有趣的追及問(wèn)題

1、有趣的追及問(wèn)題K數(shù)學(xué)廣角R同學(xué)們，龜兔賽跑的故事一定聽(tīng)說(shuō)過(guò)吧，實(shí)際上龜兔賽跑是行程問(wèn)題中的另一種情況，它是一種同向行程問(wèn)題，我們把它叫做追及問(wèn)題。兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體同向前進(jìn)，有一個(gè)運(yùn)動(dòng)物體速度較快，另一個(gè)運(yùn)動(dòng)物體速度較慢。如果慢的走在前，快的就能追上慢的，這就產(chǎn)生了追及問(wèn)題。求追及時(shí)間的關(guān)系式是：追及時(shí)間二追及距離+速度差。K智慧密碼R例1小明步行上學(xué)，每分行75米，小明離家12分后，爸爸發(fā)現(xiàn)小明忘帶了書(shū)包騎自行車去追，每分行375米，爸爸出發(fā)多少分后能追上小明12分分析畫(huà)出線段圖小朋I-拿分匯來(lái)爸爸I-將分375米小明上學(xué)離家走了12分后，他爸爸才去追，由于爸爸速度比較快,最后一定會(huì)追上小明。算術(shù)

2、方法：從圖中，可以看出，當(dāng)爸爸出發(fā)時(shí)，小明已經(jīng)行了75X12=900米，這實(shí)際上就是爸爸追小明的路程即路程差，而每經(jīng)過(guò)1分，爸爸要追上小明37575=300米，這實(shí)際上就是速度差，因此爸爸要追上小明，只要看這900米里包含有幾個(gè)300米，就是爸爸追上小明需要幾分。解爸爸出發(fā)距小明的米數(shù)75X12=900（米）爸爸每分鐘比小明多行的米數(shù)37575=300（米）爸爸出發(fā)后追上小明的時(shí)間900+300=3（分）追及問(wèn)題的基本關(guān)系式：路程差=速度差X追及時(shí)間速度差=路程差+追及時(shí)間追及時(shí)間=路程差+速度差方程方法：用方程思想來(lái)解決這一類問(wèn)題，關(guān)鍵之處是要找到等量關(guān)系，觀察線段圖即可發(fā)現(xiàn)在爸爸追上小明的

3、時(shí)刻，小明和爸爸所行的路程相等。解：設(shè)爸爸x分鐘可以追上小明。75X12+75x=375x375x-75x=900300x=900X=3答：爸爸3分鐘可以追上小明。多長(zhǎng)時(shí)間追上環(huán)行路上的行程問(wèn)題，有著它獨(dú)特的方面，由于環(huán)行的道路是封閉的，因此，環(huán)行路上的運(yùn)動(dòng)，計(jì)算行程時(shí)，通常與環(huán)行道路的周長(zhǎng)有關(guān)。例2在400米的環(huán)行后6道上，A、B兩點(diǎn)相距100米，甲、乙兩人分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蚺懿?。甲每秒?米，乙每秒跑4米，他們每人跑100米，都要停10秒鐘。求甲追上乙需要多少秒分析：這道題初看時(shí)，由于他們每人跑100米，都要停10秒鐘。似乎不太好解決。但如果將二人看成不停的跑，就很容易

4、算出甲追上乙的時(shí)間，這時(shí)再考慮在這期間所停留的時(shí)間，問(wèn)題的解決就比較簡(jiǎn)單了。解答：如果甲、乙不停的跑步，甲追上乙共需：100+（54）=100（秒）,甲在100秒中共跑：5X100=500（米）,而甲在跑100米、200米、300米、400米時(shí)共停留了4次，到了500米處恰好追上乙。不必計(jì)算停留的時(shí)間。所以，甲追上乙所需的時(shí)間是：100+4X10=140（秒）說(shuō)明：甲跑到500米處時(shí)，正好是乙跑完400米，并且休息完10秒時(shí)。當(dāng)甲跑到時(shí)，乙恰好要出發(fā)，他們兩個(gè)在這一瞬間正好相遇。例3如圖，AB是圓直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，小華在點(diǎn)A,小明在點(diǎn)B,他們同時(shí)出發(fā)，反向而行。他們?cè)贑點(diǎn)第一次相遇，C點(diǎn)離A點(diǎn)1

5、00米；在D點(diǎn)第二次相遇，D點(diǎn)離B點(diǎn)80米。求這個(gè)圓的周長(zhǎng)分析：第一次相遇，兩人合起來(lái)走了半圈，第二次相遇，兩人合起來(lái)走了一圈，因此，從開(kāi)始出發(fā)到第二次相遇，兩人合起來(lái)走了一圈半。也就是說(shuō)，第二次相遇時(shí)兩人合起來(lái)走的路程是第一次相遇時(shí)合起來(lái)所走路程的3倍，因此，不難看出AD的距離是AC距離的3倍，所以再求圓周的長(zhǎng)度就比較簡(jiǎn)單了。解答：因?yàn)锳C=10邱，AD的長(zhǎng)度是AC長(zhǎng)度的3倍。AD=ACX3=100X3=300（米）半個(gè)圓的周長(zhǎng)：30080=220（米）整個(gè)圓的周長(zhǎng)：220X2=440（米）說(shuō)明：這道題還可以從另一個(gè)角度進(jìn)行考慮。由于C到D兩人共走了一個(gè)圓周，由A、B到C兩人共走了半個(gè)圓周，

6、所以，CD的長(zhǎng)度是AC長(zhǎng)度的2倍。因此，同樣可以判斷出AD的距離是AC距離的3倍例4如圖，沿邊長(zhǎng)為90米的正方形，按逆時(shí)針的方向，甲從A出發(fā)，每分鐘走65米，乙從B出發(fā)，每分鐘走72米，當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)是在正方形的哪一條邊上甲分析：這是一道環(huán)行追及問(wèn)題，這類問(wèn)題可以先看成“直線”的追及問(wèn)題，求出乙追上甲所用的時(shí)間，再回到環(huán)行路上的追及問(wèn)題，根據(jù)乙這段時(shí)間所走的路程，推算出應(yīng)在正方形的哪一條邊上。解答：先求追上甲時(shí)乙所用的時(shí)間:27090X3+(7265)=7(分)再求這段時(shí)間乙所走的路程:72 X 7270 277717 (米)由于，正方形每邊長(zhǎng)90米，因此:112777-77-7=(4X7

7、+2)X90+777-這樣不難看出，乙走的比7圈零兩條邊還多7米，所以，當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)，甲和乙應(yīng)在正方形的AD邊上。說(shuō)明：如何將直線上的追及問(wèn)題，與環(huán)行道路的特點(diǎn)相結(jié)合，是這道題得以解決的關(guān)鍵。K牛刀小試31、一輛面包車的速度是每小時(shí)60千米,在面包車開(kāi)出30分鐘后，一輛小轎車以每小時(shí)84千米的速度從同一地點(diǎn)出發(fā)沿著同一行駛路線去追趕面包車，多少時(shí)間后追上2、姐姐步行的速度是每分鐘75米，妹妹步行的速度是每分鐘65米，在妹妹先出發(fā)20分鐘后姐姐去追趕妹妹，問(wèn)姐姐多少分鐘后追上妹妹這時(shí)離出發(fā)地多少米3、實(shí)驗(yàn)小學(xué)組織學(xué)生排隊(duì)步行去郊游，步行速度是每秒1米，排頭的王老師以每秒米的速度趕到排尾，然

8、后立即返回排頭，共用10分鐘，求隊(duì)伍的長(zhǎng)度。4、兄妹兩人同時(shí)從家出發(fā)去1080米遠(yuǎn)的學(xué)校上學(xué)，哥哥騎車每分鐘走360米，妹妹步行每分鐘走60米，哥哥到校門口時(shí)，發(fā)現(xiàn)忘帶課本，立即原路返回，問(wèn)哥哥再次由家出發(fā)在離學(xué)校多遠(yuǎn)處追上妹妹5、有甲、乙、丙三輛汽車，各以一定的速度從A地開(kāi)往B地。乙比丙晚出發(fā)10分鐘，經(jīng)40分鐘追上丙；甲比乙晚出發(fā)20分鐘，經(jīng)50分鐘追上乙，那么甲出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間追上丙俱樂(lè)部陳景潤(rùn)不愛(ài)玩公園，不愛(ài)逛馬路，就愛(ài)學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)起來(lái)，常常忘記了吃飯睡覺(jué)。有一天，陳景潤(rùn)吃中飯的時(shí)候，摸摸腦袋，哎呀，頭發(fā)太長(zhǎng)了，應(yīng)該快去理一理，要不，人家看見(jiàn)了，還當(dāng)他是個(gè)姑娘呢。于是，他放下飯碗，就跑到理發(fā)店去了。理發(fā)店里人很多，大家挨著次序理發(fā)。陳景潤(rùn)拿的牌子是三十八號(hào)的小牌子。他想：輪到我還早著哩。時(shí)間是多么寶貴啊，我可不能白白浪費(fèi)掉。他趕忙走出理發(fā)店，找了個(gè)安靜的地方坐下來(lái)，然后從口袋里掏出個(gè)小本子，背起外文生字來(lái)。他背了一會(huì)，忽然想起上午讀外文的時(shí)候，有個(gè)地方?jīng)]看懂。不懂的東西，一定要把它弄懂，這是陳景潤(rùn)的脾氣。他看了看手表，才十二點(diǎn)半。他想：先到圖書(shū)館去查一查，再回來(lái)理發(fā)還來(lái)得及，站起來(lái)就走了。誰(shuí)知道，他走了不多久，就輪到他理發(fā)了。理發(fā)員叔叔大聲地叫：“三十八號(hào)！誰(shuí)是三十八號(hào)快來(lái)理發(fā)！”你想想，陳景潤(rùn)正在圖書(shū)館里看書(shū)，他能聽(tīng)見(jiàn)理發(fā)員叔叔喊三十八號(hào)嗎？過(guò)了好