歸納柯西不等式的典型應(yīng)用

1、歸納柯西不等式的典型應(yīng)用【摘要】：柯西不等式是一個(gè)非常重要的不等式，本文用五種不同的方法證明了柯西不等式，介紹了如何利用柯西不等式技巧性解題，在證明不等式或等式，解方程，解三角形相關(guān)問(wèn)題，求函數(shù)最值等問(wèn)題的應(yīng)用方面給出幾個(gè)典型例子。最后用其證明了點(diǎn)到直線的距離公式，更好的解釋了柯西不等式?！娟P(guān)鍵詞】：柯西不等式 ；證明；應(yīng)用【引言】：本人通過(guò)老師在中教法課上學(xué)習(xí)柯西不等式時(shí)，老師給出了一些有關(guān)的例題并講解，由于柯西不等式是一個(gè)非常重要的不等式，如果巧妙利用它，在高考可以節(jié)省很多寶貴時(shí)間，而且得分率高。因此，本文介紹歸納了柯西不等式的典型應(yīng)用，經(jīng)過(guò)收集及整理資料，得到四類(lèi)的典型題?！菊摹浚?.

2、柯西不等式的一般形式為：對(duì)任意的實(shí)數(shù) 其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立,其中變式：2. 柯西不等式的證明：證明柯西不等式的方法總共有6 種，下面我們將給出常用的2種證明柯西不等式的方法：1）配方法：作差：因?yàn)?所以，即即當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立。2）用數(shù)學(xué)歸納法證明 i）當(dāng)時(shí)，有，不等式成立。當(dāng)時(shí)，。因?yàn)?，故有?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立。ii）假設(shè)時(shí)不等式成立。即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。那么當(dāng)時(shí)， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立。于是時(shí)不等式成立。由i）ii）可得對(duì)于任意的自然數(shù)，柯西不等式成立。3. 柯西不等式在解題中的應(yīng)用3.1證明恒等式利用柯西不等式來(lái)證明恒等式，主要是利用其取等號(hào)的充分必要條件來(lái)達(dá)到目的，

3、或者是利用柯西不等式進(jìn)行夾逼的方法得證。例3.1.1 已知求證：。證明：由柯西不等式，得由已知?jiǎng)t可知上式取等號(hào)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)于是 。3.2證明不等式很多重要的不等式都可以由柯西不等式導(dǎo)出，而利用柯西不等式的技巧有很多。如常數(shù)的巧拆、結(jié)構(gòu)的巧變、巧設(shè)數(shù)組等，下面略舉一、二說(shuō)明怎樣利用柯西不等式證明不等式。例3.2.1已知為互不相等的正整數(shù)，求證：對(duì)于任意的正整數(shù)，有不等式。證明：由柯西不等式： 于是。又因?yàn)闉榛ゲ幌嗟鹊恼麛?shù)，故其中最小的數(shù)不小于，次小的數(shù)不小于，最大的不小于，這樣就有。所以有。因?yàn)槎杂?。例：設(shè)a,b,c為正數(shù)且不相等到，求證：證明：我們利用9與2這兩個(gè)常數(shù)進(jìn)行巧拆，9=，這樣

4、就給我們利用柯西不等式提供了條件。明：2因?yàn)閍,b,c各不相等， 等號(hào)不可能成立，從而原不等式成立。因此，有些問(wèn)題本身不具備運(yùn)用柯西不等式的條件，但是我們只要改變一下多項(xiàng)式的形態(tài)結(jié)構(gòu)，認(rèn)清其內(nèi)在的結(jié)構(gòu)特征，就可以達(dá)到利用柯西不等式解題的目的。下面略舉一例加以說(shuō)明。3.3證明條件不等式柯西不等式中有三個(gè)因式 ， ，而一般題目中只有一個(gè)或兩個(gè)因式，為了運(yùn)用柯西不等式，我們需要設(shè)法嵌入一個(gè)因式（嵌入的因式之和往往是定值），這也是利用柯西不等式的技巧之一。又柯西不等式中諸量 ， 具有廣泛的選擇余地，任意兩個(gè)元素 ， （或 ， ） 的交換，可以得到不同的不等式，因此在證題時(shí)根據(jù)需要重新安排各量的位置，這

5、種形式上的變更往往會(huì)給解題帶來(lái)意想不到的方便。這種變換也是運(yùn)用柯西不等式的一種技巧，下面我們簡(jiǎn)單舉例說(shuō)明怎樣利用上述技巧運(yùn)用柯西不等式來(lái)證明條件不等式。例3.3.1 設(shè),且，求證：解：由 則 由且應(yīng)用柯西不等式 即 故 例3.3.2 已知，,求證： 分析：如果對(duì)不等式左端用柯西不等式，就得不到所要證明的結(jié)論。若把第二個(gè)小括號(hào)內(nèi)的前后項(xiàng)對(duì)調(diào)一下，情況就不同了。 證明： 。3.4解方程組用柯西不等式解無(wú)理方程，是先把方程的（含有無(wú)理式的）運(yùn)用柯西不等式化為不等式，然后結(jié)合原方程把不等式又化成等式，在判定為等式后再利用柯西不等式取等號(hào)的特性，得到與原方程同解的且比原方程簡(jiǎn)單的無(wú)理方程，進(jìn)而得到簡(jiǎn)單的

6、整式方程，從而求得原方程的解。例3.4.1解方程組解：原方程組可化為運(yùn)用柯西不等式得, 即，兩式相乘，得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。故原方程組的解為。例3.4.2解方程組：設(shè)3，解方程解：即 36 362令,則 72 即 等號(hào)成立 則有 故 3.5求函數(shù)的極值柯西不等式也可以廣泛應(yīng)用于求函數(shù)的極值或最值。事實(shí)上，由可得，如將上式左邊當(dāng)作一個(gè)函數(shù)，而右邊值確定時(shí)，則可知的最大值與最小值分別是與，且取最大值與最小值的充要條件是。反過(guò)來(lái)，如果把柯西不等式右邊的一個(gè)因式或兩個(gè)的積當(dāng)作函數(shù)，而其他的因式已知時(shí)，則可求出此函數(shù)的最小值。下面略舉例加以說(shuō)明怎樣利用柯西不等式來(lái)求解一些極值問(wèn)題。例3.5.1：求函數(shù)的極

7、值，其中是常數(shù)。解：由柯西不等式： 故有。 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)有極小值，極大值。例3.5.2 已知為常數(shù)，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值與最小值。 解：由柯西不等式： 故。 當(dāng)且僅當(dāng)，即（為常數(shù)）時(shí)等號(hào)成立。 將代入得 則，即當(dāng)時(shí)， 分別為所求的最大與最小值。3.6利用柯西不等式解三角問(wèn)題與幾何問(wèn)題三角問(wèn)題包括三角不等式，三角方程。三角極值等到，對(duì)于一些三角問(wèn)題，我們?yōu)榱私o運(yùn)用柯西不等式創(chuàng)造條件，經(jīng)常引進(jìn)一些待定的參數(shù)，其值的確定由題設(shè)或者由等號(hào)成立的充要條件共同確定，也有一些三角極值問(wèn)題我們可以反復(fù)運(yùn)用柯西不等式進(jìn)行解決。例3.6.1 在中 ，求證： 證明：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 令，于是引進(jìn)參求的

8、最值。 由柯西不等式， =又由平均值不等式得 （1）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。例3.6.2在三角形中，證明。證明：由柯西不等式：即 （1）因?yàn)?故 （2）又因?yàn)橐蚨?（3）將（3）代入（2）得 （4） 將（4）代入（1）得即。4.推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式已知點(diǎn)及直線，設(shè)是上任意一點(diǎn)，點(diǎn)到的距離的最小值|就是點(diǎn)到的距離，證明：|。證明：因?yàn)槭巧系狞c(diǎn)，所以有。 （1） 而| （2） 由柯西不等式： （3） 由（1）得： （4） 將（4）代入（3），則有即移項(xiàng)則有：| （5）當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)（5）式取等號(hào)，即點(diǎn)到直線的距離公式：|?！窘Y(jié)論】： 在許多問(wèn)題中，如果我們能夠利用柯西不等式去解決，往往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新。當(dāng)遇到類(lèi)似的題目，應(yīng)用柯