有理數(shù)(數(shù)軸相反數(shù)絕對值)

1、知識點：一、有理數(shù):正整數(shù)整數(shù)零自然數(shù)有理數(shù)（按定義分類）負(fù)整數(shù)分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)正有理數(shù)正整數(shù)正分?jǐn)?shù)有理數(shù)（按符號分類）零（零既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)）負(fù)有理數(shù)負(fù)整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)注：正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)；正整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù);（4）負(fù)整數(shù)和零統(tǒng)稱為非正整數(shù)例題:【例1】如果收入2000元，可以記作2000元，那么支出5000元，記為.高于海平面300米的高度記為海拔300米，則海拔高度為600米表示.某地區(qū)5月平均溫度為20C,記錄表上有5月份5天的記錄分別為2.7,0,1.4,3,4.7,那么這5項記錄表示的實際溫度是.向南走200米，表示.【例2】在下列各數(shù)：（2）,（2

2、2）,|2,（2）2,（2）2中，負(fù)數(shù)的個數(shù)為個.a10；a21；a；（a1）2一定是負(fù)數(shù)的是（填序號）.練習(xí)題:1、下列說法正確的是（）A. a一定是負(fù)數(shù)B. 一個數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)C. 0是負(fù)數(shù)D.在正數(shù)前面加-"'號，就成了負(fù)數(shù)2、下列說法正確的是（）A、一個數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)B、整數(shù)又叫自然數(shù)C、正整數(shù)又叫自然數(shù)D、整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)3、下列說法正確的是（）A、0是正整數(shù)B、0是正數(shù)C、0是整數(shù) D、0既不是奇數(shù)又不是偶數(shù)B. 一個數(shù)的絕對值一定不是負(fù)數(shù)D.絕對值相等的兩個有理數(shù)相等4、下列說法正確的是（）A.a表示負(fù)有理數(shù)C.兩個數(shù)的和一定大于每個加數(shù)、數(shù)車由：

3、規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線原點、正方向、單位長度稱為數(shù)軸的三要素，三者缺一不可單位長度和長度單位是兩個不同的概念，前者指所取度量單位的長度，后者指所取度量單位的名稱，即單位長度是一條人為規(guī)定的代表"的線段，這條線段可長可短,按實際情況來規(guī)定，同一數(shù)軸上的單位長度一旦確定，則不能再改變數(shù)軸的畫法及常見錯誤分析畫一條水平的直線；在這條直線上適當(dāng)位置取一實心點作為原點：確定向右的方向為正方向，用箭頭表示；選取適當(dāng)?shù)拈L度作單位長度，用細(xì)短線畫出，并對應(yīng)標(biāo)注各數(shù)，同時要注意同數(shù)軸的單位長度要一致.數(shù)軸畫法的常見錯誤舉例：錯例原因'1A23無原點1|012沒后正方向11-A234

4、單位長度不統(tǒng)一無原點1A0沒有單位長度有理數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系：一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示出來.在數(shù)軸上，右邊的點所對應(yīng)的數(shù)總比左邊的點所對應(yīng)的數(shù)大正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切負(fù)數(shù).注意：數(shù)軸上的點不都代表有理數(shù)，如例題:【例3】如右圖所示，數(shù)軸上的點 那么以下結(jié)論正確的是（）A. m 0, n 0 , m nC. m 0, n 0, m n【例4】數(shù)a, b c d所對應(yīng)的點M和N分別對應(yīng)有理數(shù) m、n,B.m 0, n 0, m nD.m 0, n 0, m nA, B,C, D在數(shù)軸上的位置如圖所示,那么a c與b d的大小關(guān)系為（）A.acbdB.acbdC.acbdD.不

5、確定的【例5】在數(shù)軸上任取一條長度為19991的線段，則此線段在這條數(shù)軸上最多能蓋住的整數(shù)9點的個數(shù)為練習(xí)題：1、如圖，數(shù)軸上標(biāo)出若干個點，每相鄰兩點相距1個單位，點A,B,C,D對應(yīng)的數(shù)分別為整數(shù)a,bcd,并且b2a9,那么數(shù)軸的原點對應(yīng)點為（）A.A點B.B點C.C點D.D點MN*1*Jm0n2、數(shù)軸上有一點到原點的距離是5.5,那么這個點表示的數(shù)3、已知數(shù)軸上有A, B兩點，A 對應(yīng)的數(shù)為4、軸上表示整數(shù)的點稱為整點。 若在這個數(shù)軸上隨意畫出一條長為 線段AB蓋住的整點的個數(shù)是（A. 2002 或 2003C. 2004 或 2005B之間的距離為1,點A與原點O的距離為3,那么點B所

6、某數(shù)軸的單位長度是2004厘米的線段，）B. 2003 或 2004D. 2005 或 20061厘米,AB ,則三、相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)互稱為相反數(shù)特別地，0的相反數(shù)是0.相反數(shù)的性質(zhì)：代數(shù)意義：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，特別地，0的相反數(shù)是0相反數(shù)必須成對出現(xiàn)，不能單獨存在例如5和5互為相反數(shù)，或者說5是5的相反數(shù)，5是5的相反數(shù)，而單獨的一個數(shù)不能說是相反數(shù)另外，定義中的“只有”指除符號以外，兩個數(shù)完全相同，注意應(yīng)與“只要符號不同”區(qū)分開例如3與3互為相反數(shù)，而3與2雖然符號不同，但它們不是相反數(shù)幾何意義：一對相反數(shù)在數(shù)軸上應(yīng)分別位于原點兩側(cè)，并且到原點的距離相等這兩點

7、是關(guān)于原點對稱的求任意一個數(shù)的相反數(shù)，只要在這個數(shù)的前面添上“-”號即可一般地，數(shù)a的相反數(shù)是a；這里以a表示任意一個數(shù)，可以為正數(shù)、0、負(fù)數(shù)，也可以是任意一個代數(shù)式注意a不一定是負(fù)數(shù)當(dāng)a0時，a0；當(dāng)a0時，a0；當(dāng)a0時，a0.互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為零，即若a與b互為相反數(shù)，則ab0，反之，若ab0,則a與b互為相反數(shù).多重符號的化簡：一個正數(shù)前面不管有多少個午”號，都可以全部去掉；一個正數(shù)前面有偶數(shù)個“”號，也可以把“”號全部去掉；一個正數(shù)前面有奇數(shù)個“”號，則化簡后只保留一個“”號，既“奇負(fù)偶正”(其中“奇偶是指正數(shù)前面的“”號的個數(shù)的奇偶數(shù)，“負(fù)正”是指化簡的最后結(jié)果的符號).例題

8、：6】下面各量具有相反意義的是()A.向北走3千米，向東走3千米B.七年級班男生有 25人,女生有15人C.上午氣溫零上30C,下午氣溫零上8CD.上升200米，下降15米【例7】3的相反數(shù)是1A.3B.-3C.±3D.一3【例8】如果ab0,那么a,b兩個實數(shù)一一定是（）A.都等于0B.一正一負(fù)C.互為相反數(shù)D.互為倒【例9】a、b、c、m都是有理數(shù)，且a+2b+3c=m,a+b+2c=m,那么b與c（）.A.互為相反數(shù)B.互為倒數(shù)C.互為負(fù)倒數(shù)D.相等【例10如果a0,化簡下列各數(shù)的符號，并說出是正數(shù)還是負(fù)數(shù)（a）;（a）;（a）;（a）;a練習(xí)題:1、2010的相反數(shù)是（）A.

9、2010B.C.2010D.1201020102、 m的相反數(shù)是,m1的相反數(shù)是,mnab的相反數(shù)是3、若mn0,np0,且mq0,則（）.A.p與q相等B.m與p互為相反數(shù)C.m與n相等D.n與q相等4、下列說法錯誤的是（）A.（3）與（3）互為相反數(shù)B.（3）與（3）互為相反數(shù)C.（3）與（3）互為相反數(shù)D.3與（3）互為相反數(shù)2004b 的20045、a和b之和的2003次萬等于1,a與b的相反數(shù)之和的2003次萬等于1,則a值為多少?四、絕對值絕對值的幾何意義：一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離.數(shù)a的絕對值記作a.絕對值的代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的

10、絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.注意：取絕對值也是一種運算，運算符號是“|"，求一個數(shù)的絕對值，就是根據(jù)性質(zhì)去掉絕對值符號.絕對值的性質(zhì)：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù);的絕對值是0.絕對值具有非負(fù)性，取絕對值的結(jié)果總是正數(shù)或0.任何一個有理數(shù)都是由兩部分組成：符號和它的絕對值，如:對值是5 .求字母a的絕對值： a(a a 0(a a(a5符號是負(fù)號，絕0)0)0)a(a 0)a(a 0)a(a 0)a(a 0)利用絕對值比較兩個負(fù)有理數(shù)的大?。簝蓚€負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小.絕對值非負(fù)性：如果若干個非負(fù)數(shù)的和為0,那么這若干個非負(fù)數(shù)都必為0.例如：若abc

11、0,則a0,b0,c0絕對值的其它重要性質(zhì)：(1)任何一個數(shù)的絕對值都不小于這個數(shù)，也不小于這個數(shù)的相反數(shù)，即aa,且aa;(2)若ab,貝Uab或ab;(3)abab;«1«1ab0c1aa_222-S(b0)；(4)|a|a|a；(5)bb|a|b|ab|a|b|,對于|ab|a|b,等號當(dāng)且僅當(dāng)a、b同號或a、b中至少有一個0時，等號成立；對于|a|b|ab,等號當(dāng)且僅當(dāng)a、b異號或a、b中至少有一個0時，等號成立.例題:一：絕對值代數(shù)意義及化簡【例1】列各組判斷中，正確的是()A.若|a| b ,則一定有a bB.若a b ,則一定有a bC.若a b ,則一定有|

12、a |bD.若a【例2】如果有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，求abb1a值.【例3】設(shè)a,b,c為非零實數(shù)，且aa0,abab,cc0.化簡babcbac.【例4】已知x1999,貝U4x25x94x22x23x7.【例5】如果0m10并且mx10,化簡xmx10xm10.a0b【例6】若x0,化簡網(wǎng)2x.x3x練習(xí)題：22 .一1、如果a > b ,則A. a bB. a| > b2、對于 m 1 ,下列結(jié)論正確的是A. m 1 刁 m |B. m 1 w| m |3、數(shù)a,b在數(shù)軸上對應(yīng)的點如右圖所示，試化簡()C. a bD |a < |b()C. m 1 &g

13、t; |m | 1 D , m 1 <| m | 1 a b b a b aa|4、若ab且a0,化簡abababb5、若m1998,則m211m999mi22m999206、已知aa,0,化簡2a 4b(a 2b)24a 2b24b 3 2a 3二.分類討論-一零點分段法零點分段討論的一般步驟：找零點一分區(qū)間一定符號一去絕對值符號.【例7】求mm1m2的值.練習(xí)題：1、化簡代數(shù)式x2|x42、化簡：|x12x1.三：關(guān)于旦的探討應(yīng)用a23【例8】已知a是非零有理數(shù)，求二二之的值.aa2a3【例9】已知abcab0，求 LT1abacacbcbc的值.【例10】a , b , c為非零有

14、理數(shù)，且 a b c.a b b c 0,則發(fā)|a b |b cc a丁y的值等于多少?c a練習(xí)題：1、若 0 a 1,2 bA. 02、如果 a b c 0, ala1b2ab占1,則JJJL的值是(a1b2abB. 1C.3b c 0 , abc0,求倡)2°°2 a)D.4心2003件加的值.b lc3、如果2a b 0 ,求1 忖2的值.四、絕對值的非負(fù)性絕對值非負(fù)性：如果若干個非負(fù)數(shù)的和為0,那么這若干個非負(fù)數(shù)都必為0.【例11若a4b2,則ab.練習(xí)題：1、若m3n722p10,則p+2n3m.2、設(shè)a、b同時滿足(a2b)2|b1|b1;|ab3|0.那么a

15、b3、已知(a b)2 b 5 b5,且 2a b 10 ,那么 ab五、絕對值的幾何意義a|的幾何意義：在數(shù)軸上，表示這個數(shù)的點離開原點的距離.ab的幾何意義：在數(shù)軸上，表示數(shù)a、b對應(yīng)數(shù)軸上兩點間的距離.重點：奇數(shù)個絕對值相加，數(shù)按照從小到大排列，x取中間數(shù)，得最小值；偶數(shù)個絕對值相加，數(shù)按照從小到大排列，x取中間兩個數(shù)及兩數(shù)之間的數(shù)得最小值?！纠?2】|mn的幾何意義是數(shù)軸上表示m的點與表示n的點之間的距離.x的幾何意義是數(shù)軸上表示的點與之間的距離；xIx0(>,<)；21的幾何意義是數(shù)軸上表示2的點與表示1的點之間的距離；則21;x3的幾何意義是數(shù)軸上表示的點與表示的點之間

16、的距離若x31,則x.(4) x2的幾何意義是數(shù)軸上表示的點與表示的點之間的距離若x2|2,則x.當(dāng)x1時，則x2x2.【例13如圖所示，在一條筆直的公路上有7個村莊，其中A、B、C、D、E、F到城市的距離分別為4、10、15、17、19、20千米，而村莊G正好是AF的中點.現(xiàn)要在某個村莊建一個活動中心，使各村到活動中心的路程之和最短，則活動中心應(yīng)建在什么位置？城市【例14】x1x2Lx2009的最小值為練習(xí)題:1、不等式x1x27的整數(shù)解有個.2、2、彼此不等的有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對應(yīng)點分別為A,B,C,如果ab|bc|ac,那么A,B,C的位置關(guān)系是.3、有理數(shù)a、b、c、d各自對應(yīng)著數(shù)軸上X、Y、Z、R四個點，且(1) bd比ab,ac、ad、bc、cd都大；(2) |daacdc;(3) c是a、b、c、d中第二大的數(shù).則點X、Y、Z、R從左到右依次是六、絕對值最值與定值的探討【例15若2a45al13a的值是一個定值，求a的取值范圍.【例16】abcde是一個五位自然數(shù)，其中a、b、c、d、e為阿拉伯?dāng)?shù)碼，且abcd,則abbc