平面與平面垂直的判定與性質(zhì)26

1、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)教學(xué)重、難點(diǎn)：1.重點(diǎn)：平面與平面垂直的判定及應(yīng)用。2.難點(diǎn)：二面角的度量及判定定理的應(yīng)用。教學(xué)內(nèi)容：要點(diǎn)一、二面角1二面角定義 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角（dihedral angle）.這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.2 二面角的求法與畫法棱為AB、面分別為、的二面角記作二面角. 有時(shí)為了方便，也可在內(nèi)(棱以外的半平面部分)分別取點(diǎn)P、Q，將這個(gè)二面角記作二面角P AB Q.如果棱記作l，那么這個(gè)二面角記作二面角或P l Q.3計(jì)算二面角大小的方法    （1）作二面角的平面角，并將其放在一個(gè)

2、三角形中，解三角形求出二面角的平面角大小，它就是二面角的大小。    作二面角的平面角常用下列三種方法：    用定義作二面角的平面角在棱上取一點(diǎn)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作棱的垂線，這兩條射線組成二面角的平面角。利用定義作二面角的平面角，關(guān)鍵在于找棱及棱上的特殊點(diǎn)。學(xué)習(xí)時(shí)要特別注意平移和補(bǔ)形方法的靈活運(yùn)用。        用三垂線定理作二面角的平面角從二面角的一個(gè)面內(nèi)選一個(gè)特殊點(diǎn)A，由A向另一個(gè)平面作垂線垂足為B，再由B向棱作垂線交棱于C，連結(jié)AC，則ACB就是二面角的平面

3、角。利用三垂線定理（逆定理）作二面角的平面角是最常用的方法，它是通過二面角一個(gè)面上的點(diǎn)向另一個(gè)面（基面）作垂線（主垂線）的辦法來實(shí)現(xiàn)的，因此選好基面，再作主垂線，主垂線是解題的關(guān)鍵。    用垂面法作二面角的平面角作垂直于二面角的棱或二面角兩個(gè)半平面的垂面，則該垂面與二面角兩個(gè)半平面交線所成的角就是二面角的平面角。    （2）面積法如果一個(gè)多邊形在一個(gè)平面內(nèi)的射影是一個(gè)多邊形，且這兩個(gè)多邊形所在平面所成的二面角為，則。3 二面角的平面角如圖（1）在二面角的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，

4、則射線OA和OB構(gòu)成的AOB叫做二面角的平面角.（2）二面角的平面角的大小與O點(diǎn)位置無關(guān).（3）二面角的平面角的范圍是0，180°（4）平面角為直角的二面角叫做直二面角.例1如圖，PC平面ABC，ABBC=CAPC，求二面角BPAC的平面角的正切值         分析 由PC平面ABC，知平面ABC平面PAC，從而B在平面PAC上的射影在AC上，由此可用三垂線定理作出二面角的平面角    解   PC平面ABC    平面PAC平面ABC，交線

5、為AC作BDAC于D點(diǎn)，據(jù)面面垂直性質(zhì)定理，BD平面PAC，作DEPA于E，連BE，據(jù)三垂線定理，則BEPA，從而BED是二面角BPAC的平面角    設(shè)PCa，依題意知三角形ABC是邊長為a的正三角形，    例1如圖過正方形ABCD的頂點(diǎn)A作PA平面ABCD，設(shè)PA=ABa 求(1)二面角BPCD的大??；(2)平面PAB和平面PCD所成二面角的大小     分析二面角BPCD的棱為PC，所以找平面角作棱的垂線，而平面PAB和平面PCD所成二面角“無棱”須找二面角的棱 &#

6、160;  解  (1) PA平面ABCD，BDAC    BDPC(三垂線定理)    在平面PBC內(nèi)，作BEPC，E為垂足，連結(jié)DE，得PC平面BED，從而DEPC，即BED是二面角BPCD的平面角    在RtPAB中，由PAAB=a     (2)過P作PQ AB，則PQ平面PAB，    ABCD PQCD，PQ平面PCD    平面PAB平面PCD于PQ  

7、;  PAAB，ABPQ PAPQ    PA平面ABCD，CDAD    CDPD(三垂線定理的逆定理)    PQCD PDPQ    所以APD是平面PAB和平面PCD所成的二面角的平面角    PAAB=AD，APD=45°    即平面PAB和平面PCD所成的二面角為45°.    評(píng)注 在求無棱二面角的大小時(shí)有時(shí)須作出棱線后再找平面角要點(diǎn)二、平面

8、與平面垂直的判定1平面與平面垂直的定義，記法與畫法.一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直.兩個(gè)互相垂直的平面通常畫成此圖的樣子，此時(shí)，把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直.平面與垂直，記作.2兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.例3過S引三條長度相等但不共面的線段SA、SB、SC，且ASB=ASC=60°，BSC=90°。    求證：平面ABC平面BSC。     證法一：   作AD平面BSC，D為垂足。

9、60;       ASB=ASC=60°，SA=SB=SC，則AS=AB=AC，        D為BSC的外心。又BSC=90°，        D為BC的中點(diǎn)，即AD在平面ABC內(nèi)。        平面ABC平面BSC。    證法二：  取BC的中點(diǎn)D

10、，連接AD、SD，易證ADBC，又ABS是正三角形，BSC為等腰直角三角形，    BD=SD AD2+SD2= AD2+BD2=AB2=AS2，由勾股定理的逆定理，知ADSD，    AD平面BSC。又AD 平面ABC，   平面ABC平面BSC。    評(píng)注 本題是證明面面垂直的典型例題，關(guān)鍵是將證明“面面垂直”問題轉(zhuǎn)化為證明“線面垂直”。方法一是作平面的垂線而后證明它在另一個(gè)平面內(nèi)；方法二則是在一個(gè)平面內(nèi)找一條線段，證明它與另一個(gè)平面垂直。例3已知：如圖，在矩形ABCD中，已知，

11、E是AD的中點(diǎn)，沿BE將ABE折起至A´BE的位置，使A´C=A´D。    （1）求證：平面A´BE平面BCDE；    （2）求A´C和平面BCD所成角的大小。                    要點(diǎn)三. 兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)兩個(gè)平面互相垂直時(shí)有下面兩個(gè)性質(zhì)：1 如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于

12、另一個(gè)平面。簡述為：“若面面垂直，則線面垂直”。2 那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線，在第一個(gè)平面內(nèi)。此性質(zhì)可以作為面面垂直的性質(zhì)定理直接應(yīng)用例3 如圖，AB是O的直徑，PA垂直于O所在的平面，C是圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn)，求證：平面PAC平面PBC.證明：設(shè)O所在平面為，由已知條件，PA，BC在內(nèi)，所以PABC.因?yàn)辄c(diǎn)C是圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn)，AB是O的直徑，所以，BCA是直角，即BCAC.又因?yàn)镻A與AC是PAC所在平面內(nèi)的兩條直線.所以BC平面PAC.又因?yàn)锽C在平面PBC內(nèi)，所以，平面PAC平面PBC.1. 正方體ABCD-A1B1C1D1 中，平面ABC1D1與正方體的其他各個(gè)面所成的二面角的大小分別為多少？（）2如圖，已知AB平面BCD，BCCD，你能發(fā)現(xiàn)哪些平面互相垂直，為什么？答：面ABC面BCD面ABD面BCD面ACD面A1下列命題中正確的是 。如果直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則；如果直線不垂直于，則內(nèi)沒有與垂直的直線；如果直線不垂直于，則內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與垂直；兩直線a,b平行，由a可得出b。2如右圖，PA平面ABC，BCAC，求證：。