有限元復習題分析

1、有限元法復習提綱1 .彈性力學平面應力問題有什么幾何特征、載荷特征和應力特征？答：（1）幾何特征：等厚度的薄板；（2）載荷特征：體力作用于體內(nèi)，面力和約束作用于板邊，三者均平行于板中面，沿板厚不變；（3）應力特征：由于外力、約束沿z向不變，應力中只有平面應力ox,oy,Txy存在且僅為（x,y）函數(shù)。2 .簡要敘述平面應力問題有限元位移法分析步驟，并給出主要公式。答:|人單元和節(jié)點劃分，形成基本數(shù)據(jù)2、計算單元剛度矩陣法產(chǎn)*F0印43 .計算整體剛度矩陣幻=Z西產(chǎn)旦4 .計算結(jié)點載荷尸=£+/5 .引入支承條件征*=區(qū)明6,解方程求位移處=g尸*7 .計算單元的應力仃產(chǎn)=0產(chǎn)回產(chǎn)&q

2、uot;口3 .單元剛度矩陣中任意一個元素Krs的物理意義是什么？答：krs為第s個位移分量為單位1,其余位移為零時需要在施加的第r個節(jié)點力，也即第s結(jié)點的位移對第r結(jié)點力的貢獻。4 .有限元解彈性力學問題要保證解答收斂性，單元位移多項式滿足什么條件？答：包含剛體平移和轉(zhuǎn)動；包含常應變；可證滿足相鄰單元公共邊界上的連續(xù)性條件。5 .試說明三角形單元、四節(jié)點四邊形單元的解答是收斂的。答：三角形單元u=a1+a2x+a3y四邊形單元u=%+a2x+口3y+4xyv=a4a5xa6yv=5+qwx：；y：8xy三角形單元、四節(jié)點四邊形單元的位移函數(shù)中包含了常數(shù)項和一次項，所以包含了剛體位移和常應變；

3、當考慮相鄰單元公共邊界時，兩種單元類型的相鄰單元公共邊界共用兩個節(jié)點，而此時的位移函數(shù)一個自變量為常數(shù)，位移函數(shù)經(jīng)退化為兩個未知系數(shù)，即f=Bx+C或f=By+C的形式，剛好可以由公共的兩個節(jié)點位移條件位移確定。故解答是收斂的。6 .單元剛度方程k*=F反映的物理意義是什么？推導方法有哪些？答：反映了單元節(jié)點位移與節(jié)點力之間的關系（結(jié)點平衡法，虛位移原理，最小勢能原理）7 .有限元位移法分析彈性力學平面問題時如果采用四邊形八結(jié)點曲邊單元，選取的位移函數(shù)多項式包括那些項（用直角坐標x,y表示）？答：主要包含常數(shù)項C,線性項x,y,二次項x2,xy,y2,三次項x2y,xy2。第1頁共17頁有限元

4、法復習提綱8 .簡要敘述平面剛架有限元分析步驟，給出主要公式1,單元、結(jié)點編碼2、數(shù)據(jù)準備3、單元剛度矩陣（局部）%單元剛度矩陣（整體）二丁國m5、計算整體剛度矩陣£一三區(qū)產(chǎn)6、形成節(jié)點荷載P,引入邊界條件I植7、解方程，求位移亦工嗎8、求桿端力內(nèi)力、應力 W*=T叫研法:力=向“府”+圖產(chǎn)=比產(chǎn)門+炳嚴9.根據(jù)平面剛架單元剛度矩陣元素的物理意義推導具體表示式。答：Krs為第s個位移分量為單位1,其余位移為零時需要在施加的第r個節(jié)點力，單元位移分量和單元節(jié)點力分量為 d =ui m ei Uj Vj 以“ = 1,其余位移分量為零時，即考慮第二 個位移分量對單元六個節(jié)點力分量的貢獻，

5、 k12=k42=0,根據(jù)材料力學的懸臂梁撓度公式，“T F(e) =Xi Y mi Xj Yj mjTk22kl2有 Vi = 1 =k22l3k32l23EI 2EI0i =0 = _亡 + 辿i3EI EI由此算出k2212EI6EI同理得到面l3"EA12EIl36EI76EIF4EIl再由平衡條件得出k5212EI6EI_EA12EI丁6EIF6EIF2EIlEAlEAl12EIl36EIl36EIF2EIl12EI 丁_6EIF6EI了4EIl第3頁共i7頁10 .六面體八結(jié)點空間單元位移函數(shù)多項式包含那些項？滿足收斂條件嗎？,即答：包含1,x,y,z,xy,xz,yz,

6、xyz八項，滿足收斂條件：包含了常數(shù)項和一次項所以包含了剛體位移和常應變，而考慮相鄰單元公共面時，位移函數(shù)將退化為四個未知系數(shù)f=By+Cz+Dyz+E,剛好可以由公共面的四個節(jié)點位移條件位移確定。故解答是收斂的。11 .一維桿單元如圖，設位移模式為u(x)=ai+o(2x,試推導出單元剛度矩陣k。設單U1Fi元長度為l,橫截面積為A,材料彈性模量為E。u2.F2解：(i)拉壓桿的應變?yōu)槌?shù)，故位移函數(shù)為一次函數(shù)u(x)=:i：2x,x0,le由兩個節(jié)點位移條件U(0)=U1，U(l)=u2求得系數(shù)：,1二E,二2=(-ulU2)/l所以位移函數(shù)為：u (x) =U(-Ui U2)x,x 0,

7、l,U(x)= i黑,xe0J(2加元應變:u_；又=(-UiU2)/l=Bde二x(3嚴元應力：E de=Cdef,E；x=E；x=EBde=-l(4)形函數(shù)、幾何矩陣、應力矩陣分別為:,】 x xINi N2 = 1,E .C=7 T(5 由材力：& = Fi l /EA = Fzl / EA,l-U2 - Ui,I.Fi F2 T =k(e)'.Ui 口2/解得12.試采用平面桁架的有限元法，計算圖示桁架A點的位移和各桿的軸力。已知EA=2Mi05kN。解：(1)單元劃分及節(jié)點編號如圖所示，局部坐標由小節(jié)點號指向大節(jié)點號;有限元法復習提綱(2)局部坐標系中的單元剛度矩陣計

8、算如下:一r.戶EA1-11,EA1-1k=Ik=|(l1=5m),k=|(l2=4m)I111一'1211(3)坐標轉(zhuǎn)換矩陣T:T=cos：一 00cos 二0since(4)整體坐標系中的單元剛度矩陣計算如下：cos2 :cos： sin :2-cos :-cos 二 sin ;t EAk =T kTcosa sina2-cos a-cosa sin a _1. 2 sin a-cosa sin a-sin2a-cos 口 sina2cos 口cosasin a.2 一2J-sin acosa sinasinCt第7頁共17頁= 1,sinot =0,單元 cosa4一3、，一又單

9、兀cosot=,sinot=一，單兀cosot5525.6-19.20-19.214.400050000=1 M103000k34 J000-25.619.2-5019.2-14.400000000000-25.619,2 0019.2-14.400-500000025.619.225.6-19.219.214.4-19.214.425.6-19.2101.20-19.214.4028,8 _所以整體坐標系中各單元剛度矩陣為:16-12-1612_10-1011612-16-1213-12912-9r250000rf3129-12-9=1,6X10,Ikf=0.510,1k=1.610-161

10、216-12-1010-16-12161212-9-12910000-1-12-9129(5)根據(jù)單元的局部碼和整體碼的對應關系形成整體剛度矩陣:對應關系(1)(2)i123j444028.8(6)引入邊界條件并得到修正剛度矩陣:u1=v1=u2=v2=u3=v3=0,將1-6行和列元素置零得修正剛度矩陣-3101.2K=110-0(7)利用修正剛度方程求解節(jié)點位移:* U4*3 101.2K H>=P ，即1x10 I-V40一00 1?410解得山=0, V4 =3,510-28.8 V41(8)求解軸力:由d=Td，F(xiàn)=kFd可得_ 一F1r,小EA 1ik r T d = 1l1

11、 _Tcos- sin:01 IL 00 cos ;于是F44 4/5 -3/54 104-4/5 3/5_ _Fi 0.84”84-4/54/53/5-3/5-53.5 105_F2,同理可得F2u1 x0”y ,014卜0.84U4V4- =0.841受壓13.圖示平面剛架，設整體坐標系中的單元剛度矩陣為國Ik.:風% kjj(e)(1)采用子塊疊加的方法在形式上給出結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣K解：表1單元的局部碼和整體碼的對應關系單元號方向i12345j24466表2子塊兀素列表單田kiikijkjikjj%k21k22匹k24k42k44k33(3)ri便k34rik43k44(3)k44(4

12、)k46(4)k64(4)k66(4)k55(5)k56(5)k65(5)k66(5)整體剛度矩陣為:K=一k11k120000k21k22+及20修0000小33(3)kJ3000HI限產(chǎn)M +出44(3) +M)0NF)00005%6產(chǎn).000k64(4)曝產(chǎn)總產(chǎn)+*(5)(2)試說明為了引入邊界支承，如何修改整體剛度矩陣和載荷向量？解：Us=0s將K中第3s-2行和3s-2列的對角線元素改為1,其元素改為0;將載荷列矢量P中的第s個元素改為0.Vs=0按上述方法對K的3s-1行和列進行彳改，對P的第3s-1行修改按上述方法對K的3s行和列進行修改，對P的第3s進行修改(3)圖中整體結(jié)點編

13、號是否為最佳編法？解：回答是否定的。可以按以下原則為結(jié)點編號：因邊角結(jié)點所在的單元數(shù)少，可以通過比較結(jié)點所屬的單元數(shù)組的大小，使結(jié)點所屬的單元數(shù)組最小的結(jié)點編號為0,依次進行編號。14.圖4示為梁單元，設撓度為三次函數(shù),、23w(x)二-112X，.I3X，.I3X端點條件為w(0)=Wi,w(l)=Wi,1(0)=皿-iJ(l)=皿-jdxxHdxXT(1)試確定系數(shù)%(i=1,2,3,4),并將撓度W轉(zhuǎn)化為無量綱坐標Xxx/l的形式。解：將端點條件代入到撓度方程中，得%=wi%+l%+l2£3+l%4=Wj%+2l63+3l2u4二311411AjJ*Tjj*Tj0010001&

14、#171;i-出一Wi13=Wi%=a1ll2l3%wj口33=l(Hi+ej)+2(wi-wj)/l3:012l3l3也一5%=(26i+d)3(w-wj)/12解得系數(shù)為:=工:將系數(shù)代入撓曲線方程并令x即:w=HWi Hi% H(0)Wj H【1) =HdHiHiH(0)h(1)-1 - 2 -3l 3 l=lU -2l2 3-2 2 3l 3l=2 -l23(2)采用虛位移原理推導單元剛度矩陣。(e)解：不考慮軸向變形的梁單元，根據(jù)插值函數(shù)，有-yj 暇d,dx dxa=E-yEjd-Hid根據(jù)虛位移原理，有* T* Tl * Td F = m8QdxdA=j01A8 QdxdAV令：

15、k=EI 1剛度系數(shù)：krs=求得、* T :d2H Td2HT” 后 一2-4y dd xdA* T EI =dTy2HidNdNsl3 0 d d其中2Hdt d. - , * . - 、 一.由虛位移d 的任意性，可得Ni =Hi，N2 =H(1),N3 =H(0)F =kdk譚126l-12：6l6l4l2-6l2l2-12-6l12-6l6l 1 2l2-6l4l2有限元法復習提綱15用平面剛架的有限元位移法求解下列剛架的結(jié)點位移和內(nèi)力，并畫出內(nèi)力圖2kN5kN.m6kN -：-8kN(2)4.8kN/m(1)2.5m2.5mE=3.0xl0-kX/m; .4= 0.5m25m(1)

16、利用插值函數(shù)，根據(jù)虛位移原理推得局部坐標系中的單元剛度矩陣一EA00-0 l012EI6EI 一12EI6EIEAl0面6EI了4EI6EI了2EIEATEAT12EI6EI6EI 丁2EI12EIl36EI 一7"6EI一 l24EI30000-30000012300-12300301000-3050二30000300000-12-30012-3030500-30100(2)，k(1)=k(2)坐標轉(zhuǎn)換矩陣為:01TtTt一00tK =10第8頁共17頁100(3)整體坐標系中的單元剛度矩陣:(4)整體剛度矩陣的集成對應關系(1)(2)i12j44整體位置kiikijkjikjj(

17、1)k11k14k41k44(2)k22k24k42k4430000-300001-12030-120301012300-1230030000-30000301000-3050,k(2)=104300100-300504000030000-120-30120-300-12-30012-300-3000030001030500-3010020050-300100k所以整體剛度矩陣為3120-30-30000-120301312-300-12-300-30002000305030050300000001230000對稱1000001203030004有限元法復習提綱形成荷載向量(節(jié)點荷載和等效結(jié)節(jié)

18、點荷載)伉(1)=0,12,10,0,12,.10T月(2)=0,4,5,0,4,-5TPo(1)=TTTF。=0,-12,-10,0,-12,10T國。嚴=-口TF0=4,0,-5,4,0,5TgP0i(2)爪+PM】P0(1)=0>,8嚴=<p°j>,B40+p0j仆0i(11,。(2),|P0i(1)+0jP0=4,-12,-5,0,-12,-10,4,0,-5TP=HP0=10,-10,-10,0,-12,10,4,0,-5T(6)引入邊界條件得到修正剛度方程K*d=P*3120-300000001U110312-30000000V1-10200000000

19、q-1022.700211100000U20解得位移:w>=-2.7101>x10m%(0J-5.1485104對稱1010000004V2a00101001U3V3I>II000第14頁共17頁(7)單元的桿端力:11.100610.1302Li。)4.0385IFkN-11.100613.8698-13.83738.13032.89953.5358613055.1005-9.0384kN10.1302剪力圖(kN)軸力圖(kN)2kN5kN.6kN一4.8kN/mTTT(1)m5N2.18kN(2).2.5m5m16.圖5所示為一等腰直角三角形單元，設彈性模量為E=1.0

20、,波松比N=0,試求:(1)、形函數(shù)矩陣N(2)、幾何矩陣B解：三角形單元的節(jié)點坐標、節(jié)點位移、結(jié)點荷載及內(nèi)部位移函數(shù)為i(0,a)j(0,0)m(a,0)d=UiViUjVjUmVmTF=XiYXjYjXmYmTu=a1a2xa3yv=a4a5xa6y根據(jù)三角形單元內(nèi)部位移函數(shù)和結(jié)點位移條件，求解下列線性方程組1xy1Xjyja2=1Xmym1ujIumJVi由線性方程組的求解方法分母D=XiXjXjyjaXmymiJ-=vjVmJYiyj=a2(實際上=2二)，解出系數(shù)向量，最后1u 二2.：1v =2 ;bmX Cmy Vm;將系數(shù)匕1a2a3a4asaj0代到單元內(nèi)部位移函數(shù)(u,x)

21、y(vx邦甦理可得1dhxcyuajbjXCjyUjambmXjyUm)aibiXCyViajbjXCjyVjam其中，合并后的系數(shù)aibcCjCm對應值剛好是.:u,X:vyyxy幾何矩陣I.B1-12a一00LaXiyiXjyjXmym的代數(shù)余子式y(tǒng)四十空藥方X-b0-a0-a-a0l0abj0Cj一00J'j-10-1bk0cmbm0101由虛位移原理推得d*(e)TF=；*(e)T；(e)tdxdyA=d*(e)TBTDBdtdxdyA單元剛度矩陣k(e)=BTDBt：17 .圖6所示為一平面區(qū)域的三角形網(wǎng)格劃分，試進行單元和節(jié)點編號，使整體剛度矩陣的帶寬最小，計算出半帶寬(半

22、帶寬=(最大結(jié)點碼的差值-1)父2),并標出整體剛度矩陣中的零元素。非零元素為解：節(jié)點編碼如圖所示，半帶寬=(10-6+1)父2=10,11111111111111111111111111111111111111111111114y uy( , ) = Ni(,可iW且有-1-Ml, -1<n <10 Ni(£是(U的已知函數(shù)。試給出用曲線坐標(U 詼示18 .四邊形四節(jié)點等參單元的坐標變換為4x=x(-,n)=ZNi(-,n)x,id其中(x,y內(nèi)表示結(jié)構(gòu)實際尺寸和幾何形狀的直角坐標系；(M1內(nèi)無量綱曲線坐標,的單元的實際面積微元dA=dxdy1 1.解：N1(1-)(

23、1)41N2(1)(1-)41.N3(1)(1)41.N2(1-)(1)4所以x=£Nixi,y=£Niyi=x/aj=y/b用曲線坐標廣J)表示的單元的實際面積微元dA=dxdy應該放在兩個坐標系中求解。19.圖7示平板，厚度為0.1m,幾何尺寸、邊界約束、載荷如圖所示，忽略體力作用試求出結(jié)構(gòu)的節(jié)點載荷向量，并給出位移邊界條件。1m2c0 z=2kN/ my2m 2m解:(1)節(jié)點3(2)節(jié)點 6F6 y2 1111F3V = ( 1 22 1) =y 3 210 210/ 111.121,1-(1 2 1 2 + 21 ) 210 3 210 3 210(3)節(jié)點9F9

24、y1121110112(4)節(jié)點 8F8 y,1 ,1 C、=Y 1 2)=210(5)節(jié)點8F8y-(-K1=-21010120所以節(jié)點的荷載向量3)= 0 0 0 0 0 -1一6c 1 c00201 0 -11012位移邊界條件為 Ui = V1 = u2 = v2 = u3 = v3 = 020.彈性力學平面問題的區(qū)域為直角三角形(如圖8所示)，鉛垂邊上作用線性分布的水平力q(y)=q°(1-y/l),其中l(wèi)為邊長。若將區(qū)域或分為圖示的4個單元，試計算出等效結(jié)點載荷分量F1x0,F1y0,F2x0,F2y0,F3X0,F3y0,F4X0,F4X0；給出結(jié)點位移的邊界條件23(

25、1)節(jié)點1F1X011 l q。+ q0|t-一 t =3 2 2 224f =(21 1q0 +11_!,曳+_!_q£)t=q01t2x0322 2 322 2 22 24! /2!/2!/2(3)下點4 F：40=(2 1 -也x 3 2 2 2上11. 5%代+ ) t =2 2 224x其他分量為零F1y0 = F2y0 = Fsx0 =二 F3y0 = F4y0 = 0(2)節(jié)點2位移邊界條件為u4 = v4 = u5 = v5 = u6 = v6 = 021.圖9所示為一高深懸臂梁，右端均布面內(nèi)p作用，材料彈性模量為E,泊松比N=0,梁的厚度為to假設將梁劃分為圖示兩個

26、單元。根據(jù)彈性力學平面問題的有有限元法復習提綱IL0第16頁共17頁限元位移法求解節(jié)點的位移。在求解過程中要求給出下列結(jié)果:(1)、單元剛度矩陣k，修；(2)、整體剛度矩陣K;、等效節(jié)點載荷Po(4)、位移邊界條件;(5)、最終求解方程解：形函數(shù)系數(shù)系數(shù)單元1i(2,1),單元1幾何矩陣B幾何矩陣BK,*=Pajbjcj(6)、節(jié)點位移Ui,vhU2,V2y>X2對應值剛好是Xyixjyj的代數(shù)余子式j(0,1),m(0,0);單元2i(0,0),j(2,0),m(2,1);三角形面積A=112/：-b0F1-0021aajam1!2001-10單兀2bbjbm-1101ji02-21I

27、、*G&%:0-22J0bj0bk01j10-10001c0q0cm_1000202120cj12：0Cibj0Cjbj0cjbjbk0Cmbm01cmbm-10'.000-110-20-21彈性矩陣按平面應力問題取1-J20I10010=E0101N000.5_21k(1)=BTId|bt=k=B(2)tIdb一10T0000020-2012-1-20|10E010000.502-100-2一20-20001012-1-20226-2400-1-292-80-2-4240'o00-808一旦8有限元法復習提綱-t/2I 0H/2一第18頁共17頁12i14j32m41

28、kiikijkimkjikjjkjmkmikmjkmmE1k11k13k14k31k33k34k41k43k44E2k44k42k41k24k22k21k14k12k11(2)根據(jù)以上表格集成整體剛度矩陣(3)等效節(jié)點荷載計算-4-2-8-1-2-4-2-2-2-2P0=小嚇P0td(4)位移邊界條件u3=v3=u4=v4=0-8-2-1-2-1-4-2-8-2-4-1-8-Ni0101010Ni00Nj0100t0btds=-tds=-0Nj1-1J0121Nm0000Nm一i11I1110修正剛度矩陣：將K中的58行和列置零-K*d=P*l,即一60-421090-8-406-2-8-29_U1產(chǎn)=|U