廣東省茂名市高考數(shù)學一模試卷理科

1、2019年廣東省茂名市高考數(shù)學一模試卷（理科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1（5分）若集合A=x|x22x30，B=1，0，1，2，則AB=（）A1，0，1，2Bx|1x3C0，1，2D1，0，12（5分）已知復數(shù)z滿足（zi）i=2+i，i是虛數(shù)單位，則|z|=（）ABCD33（5分）已知變量x，y滿足約束條件，則z=3x+y的最大值為（）A12B11C3D14（5分）設(shè)XN（1，1），其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么向正方形ABCD中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值是（）（注：若XN（，2）

2、，則P（X+）=68.26%，P（2X+2）=95.44%）A.7539B6038C7028D65875（5分）數(shù)學文化算法統(tǒng)宗是明朝程大位所著數(shù)學名著，其中有這樣一段表述：“遠看巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一”，其意大致為：有一棟七層寶塔，每層懸掛的紅燈數(shù)為上一層的兩倍，共有381盞燈，則該塔中間一層有（）盞燈A24B48C12D606（5分）甲、乙、丙三人參加某公司的面試，最終只有一人能夠被該公司錄用，得到面試結(jié)果以后，甲說：丙被錄用了；乙說：甲被錄用了；丙說：我沒被錄用若這三人中僅有一人說法錯誤，則下列結(jié)論正確的是（）A丙被錄用了B乙被錄用了C甲被錄用了D無法確定誰被錄用了7

3、（5分）函數(shù)的部分圖象大致為（）ABCD8（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，那么輸出的S值是（） AB1C2019D29（5分）設(shè)P是雙曲線上的點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其焦點，且PF1PF2，若PF1F2的面積是1，且a+b=3，則雙曲線的離心率為（）A.2BCD10（5分）已知ABC的三個內(nèi)角A，B、C的對邊分別為a、b、c，若2sin（）=1，且a=2，則ABC的面積的最大值為（）ABCD211（5分）三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐外接球的體積為（）ABCD12（5分）定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足條件f（1+x）=f（1x），當x0，1時，f（x）=x，若函數(shù)g（x）=|f（x）|ae|x|在

4、區(qū)間2019，2019上有4032個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A（0，1）B（e，e3）C（e，e2）D（1，e3）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，13（5分）已知，若，則= 14（5分）在（1x）2（1）4的展開式中，x2的系數(shù)是 15（5分）已知函數(shù)f（x）=4sinxsin2（+）2sin2x（0）在區(qū)間上是增函數(shù)，且在區(qū)間0，x上恰好取得一次最大值，則的取值范圍是 _16（5分）從拋物線x2=4y的準線l上一點P引拋物線的兩條切線PA、PB，且A、B為切點，若直線AB的傾斜角為，則P點的橫坐標為 三、解答題：本大題共5小題，共70分.其中17至21題為必做題，22、

5、23題為選做題.解答過程應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17（12分）設(shè)正項等比數(shù)列an，a4=81，且a2，a3的等差中項為（I）求數(shù)列an的通項公式；（II）若bn=log3a2n1，數(shù)列bn的前n項和為Sn，數(shù)列，Tn為數(shù)列cn的前n項和，若Tnn恒成立，求的取值范圍18（12分）如圖，在四棱錐PABCD中，PC底面ABCD，ADBC，AD=2BC=2，PC=2，ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E是PD的中點（I）求證：平面EAC平面PCD；（II）求直線PA與平面EAC所成角的正弦值19（12分）交強險是車主必須為機動車購買的險種，若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用（

6、基準保費）統(tǒng)一為a元，在下一年續(xù)保時，實行的是費率浮動機制，保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費率就越高，具體浮動情況如表：交強險浮動因素和浮動費率比率表浮動因素浮動比率A1上一個年度未發(fā)生有責任道路交通事故下浮10%A2上兩個年度未發(fā)生有責任道路交通事故下浮20%A3上三個及以上年度未發(fā)生有責任道路交通事故下浮30%A4上一個年度發(fā)生一次有責任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責任道路交通事故上浮10%A6上一個年度發(fā)生有責任道路交通死亡事故上浮30%某機構(gòu)為了解某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機抽取了100輛車齡已滿

7、三年的該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計如下表：類型A1A2A3A4A5A6數(shù)量201010302010以這100輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問題：（I）按照我國機動車交通事故責任強制保險條例汽車交強險價格的規(guī)定，a=950（元），記X為某同學家的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時的費用，求X的分布列與數(shù)學期望；（II）某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車，假設(shè)購進一輛事故車虧損5000元，一輛非事故車盈利10000元：若該銷售商購進三輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求這三輛車中至多有一輛事故車的概率；若該

8、銷售商一次購進100輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求該銷售商獲得利潤的期望值20（12分）已知橢圓C1：（ab0）的一個焦點為F1，且經(jīng)過點P（I）求橢圓C1的標準方程；（II）已知橢圓C2的中心在原點，焦點在y軸上，且長軸和短軸的長分別是橢圓C1的長軸和短軸的長的倍（1），過點C（1，0）的直線l與橢圓C2交于A，B兩個不同的點，若，求OAB 面積取得最大值時直線l的方程21（12分）已知函數(shù)（aR）（I）討論g（x）的單調(diào)性；（II）當時，函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點，記作x1，x2，且x1x2，若m1，證明：請考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，

9、作答時，請用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑選修4-4：坐標系與參數(shù)方程選講22（10分）在直角坐標系xOy中，直線l傾斜角為，其參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在以原點O為極點，x軸非負半軸為極軸的極坐標系中（取相同的長度單位），曲線C的極坐標方程為4cos=0（I）若直線l與曲線C有公共點，求直線l傾斜角的取值范圍；（II）設(shè)M（x，y）為曲線C上任意一點，求x+y的取值范圍選修4-5：不等式選講23已知函數(shù)f（x）=|x3|x+5|（）求不等式f（x）2的解集；（）設(shè)函數(shù)f（x）的最大值為M，若不等式x2+2x+mM有解，求m的取值范圍2019年廣東省茂名市高考數(shù)學一模試卷（理科）參考

10、答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1（5分）若集合A=x|x22x30，B=1，0，1，2，則AB=（）A1，0，1，2Bx|1x3C0，1，2D1，0，1【解答】解：集合A=x|x22x30=x|1x3，B=1，0，1，2，則AB=0，1，2故選：C2（5分）已知復數(shù)z滿足（zi）i=2+i，i是虛數(shù)單位，則|z|=（）ABCD3【解答】解：由（zi）i=2+i，得zi=，z=1i，則|z|=故選：A3（5分）已知變量x，y滿足約束條件，則z=3x+y的最大值為（）A12B11C3D1【解答】解：作出不等式組

11、對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由z=3x+y得y=3x+z，平移直線y=3x+z，由圖象可知當直線y=3x+z，經(jīng)過點A時，直線的截距最大，此時z最大由，解得，即A（1，2），此時zmax=33+2=11，故選：B4（5分）設(shè)XN（1，1），其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么向正方形ABCD中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值是（）（注：若XN（，2），則P（X+）=68.26%，P（2X+2）=95.44%）A.7539B6038C7028D6587【解答】解：XN（1，1），=1，=1+=2P（X+）=68.26%，則P（0X2）=68.26%，則P（1X2）=34.13%，陰影

12、部分的面積為：0.6587正方形ABCD中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值是6587故選：D5（5分）數(shù)學文化算法統(tǒng)宗是明朝程大位所著數(shù)學名著，其中有這樣一段表述：“遠看巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一”，其意大致為：有一棟七層寶塔，每層懸掛的紅燈數(shù)為上一層的兩倍，共有381盞燈，則該塔中間一層有（）盞燈A24B48C12D60【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)最底一層有a盞燈，則由題意知從下而上，第一層至第七層的燈的盞數(shù)構(gòu)成一個以a為首項，以為公比的等比數(shù)列，又由S7=381，解可得a=192，則a4=a（）3=24，即該塔中間一層有24盞燈；故選：A6（5分）甲、乙

13、、丙三人參加某公司的面試，最終只有一人能夠被該公司錄用，得到面試結(jié)果以后，甲說：丙被錄用了；乙說：甲被錄用了；丙說：我沒被錄用若這三人中僅有一人說法錯誤，則下列結(jié)論正確的是（）A丙被錄用了B乙被錄用了C甲被錄用了D無法確定誰被錄用了【解答】解：假設(shè)甲說的是真話，即丙被錄用，則乙說的是假話，丙說的是假話，不成立；假設(shè)甲說的是假話，即丙沒有被錄用，則丙說的是真話，若乙說的是真話，即甲被錄用，成立，故甲被錄用；若乙被錄用，則甲和乙的說法都錯誤，不成立故選：C7（5分）函數(shù)的部分圖象大致為（）ABCD【解答】解：f（x）=f（x），可得f（x）為奇函數(shù)，排除B，1，排除A當x0時，在區(qū)間（1，+）上f

14、（x）單調(diào)遞增，排除D，故選C8（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，那么輸出的S值是（） AB1C2019D2【解答】解：依題意，執(zhí)行如圖所示的程序框圖可知：初始S=2，當k=0時，S0=1，k=1時，S1=，同理S2=2，S3=1，S4=，可見Sn的值周期為3當k=2017時，S2017=S1=，k=2019，退出循環(huán)輸出S=故選：A9（5分）設(shè)P是雙曲線上的點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其焦點，且PF1PF2，若PF1F2的面積是1，且a+b=3，則雙曲線的離心率為（）A.2BCD【解答】解：方法一：設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，由題意得由PF1PF2，PF1F2的面積是1，則mn=1，得mn=2，Rt

15、PF1F2中，根據(jù)勾股定理得m2+n2=4c2（mn）2=m2+n22mn=4c24，結(jié)合雙曲線定義，得（mn）2=4a2，4c24=4a2，化簡整理得c2a2=1，即b2=1，則b=1，由a+b=3，得a=2，所以c=，該雙曲線的離心率為e=，故選C方法二：由雙曲線的焦點三角形的面積公式S=，F(xiàn)1PF2=，由PF1PF2，則F1PF2=90，則PF1F2的面積S=b2=1，由a+b=3，得a=2，所以c=，該雙曲線的離心率為e=，故選C10（5分）已知ABC的三個內(nèi)角A，B、C的對邊分別為a、b、c，若2sin（）=1，且a=2，則ABC的面積的最大值為（）ABCD2【解答】解：2sin（）

16、=1，A（0，），=，又a=2，由余弦定理得：4=b2+c22bc，即4=b2+c2+bc根據(jù)基本不等式得：4=b2+c2+bc2bc+bc=3bc即bc當且僅當b=c時，等號成立ABC面積S=bcsinA=（當且僅當b=c時，等號成立）ABC的面積的最大值故選：B11（5分）三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐外接球的體積為（）ABCD【解答】解析：三棱錐的直觀圖如圖，以PBC所在平面為球的截面，則截面圓O1的半徑為，以ABC所在平面為球的截面，則截面圓O2的半徑為球心H到ABC所在平面的距離為，則球的半徑R為，所以球的體積為=4故選：A12（5分）定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足條件f（1+x

17、）=f（1x），當x0，1時，f（x）=x，若函數(shù)g（x）=|f（x）|ae|x|在區(qū)間2019，2019上有4032個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A（0，1）B（e，e3）C（e，e2）D（1，e3）【解答】解：f（x）滿足條件f（1+x）=f（1x）且為奇函數(shù)，函數(shù)f（x）=f（2x）=f（x）f（x）=f（2+x）f（x+4）=f（x）f（x）周期為4，當x0，1時，f（x）=x，根據(jù)m（x）=|f（x）|與n（x）=ae|x|圖象，函數(shù)g（x）=|f（x）|ae|x|在區(qū)間2019，2019上有4032個零點，即m（x）=|f（x）|與n（x）=ae|x|在0，4有且僅有兩個交點，即

18、eae3故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，13（5分）已知，若，則=【解答】解：，=1+2=0，解得=故答案為：14（5分）在（1x）2（1）4的展開式中，x2的系數(shù)是10【解答】解：（1x）2（1）4=（12x+x2）（14+x2）x2的系數(shù)=12+1=10故答案為：1015（5分）已知函數(shù)f（x）=4sinxsin2（+）2sin2x（0）在區(qū)間上是增函數(shù)，且在區(qū)間0，x上恰好取得一次最大值，則的取值范圍是_【解答】解：f（x）=4sinxsin2（+）2sin2x=4sinx2sin2x=2sinx（1+sinx）2sin2x=2sinx，即：f（x）=2sinx，

19、是函數(shù)含原點的遞增區(qū)間又函數(shù)在上遞增，得不等式組，得，又0，又函數(shù)在區(qū)間0，上恰好取得一次最大值，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知x=2k+，kZ，即函數(shù)在x=+處取得最大值，可得0，綜上，可得故答案是：16（5分）從拋物線x2=4y的準線l上一點P引拋物線的兩條切線PA、PB，且A、B為切點，若直線AB的傾斜角為，則P點的橫坐標為【解答】解：如圖，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，1），則，又，則由x2=4y，得，切線PA的方程為yy1=（xx1），切線PB的方程為yy2=（xx2），即切線PA的方程為y=（xx1），即；切線PB的方程為y=（xx2），即點P（x0，1）在切線PA、PB

20、上，可知x1，x2是方程x22x0x4=0的兩個根，x1+x2=2x0，得故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分.其中17至21題為必做題，22、23題為選做題.解答過程應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17（12分）設(shè)正項等比數(shù)列an，a4=81，且a2，a3的等差中項為（I）求數(shù)列an的通項公式；（II）若bn=log3a2n1，數(shù)列bn的前n項和為Sn，數(shù)列，Tn為數(shù)列cn的前n項和，若Tnn恒成立，求的取值范圍【解答】解：（I）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q（q0），由題意，得（2分）解得（3分）所以 （4分）（II） 由（I）得，（5分） （6分），（8分），（10分）若恒成立，

21、則 恒成立，則，所以（12分）18（12分）如圖，在四棱錐PABCD中，PC底面ABCD，ADBC，AD=2BC=2，PC=2，ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E是PD的中點（I）求證：平面EAC平面PCD；（II）求直線PA與平面EAC所成角的正弦值【解答】證明：（I）PC底面ABCD，AC底面ABCD，PCAC，由題意可知，ADBC，且AD=2BC=2ABC是等腰直角三角形，AC=，CD=，（2分）CD2+AC2=AD2，即ACCD，（3分）又PCCD=C，（4分）AC平面PCD，（5分）AC平面EAC，平面EAC平面PCD （6分）解：（II）解法1：由（1）得平面EAC平面PCD

22、，平面EAC平面PCD=EC，作PHEC，則PH平面EAC，（8分）PA與平面EAC所成角為PAH，（9分）在RtPAC中，PA=，在RtPHC中，sinPCE=，PH=PCsin，（10分）sin=，直線PA與平面EAC所成角的正弦值為（12分）解法2：PC底面ABCD，則建立如圖所示的直角坐標系，（7分）則P（0，0，2），（8分）設(shè)平面EAC的法向量為=（x，y，z），則，即，（9分）令z=1，解得（10分）記直線PA與平面EAC所成角為，則sin=，所以直線PA與平面EAC所成角的正弦值為（12分）19（12分）交強險是車主必須為機動車購買的險種，若普通6座以下私家車投保交強險第一年的

23、費用（基準保費）統(tǒng)一為a元，在下一年續(xù)保時，實行的是費率浮動機制，保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費率就越高，具體浮動情況如表：交強險浮動因素和浮動費率比率表浮動因素浮動比率A1上一個年度未發(fā)生有責任道路交通事故下浮10%A2上兩個年度未發(fā)生有責任道路交通事故下浮20%A3上三個及以上年度未發(fā)生有責任道路交通事故下浮30%A4上一個年度發(fā)生一次有責任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責任道路交通事故上浮10%A6上一個年度發(fā)生有責任道路交通死亡事故上浮30%某機構(gòu)為了解某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機抽取了100輛車

24、齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計如下表：類型A1A2A3A4A5A6數(shù)量201010302010以這100輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問題：（I）按照我國機動車交通事故責任強制保險條例汽車交強險價格的規(guī)定，a=950（元），記X為某同學家的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時的費用，求X的分布列與數(shù)學期望；（II）某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車，假設(shè)購進一輛事故車虧損5000元，一輛非事故車盈利10000元：若該銷售商購進三輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求這三輛車中至多有一輛事故車的概率

25、；若該銷售商一次購進100輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求該銷售商獲得利潤的期望值【解答】解：（I）由題意可知：X的可能取值為0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a，（1分）由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知：，（4分）X的分布列為：X0.9a0.8a0.7aa1.1a1.3aP（5分）（6分）（II）由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事故車的概率為，（7分）三輛車中至多有一輛事故車的概率為（9分）設(shè)Y為該銷售商購進并銷售一輛二手車的利潤，Y的可能取值為5000，10000，P（Y=500）=，P（Y=10000）=，Y的分布列為：Y500010000P（10分）（11分）所以該銷

26、售商一次購進100輛該品牌車齡已滿三年的二手車獲得利潤的期望值為100EY=550000元=55萬元（12分）20（12分）已知橢圓C1：（ab0）的一個焦點為F1，且經(jīng)過點P（I）求橢圓C1的標準方程；（II）已知橢圓C2的中心在原點，焦點在y軸上，且長軸和短軸的長分別是橢圓C1的長軸和短軸的長的倍（1），過點C（1，0）的直線l與橢圓C2交于A，B兩個不同的點，若，求OAB 面積取得最大值時直線l的方程【解答】解：（1）設(shè)橢圓C1的另一個焦點為F2，由題意可得，PF1F2為直角三角形，則，由橢圓的定義得，即a=3，又由b2+c2=a2，得b=2，橢圓C1的標準方程；（2）設(shè)橢圓C2的方程為

27、，A（x1，y1），B（x2，y2）1，點C（1，0）在橢圓內(nèi)部，直線l與橢圓必有兩個不同的交點當直線l垂直于x軸時，（不是零向量），不合條件；故設(shè)直線 l方程為y=k（x+1）（A，B，O三點不共線，故k0），由，得，而點C（1，0），（1x1，y1）=2（x2+1，y2），即y1=2y2，則y1+y2=y2，OAB的面積為SOAB=SAOC+SBOC=上式取等號的條件是，即k=時，OAB的面積取得最大值直線l的方程為或21（12分）已知函數(shù)（aR）（I）討論g（x）的單調(diào)性；（II）當時，函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點，記作x1，x2，且x1x2，若m1，證明：【解答】解：（I）（aR

28、），方程2x2+xa=0的判別式=1+8a，當時，0，g（x）0，g（x）在（0，+）為增函數(shù)，當時，0，方程2x2+xa=0的兩根為，當時，x1x20，g（x）在（0，+）為增函數(shù)，當a0時，x10x2，g（x）在（x2，+）為增函數(shù)，在（0，x2為減函數(shù)，綜上所述：當a0時，g（x）的增區(qū)間為（0，+），無減區(qū)間，當a0時，g（x）的增區(qū)間為（x2，+），減區(qū)間（0，x2，（II）證明：f（x）=xlnxx2x+a，所以 f（x）=lnxax因為f（x）有兩極值點x1，x2，所以lnx1=ax1，lnx2=ax2，欲證等價于要證：，即 1+mlnx1+mlnx2，所以1+mlnx1+mlnx2=ax1+max2=a（x1+mx2），因為m1，0x1x2，所以原式等價