平面向量解題技巧

1、平面向量的解題技巧由2007年高考題分析可知：1這部分內(nèi)容高考中所占分?jǐn)?shù)一般在10分左右2題目類型為一個(gè)選擇或填空題，一個(gè)與其他知識(shí)綜合的解答題3考查內(nèi)容以向量的概念、運(yùn)算、數(shù)量積和模的運(yùn)算為主考點(diǎn)透視“平面向量”是高中新課程新增加的內(nèi)容之一，高考每年都考，題型主要有選擇題、填空題，也可以與其他知識(shí)相結(jié)合在解答題中出現(xiàn)，試題多以低、中檔題為主透析高考試題，知命題熱點(diǎn)為：1向量的概念，幾何表示，向量的加法、減法，實(shí)數(shù)與向量的積2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量的數(shù)量積及其幾何意義3兩非零向量平行、垂直的充要條件4由于向量具有“數(shù)”與“形”雙重身份，加之向量的工具性作用，向量經(jīng)常與數(shù)列、三角、解析幾何

2、、立體幾何等知識(shí)相結(jié)合，綜合解決三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值及三角形中的有關(guān)問(wèn)題，處理有關(guān)長(zhǎng)度、夾角、垂直與平行等問(wèn)題以及圓錐曲線中的典型問(wèn)題等5利用化歸思想處理共線、平行、垂直問(wèn)題向向量的坐標(biāo)運(yùn)算方面轉(zhuǎn)化，向量模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算等；利用數(shù)形結(jié)合思想將幾何問(wèn)題代數(shù)化，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算解決幾何問(wèn)題例題解析： 一. 向量的概念，向量的基本運(yùn)算(1)理解向量的概念，掌握向量的幾何意義，了解共線向量的概念.(2)掌握向量的加法和減法.(3)掌握實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個(gè)向量共線的充要條件.(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.(5)掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義,了

3、解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題,掌握向量垂直的條件.(6)掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式.1（2007年北京卷理）已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，為邊中點(diǎn)， 且，那么（） 命題意圖:本題考查能夠結(jié)合圖形進(jìn)行向量計(jì)算的能力解： . 故選A2（2006年安徽卷）在平行四邊形中，M為BC的中點(diǎn)，則_.（用表示）命題意圖: 本題主要考查向量的加法和減法,以及實(shí)數(shù)與向量的積.解：由得，所以。3（2006年廣東卷）如圖所示，D是ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量( ) （A） （B） （C） （D）命題意圖: 本題主要考查向量的加法和減法運(yùn)算能力.解：，故選A.4.設(shè)平面向量、的和.如果向量、，滿足，

4、且順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與同向，其中，則（ ）（A）（B）（C） （D）命題意圖: 本題主要考查向量加法的幾何意義及向量的模的夾角等基本概念.常規(guī)解法：，故把2 (i=1,2,3)，分別按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30后與重合，故，應(yīng)選D.巧妙解法：令，則，由題意知，從而排除B，C，同理排除A，故選D.點(diǎn)評(píng)：巧妙解法巧在取，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化.本題也可通過(guò)畫(huà)圖,利用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)解決.二.向量的坐標(biāo)運(yùn)算5( 2006年重慶卷)與向量、的夾角相等，且模為1的向量是 ( ) (A) (B)或 （C） （D）或命題意圖: 本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和用平面向量處理有關(guān)角度的問(wèn)題.解：設(shè)與向量、的夾角相等，且模為1的向量為，則

5、解得故或，選B. 6（2006年天津卷）設(shè)向量與的夾角為，且， 則_命題意圖: 本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和平面向量的數(shù)量積,以及用平面向量的數(shù)量積處理有關(guān)角度的問(wèn)題.解:設(shè)，由得時(shí)，故填.7.（2006年湖北卷）已知向量，是不平行于軸的單位向量，且，則=（）（A） （B） （C） （D）命題意圖: 本題主要考查應(yīng)用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和平面向量的數(shù)量積,以及方程的思想解題的能力.解:設(shè)，則依題意有，故選B.三. 平面向量與三角函數(shù)的結(jié)合(1) 平面向量與三角函數(shù)、三角變換、數(shù)列、不等式及其他代數(shù)問(wèn)題，由于結(jié)合性強(qiáng)，因而綜合能力較強(qiáng)，所以復(fù)習(xí)時(shí)，通過(guò)解題過(guò)程，力爭(zhēng)達(dá)到既回顧知識(shí)要點(diǎn)，又感悟思

6、維方法的雙重效果，解題要點(diǎn)是運(yùn)用向量知識(shí)，將所給問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題求解.(2)解答題考查圓錐曲線中典型問(wèn)題，如垂直、平行、共線等，此類題綜合性比較強(qiáng)，難度大.8（2007年陜西卷理17.）設(shè)函數(shù),其中向量=(m,cos2x), =(1+sin2x,1),xR,且函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，（）求實(shí)數(shù)m的值；（）求函數(shù)f(x)的最小值及此時(shí)x的值的集合.解：（），由已知，得（）由（）得，當(dāng)時(shí)，的最小值為，由，得值的集合為9（2007年湖北卷理16）已知的面積為，且滿足，設(shè)和的夾角為（I）求的取值范圍；（II）求函數(shù)的最大值。解：（）設(shè)中角的對(duì)邊分別為，則由，可得，（） ， 即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，10

7、（2007年廣東卷理）已知的三個(gè)頂點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為、. （1）若，求的值；（2）若為鈍角，求的取值范圍；解：（1），若，則， ， ；（2）為鈍角，則 ，解得， c的取值范圍是。11.(2007年山東卷文17)在中，角、的對(duì)邊分別為、， （1）求；（2）若，且，求解：（1） 又， 解得 ，是銳角，（2）， ， 又， 12.（2006年湖北）設(shè)函數(shù)，其中向量 ， . （）求函數(shù)的最大值和最小正周期； （）將函數(shù)的圖像按向量平移，使平移后得到的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱，求長(zhǎng)度最小的.命題意圖:本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算方法、三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)及圖像的基本知識(shí)，考查推理和運(yùn)算能力.解

8、：()由題意得， 所以，的最大值為，最小正周期是.（）由得，即，（kZ） 于是， （kZ） 因?yàn)閗為整數(shù)，要使最小，則只有k1，此時(shí)即為所求.13（2006年全國(guó)卷II）已知向量， （）若，求；（）求的最大值命題意圖:本小題主要考查平面向量數(shù)量積和平面向量的模的計(jì)算方法、以及三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)等基本知識(shí)，考查推理和運(yùn)算能力.解：（）若，則，由此得()，所以；（）由，得當(dāng)時(shí)，取得最大值，即當(dāng)時(shí)，最大值為四. 平面向量與解析幾何的結(jié)合14（2006年陜西卷）如圖，三定點(diǎn)、，三動(dòng)點(diǎn)D、E、M滿足，.（I）求動(dòng)直線DE斜率的變化范圍；（II）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。命題意圖:本小題主要考查平面向量的計(jì)算方法、三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)及圖像和圓錐曲線方程的求法等基本知識(shí)，考查推理和運(yùn)算能力.解: 如圖, () 設(shè),，則 ， 由, 知 即 同理. , .() ， 即， . , . 即所求軌跡方程為: ,15（2006年全國(guó)卷II）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A、B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且（），過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為（）證明為定值；（）設(shè)ABM的面積為S，寫(xiě)出的表達(dá)式，并求S的最小值命題意圖:本小題主要考查平面向量的計(jì)算方法、和圓錐曲線方程,以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基本知識(shí)，考查推理和運(yùn)算能力.解：()由已知條件，得，設(shè)，則，由，得即 將（1）式兩邊平方并把，代入得（3）解（2）