歸納柯西不等式的典型應用

1、歸納柯西不等式的典型應用【摘要】：柯西不等式是一個非常重要的不等式，本文用五種不同的方法證明了柯西不等式，介紹了如何利用柯西不等式技巧性解題，在證明不等式或等式，解方程，解三角形相關問題，求函數(shù)最值等問題的應用方面給出幾個典型例子。最后用其證明了點到直線的距離公式，更好的解釋了柯西不等式。【關鍵詞】：柯西不等式 ；證明；應用【引言】：本人通過老師在中教法課上學習柯西不等式時，老師給出了一些有關的例題并講解，由于柯西不等式是一個非常重要的不等式，如果巧妙利用它，在高考可以節(jié)省很多寶貴時間，而且得分率高。因此，本文介紹歸納了柯西不等式的典型應用，經(jīng)過收集及整理資料，得到四類的典型題?！菊摹浚?.

2、柯西不等式的一般形式為：對任意的實數(shù) 其中等號當且僅當時成立,其中變式：2. 柯西不等式的證明：證明柯西不等式的方法總共有6 種，下面我們將給出常用的2種證明柯西不等式的方法：1）配方法：作差：因為 所以，即即當且僅當即時等號成立。2）用數(shù)學歸納法證明 i）當時，有，不等式成立。當時，。因為，故有當且僅當，即時等號成立。ii）假設時不等式成立。即當且僅當時等號成立。那么當時， 當且僅當時等號成立，即時等號成立。于是時不等式成立。由i）ii）可得對于任意的自然數(shù)，柯西不等式成立。3. 柯西不等式在解題中的應用3.1證明恒等式利用柯西不等式來證明恒等式，主要是利用其取等號的充分必要條件來達到目的，

3、或者是利用柯西不等式進行夾逼的方法得證。例3.1.1 已知求證：。證明：由柯西不等式，得由已知則可知上式取等號，當且僅當時于是 。3.2證明不等式很多重要的不等式都可以由柯西不等式導出，而利用柯西不等式的技巧有很多。如常數(shù)的巧拆、結構的巧變、巧設數(shù)組等，下面略舉一、二說明怎樣利用柯西不等式證明不等式。例3.2.1已知為互不相等的正整數(shù)，求證：對于任意的正整數(shù)，有不等式。證明：由柯西不等式： 于是。又因為為互不相等的正整數(shù)，故其中最小的數(shù)不小于，次小的數(shù)不小于，最大的不小于，這樣就有。所以有。因為而所以有。例：設a,b,c為正數(shù)且不相等到，求證：證明：我們利用9與2這兩個常數(shù)進行巧拆，9=，這樣

4、就給我們利用柯西不等式提供了條件。明：2因為a,b,c各不相等， 等號不可能成立，從而原不等式成立。因此，有些問題本身不具備運用柯西不等式的條件，但是我們只要改變一下多項式的形態(tài)結構，認清其內(nèi)在的結構特征，就可以達到利用柯西不等式解題的目的。下面略舉一例加以說明。3.3證明條件不等式柯西不等式中有三個因式 ， ，而一般題目中只有一個或兩個因式，為了運用柯西不等式，我們需要設法嵌入一個因式（嵌入的因式之和往往是定值），這也是利用柯西不等式的技巧之一。又柯西不等式中諸量 ， 具有廣泛的選擇余地，任意兩個元素 ， （或 ， ） 的交換，可以得到不同的不等式，因此在證題時根據(jù)需要重新安排各量的位置，這

5、種形式上的變更往往會給解題帶來意想不到的方便。這種變換也是運用柯西不等式的一種技巧，下面我們簡單舉例說明怎樣利用上述技巧運用柯西不等式來證明條件不等式。例3.3.1 設,且，求證：解：由 則 由且應用柯西不等式 即 故 例3.3.2 已知，,求證： 分析：如果對不等式左端用柯西不等式，就得不到所要證明的結論。若把第二個小括號內(nèi)的前后項對調一下，情況就不同了。 證明： 。3.4解方程組用柯西不等式解無理方程，是先把方程的（含有無理式的）運用柯西不等式化為不等式，然后結合原方程把不等式又化成等式，在判定為等式后再利用柯西不等式取等號的特性，得到與原方程同解的且比原方程簡單的無理方程，進而得到簡單的

6、整式方程，從而求得原方程的解。例3.4.1解方程組解：原方程組可化為運用柯西不等式得, 即，兩式相乘，得當且僅當時取等號。故原方程組的解為。例3.4.2解方程組：設3，解方程解：即 36 362令,則 72 即 等號成立 則有 故 3.5求函數(shù)的極值柯西不等式也可以廣泛應用于求函數(shù)的極值或最值。事實上，由可得，如將上式左邊當作一個函數(shù)，而右邊值確定時，則可知的最大值與最小值分別是與，且取最大值與最小值的充要條件是。反過來，如果把柯西不等式右邊的一個因式或兩個的積當作函數(shù)，而其他的因式已知時，則可求出此函數(shù)的最小值。下面略舉例加以說明怎樣利用柯西不等式來求解一些極值問題。例3.5.1：求函數(shù)的極

7、值，其中是常數(shù)。解：由柯西不等式： 故有。 當且僅當時，即時，函數(shù)有極小值，極大值。例3.5.2 已知為常數(shù)，當時，求函數(shù)的最大值與最小值。 解：由柯西不等式： 故。 當且僅當，即（為常數(shù)）時等號成立。 將代入得 則，即當時， 分別為所求的最大與最小值。3.6利用柯西不等式解三角問題與幾何問題三角問題包括三角不等式，三角方程。三角極值等到，對于一些三角問題，我們?yōu)榱私o運用柯西不等式創(chuàng)造條件，經(jīng)常引進一些待定的參數(shù)，其值的確定由題設或者由等號成立的充要條件共同確定，也有一些三角極值問題我們可以反復運用柯西不等式進行解決。例3.6.1 在中 ，求證： 證明：當且僅當時等號成立。 令，于是引進參求的

8、最值。 由柯西不等式， =又由平均值不等式得 （1）當且僅當時等號成立。例3.6.2在三角形中，證明。證明：由柯西不等式：即 （1）因為 故 （2）又因為因而 （3）將（3）代入（2）得 （4） 將（4）代入（1）得即。4.推導點到直線的距離公式已知點及直線，設是上任意一點，點到的距離的最小值|就是點到的距離，證明：|。證明：因為是上的點，所以有。 （1） 而| （2） 由柯西不等式： （3） 由（1）得： （4） 將（4）代入（3），則有即移項則有：| （5）當且僅當即時（5）式取等號，即點到直線的距離公式：|。【結論】： 在許多問題中，如果我們能夠利用柯西不等式去解決，往往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新。當遇到類似的題目，應用柯