , ADBC , AD=BC.AB、CD交于O點求證：OE=OF能力提高：1.已知:如圖，AD=DC,ADC=DEB=B=90°,四邊形ABCD的面積為16,則DE的長為（ ） A.5 B.4 C.3 D.23.已知：如圖，在ABC 中，AD是BAC的角平分線，E、F分別是AB、AC上的點，且EDF+EAF=180°。求證：DEDF。4.在等

14、邊三角形ABC中，AE=CD，AD，BE交于P點，BQAD于Q求證：BP=2PQ5.如圖，點M為正ABD的邊AB所在直線上的任意一點(點B除外)，作，射線MN與DBA外角的平分線交于點N，DM與MN有怎樣的數(shù)量關系?課后思考：問題：一塊三角形玻璃碎成如圖形狀4塊，配一塊與原來一樣的三角形玻璃DBCA（1）要不要4塊都帶去？（2）帶哪一塊呢？（3）帶D塊，帶去了三角形的幾個元素？另外幾快呢？全等三角形（HL）【知識要點】直角邊和斜邊對應相等的兩個直角三角形全等，簡寫成“HL”【典型例題】例1.如圖，有一個直角ABC，C=90°，AC=10，BC=5，一條線段PQ=AB，P.Q兩點分別在

15、AC和過點A且垂直于AC的射線AX上運動，當AP= 時,才能使ABC與PQA全等.例2.如圖，ABBC于B，ADDC于D，且CB=CD求證：ABD=ADB.3、如圖，ABCD，DEAC，BFAC，E，F(xiàn)是垂足，求證：ADECBF4、已知：BECD，BEDE，BCDA，求證： BECDAE；DFBCBCDEFA5、如圖：在ABC中，C=90°，AC=BC，過點C在ABC外作直線MN，AMMN于M，BNMN于N。（1）求證：MN=AM+BN。6.已知：如圖，AD為ABC的高，E為AC上一點，BE交AD于F，且有BF=AC，F(xiàn)D=CD，求證：BEAC。7.已知：RtABC中，ACB是直角，

16、D是AB上一點，BD=BC，過D作AB的垂線交AC于E，求證：CDBE.8.已知：如圖 , AE , FC都垂直于BD , 垂足為E、F , AD=BC , BE=DF求證：OA=OC.9.已知：如圖，DN=EM，且DNAB于D，EMAC于E，BM=CN求證：B=C.10.已知：如圖 , BC是ABC和DCB 的公共邊 , AB=DC , AC=DB , AE、DF分別垂直BC于E , F 求證：AE=DF11.如圖，已知：ACB和ADB都是直角，BC=BD，E是AB上任一點，求證：CE=DE12.已知在RtABC中，C90°，ACBC，AD為BAC的平分線，DEAB，垂足為C求證：DBE的周長等于AB13.如圖,ABC中,ACB=90°,CEAB于E,AD=AC,AF平分CAE交CE于F求證:FDCB。課后思考：1.證明:在直角三角形中，300所對的直角邊等于斜邊的一半。2.如圖，A、E、F、C在一條直線上，AE=CF，過E、F分別作DEAC，BFAC，若AB=CD。 請回答下列問題：（1）BD平分EF；（2）若將DEC的邊EC沿AC方向移動變?yōu)閳D2時其余條件不變，上述結(jié)論是否成立，請說明理由。 能力提高：1.已知：AOB=90°，