有理數(shù)的乘方及混合運(yùn)算

1、【總結(jié)升華】 乘方時(shí)，當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)時(shí),2.計(jì)算：-43(3)(-3)4(2X3)2(6)335(1)(一4)3二(一4) (-4) (-4) =-64.?1.6有理數(shù)的乘方及混合運(yùn)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .理解有理數(shù)乘方的定義；2 .掌握有理數(shù)乘方運(yùn)算的符號(hào)法則，并能熟練進(jìn)行乘方運(yùn)算；3 .進(jìn)一步掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、有理數(shù)的乘方定義：求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做哥(power).即有：aLia',.a=an.在an中，a叫做n底數(shù)，n叫做指數(shù).要點(diǎn)詮釋：(1)乘方與哥不同，乘方是幾個(gè)相同因數(shù)的乘法運(yùn)算，哥是乘方運(yùn)算的結(jié)果.(2)底數(shù)一定是相同

2、的因數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)不是單純的一個(gè)數(shù)時(shí)，要用括號(hào)括起來(lái).(3) 一個(gè)數(shù)可以看作這個(gè)數(shù)本身的一次方.例如，5就是51,指數(shù)1通常省略不寫.要點(diǎn)二、乘方運(yùn)算的符號(hào)法則(1)正數(shù)的任何次哥都是正數(shù)；(2)負(fù)數(shù)的奇次哥是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次哥是正數(shù)；(3)0的任何正整數(shù)次哥都是0;(4)任何一個(gè)數(shù)的偶次哥都是非負(fù)數(shù)，即川之0.要點(diǎn)詮釋：(1)有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算一樣，首先應(yīng)確定哥的符號(hào)，然后再計(jì)算塞的絕對(duì)值.(2)任何數(shù)的偶次哥都是非負(fù)數(shù).要點(diǎn)三、有理數(shù)的混合運(yùn)算有理數(shù)混合運(yùn)算的順序：(1)先乘方，再乘除，最后加減；(2)同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；(3)如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括

3、號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行.要點(diǎn)詮釋：(1)有理數(shù)運(yùn)算分三級(jí)，并且從高級(jí)到低級(jí)進(jìn)行運(yùn)算，加減法是第一級(jí)運(yùn)算，乘除法是第二級(jí)運(yùn)算，乘方和開(kāi)方(以后學(xué)習(xí))是第三級(jí)運(yùn)算；(2)在含有多重括號(hào)的混合運(yùn)算中，有時(shí)根據(jù)式子特點(diǎn)也可按大括號(hào)、中括號(hào)、小括號(hào)的順序進(jìn)行.(3)在運(yùn)算過(guò)程中注意運(yùn)算律的運(yùn)用.【典型例題】類型一、有理數(shù)乘方1.把下列各式寫成哥的形式：.八2222(1)I+k+k+1父I+I>5555(2)(-3.7)X(-3.7)X(-3.7)X(-3.7)X5X5;指數(shù)(3)xxxxxxyy.今【答案與解析】4(1)科小(2)(-3.7)X(-3.7)X(-3.7)X(-3.7)X5X5=(-3.

4、7)4X52;62(3) xxxxxxyy=xy應(yīng)加上括號(hào)(1)(T)3(4) -342(8)2X3【答案與解析】(2)43=-4父4父4=-64.?(3)4_(-3)=(-3)(-3)(-3)(-3)=81.(4)-34=-3333=-81.?(5)15J27-(-2)2010【答案與解析】根據(jù)乘方的符號(hào)法則直接判斷，可得：(-2)7運(yùn)算的結(jié)果是負(fù)；(-3)24運(yùn)算的結(jié)果(6)33_5275，為正；(-1.0009)2009運(yùn)算的結(jié)果是負(fù)；E|運(yùn)3(2黑3=62=36;(8)2X32=29=18算的結(jié)果是正；-(-2)2010運(yùn)算的結(jié)果是負(fù).【總結(jié)升華】“一看底數(shù)，二看指數(shù)”，當(dāng)?shù)讛?shù)是正數(shù)時(shí)

5、，結(jié)果為正；當(dāng)?shù)讛?shù)是0時(shí)，結(jié)果是0;當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，再看指數(shù)，若指數(shù)為偶數(shù)，結(jié)果為正；若指數(shù)是奇數(shù)，結(jié)果為負(fù).【總結(jié)升華】(y)n與-an不同，舉一反三:(-a)=、(aJ)(al_)a,【變式】(南充)計(jì)算：(-1)2009的結(jié)果是A.-lB.1C.-2009(D.).2009A有理數(shù)的混合運(yùn)算n-a口,去小a的n次郃的相-Vn個(gè)【答案】類型三、4.計(jì)算反數(shù).舉一反三1-11-10.5X-|”2-(-3)3-算:(1)(-4)43(2)2(3)12-14(4)(-1.5)21><一22-6-3(-3)3【答案】(-4)=256;(1)(-4)4=(-4)X(-4)X(-4)X11

6、2011(13+8-2.75)x(-24)+(-1)-2(2)232X2X2=8;2(3)一54253(-0.1)(-0.2)32+1-2-3|(4)(-1.5)2_=(-1.5)X(-1.5)=2.25【變式2】比較(-5)3與-53的異同.【答案】相同點(diǎn)：它們的結(jié)果相同，指數(shù)相同；不同點(diǎn)：(-5)3表示-5的3次方，即(-5)X(-5)X(-5)=-125,而-53表示5的3次方的相反數(shù)，即-53=-(5X5X5).因此，它們的底數(shù)不同，表示的意義不同.類型二、乘方的符號(hào)法則【答案與解析】(1)法一：517(1-)(-7)(-7)-666法二：1=(1-1-21173)(2一9)(一7)=

7、7X'X'3.不做運(yùn)算，判斷下列各運(yùn)算結(jié)果的符=-1-2-27=-(-2)7,(-3)24,(-1.0009)2009,55=(43原1+81=-32-3+66-9=22-4:9 6-（4） 原式1 1=+-0【總結(jié)升華】有理數(shù)的混合運(yùn)算，確定運(yùn)算順序是關(guān)鍵，細(xì)心計(jì)算是運(yùn)算正確的前提.舉一反三：1C【變式1】計(jì)算：14（10.5）M2（3）2【答案】原式們用一根粗的面條，第1次把兩頭捏在一、抻拉得到兩根面條，再把兩頭捏起.晌說(shuō)反復(fù)數(shù)次，就能拉出許多根細(xì)面條，如下圖，第3次捏合抻拉得到根面條，第5次捏合抻拉得到根面條，第n次捏合抻拉得到根面條,要想得到64根細(xì)面條，需次捏合抻拉.

8、第1次第2次第3次【答案】8;32;2n;6【解析】由題意可知，每次捏合后所得面建普捏合前面條*的257,所以.得到:6第1次：2162;第2次:【變式2】計(jì)算:1(-2)4(-4)x|-1222=4;第3次：23=8;；第n次：2n.第3次捏合抻拉得到面條根數(shù)：23,即8(A)220036-45.-2(D)22003【解析】逆用-4)4(-2)2003(一2)2004(B)(一2)4007(C)分配律可得：根；第15次得&合抻拉得到2n;25,即32年；笫n次2因?yàn)?6=64,所以要想得到64根面條，需要6次捏合抻拉.【總結(jié)升華】解答此類問(wèn)題的方法一般是：從所給的特殊情形入手，再經(jīng)過(guò)

9、猜想歸納，從看似雜亂的問(wèn)題中找出內(nèi)在的規(guī)律，使問(wèn)題變得有章可循.舉一反三：【變式】（2009肇慶）已知21=2,22=4,23=2003200420032003200345(-2)+(-2)=(-2)1+(-2)=-(-2)=28,2=16,2=32,，觀祭上面的規(guī)律，試猜【變式】計(jì)算:(-4)”(-1',所以答案為：C【總結(jié)升華】當(dāng)幾項(xiàng)均為哥的形式，逆用分配律提出共同的因數(shù)時(shí)，要提指數(shù)較小的哥的形式.舉一反三：想22008的末位數(shù)字是【答案】6【鞏固練習(xí)】一、選擇題1.下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為（）.對(duì)于任何有理數(shù)m都有m2>0;3747347【答案】（3）7父（4）7=（4）父

10、（4）7=1類型四、探索規(guī)律對(duì)于任何有理數(shù)m,都有m2=（一m)2;對(duì)于任何有理數(shù)min（mwn）,都有6.你見(jiàn)過(guò)拉面館的師傅拉面嗎？他(mn)2>0；2.一個(gè)數(shù)的平方等于它本身的數(shù)是對(duì)于任何有理數(shù)成都有m=（數(shù)的立方等于它本身的數(shù)是m)3.3.3=D.2.下列說(shuō)法中，正確的是（A.一個(gè)數(shù)的平方一定大于這個(gè)數(shù)；數(shù)的平方一定是正數(shù)；C.一個(gè)數(shù)的平方一定小于這個(gè)數(shù)；數(shù)的平方不可能是負(fù)數(shù).3.下列各組數(shù)中，計(jì)算結(jié)果相等的是一個(gè)一個(gè))4.C.4.A.A.-23與(-2)3-22與(-2)222.22(-)與丁D.-(Q與553式子一-的意義是54與5商的立方的相反數(shù)立方與5的商的相反數(shù)C.4反數(shù)

11、除54一、D.的立方55.（2010浙江杭州）計(jì)算（-1）2+A.-2B.-16.觀察下列等式：71=7,C.0-2B.4的立方的相(-1)3=()D.272=49,73=343,74.3-(-3)-32(-2)3225135從而猜想：1+3+5+2005=126.(-21)3解答題1.計(jì)算下列各式：(1)-23+(3-6)2-8X(-1)4;(2)(-3)3-2-434-22I13=2401,75=168077100的個(gè)位數(shù)字是(A.7B.976=117649由此可判斷).C.3D.1,c、2(3)(-5廣-1-父0.8父(2.25尸7;7.一根1米長(zhǎng)的繩子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的

12、一半,繩子的長(zhǎng)度為（如此下去，第6次后剩下的(4)'7-+卜181.45父6+3.95父6.9618C.2.已知x的倒數(shù)和絕對(duì)值都是它本身，y、z是有理數(shù)，并且|y+3|+（義+定尸，0求D.J米二x的值.二、填空題1.在（-2）4中在-23中，指數(shù)是,底數(shù)是2,48,-16,32,-64,22-2,-8,4,-20,28,-68,在中底數(shù)是,指數(shù)是5-1,2,48,-16,32,3.探索規(guī)律:觀察下面三行數(shù),指數(shù)是底數(shù)是2 =10032.析(品”4-22 I 1(1)第行第10個(gè)數(shù)是多少？(2)第行數(shù)與第行數(shù)分別有什么關(guān)系？(3)取每行第10個(gè)數(shù)，計(jì)算這三個(gè)數(shù)的和.【答案與解析】一、

13、選擇題1 .【答案】B【解析】錯(cuò)：當(dāng)m為0時(shí)，不滿足；對(duì)；錯(cuò)：次數(shù)為3,互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的奇數(shù)次方的結(jié)果也互為相反數(shù).2 .【答案】D【解析】一個(gè)數(shù)的平方與這個(gè)數(shù)的大小不定，1111例如：22=4>2;而(萬(wàn))2=j<；02=0,從而A,C均錯(cuò)；一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)或0,即非負(fù)數(shù)，所以B錯(cuò)，只有DX.3 .【答案】A【解析】-23=-8,(-2)3=-8.4 .【答案】B43【解析】-一表示4的立方與5的商的相反5數(shù)5 .【答案】C【解析】(-1)2=1,(-1)3=-16 .【答案】D【解析】個(gè)位上的數(shù)字每4個(gè)一循環(huán)，100是4的倍數(shù)，所以7100的個(gè)位數(shù)字應(yīng)為1.7 .【答案】

14、C二、填空題1 .【答案】4,-2,3,2,2,2【解析】依據(jù)乘方的定義解答2 .【答案】0,1;0,1,-1;143 .【答案】3,-32,42754 .【答案】-27,7225 .【答案】10032【解析】1+3=22,1+3+5=32,，一_21+3+5+7=4,從而猜想：每組數(shù)中，右邊的哥的底數(shù)a與左邊的最后一個(gè)數(shù)n的關(guān)系12005、2005二()2-46.【答案】5-9【解(-2；)2=(21)2=33三、解答題(1) 解析】(1)-23+(3-6)2-8X(-1)4=-8+9-8=-7;。122(2) (-3)3-243164十4十一=4+4=0；332(3) (-5)I1-0.8(-2.25)-7l7491彳=-5XXXX二-1；9547(4) I7-518-1.456-3.9569618=14-15+2+6父2.5=1+15=16.2 .【解析】因?yàn)閤的倒數(shù)和絕對(duì)值都是它本身，所以x=1,又因?yàn)閨y+3|+(2x+3z)2=0,所以y+3=0且2x+3z=0.一一2所以y=-3.當(dāng)x=1時(shí)，2x+3z=0,z=3.2把x=1,y=-3,z=-一代入得：325-2(-3)-5x-2yz=3二5-4二13 2-32一一-xy5-1'(-3)-5-d,