平行四邊形的證明題

1、平行四邊形的證明題一解答題（共30小題）1如圖，已知四邊形ABCD為平行四邊形，AEBD于E，CFBD于F（1）求證：BE=DF；（2）若 M、N分別為邊AD、BC上的點，且DM=BN，試判斷四邊形MENF的形狀（不必說明理由）2如圖所示，AECF的對角線相交于點O，DB經(jīng)過點O，分別與AE，CF交于B，D求證：四邊形ABCD是平行四邊形3如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AEBD，CFBD，垂足分別為E，F(xiàn)（1）求證：ABECDF；（2）若AC與BD交于點O，求證：AO=CO4已知：如圖，在ABC中，BAC=90°，DE、DF是ABC的中位線，連接EF、AD求證：E

2、F=AD5如圖，已知D是ABC的邊AB上一點，CEAB，DE交AC于點O，且OA=OC，猜想線段CD與線段AE的大小關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明6如圖，已知，ABCD中，AE=CF，M、N分別是DE、BF的中點求證：四邊形MFNE是平行四邊形7如圖，平行四邊形ABCD，E、F兩點在對角線BD上，且BE=DF，連接AE，EC，CF，F(xiàn)A求證：四邊形AECF是平行四邊形8在ABCD中，分別以AD、BC為邊向內(nèi)作等邊ADE和等邊BCF，連接BE、DF求證：四邊形BEDF是平行四邊形9如圖所示，DBAC，且DB=AC，E是AC的中點，求證：BC=DE10已知：如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AD=24

3、cm，BC=30cm，點P自點A向D以1cm/s的速度運動，到D點即停止點Q自點C向B以2cm/s的速度運動，到B點即停止，直線PQ截梯形為兩個四邊形問當(dāng)P，Q同時出發(fā)，幾秒后其中一個四邊形為平行四邊形？11如圖：已知D、E、F分別是ABC各邊的中點，求證：AE與DF互相平分12已知：如圖，在ABCD中，對角線AC交BD于點O，四邊形AODE是平行四邊形求證：四邊形ABOE、四邊形DCOE都是平行四邊形13如圖，已知四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別是AB、CD、AC、BD的中點，并且點E、F、G、H有在同一條直線上求證：EF和GH互相平分14如圖：ABCD中，MNAC，試說明MQ=NP1

4、5已知：如圖所示，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，EF經(jīng)過點O并且分別和AB，CD相交于點E，F(xiàn)，點G，H分別為OA，OC的中點求證：四邊形EHFG是平行四邊形16如圖，已知在ABCD中，E、F是對角線BD上的兩點，BE=DF，點G、H分別在BA和DC的延長線上，且AG=CH，連接GE、EH、HF、FG（1）求證：四邊形GEHF是平行四邊形；（2）若點G、H分別在線段BA和DC上，其余條件不變，則（1）中的結(jié)論是否成立？（不用說明理由）17如圖，在ABC中，D是AC的中點，E是線段BC延長線一點，過點A作BE的平行線與線段ED的延長線交于點F，連接AE、CF（1）求證：AF=C

5、E；（2）如果AC=EF，且ACB=135°，試判斷四邊形AFCE是什么樣的四邊形，并證明你的結(jié)論18如圖平行四邊形ABCD中，ABC=60°，點E、F分別在CD、BC的延長線上，AEBD，EFBF，垂足為點F，DF=2（1）求證：D是EC中點；（2）求FC的長19如圖，已知ABC是等邊三角形，點D、F分別在線段BC、AB上，EFB=60°，DC=EF（1）求證：四邊形EFCD是平行四邊形；（2）若BF=EF，求證：AE=AD20如圖，四邊形ABCD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點（1）請判斷四邊形EFGH的形狀？并說明為什么；（2）若使四邊形E

6、FGH為正方形，那么四邊形ABCD的對角線應(yīng)具有怎樣的性質(zhì)？21如圖，ACD、ABE、BCF均為直線BC同側(cè)的等邊三角形（1）當(dāng)ABAC時，證明：四邊形ADFE為平行四邊形；（2）當(dāng)AB=AC時，順次連接A、D、F、E四點所構(gòu)成的圖形有哪幾類？直接寫出構(gòu)成圖形的類型和相應(yīng)的條件22如圖，以ABC的三邊為邊，在BC的同側(cè)分別作三個等邊三角形即ABD、BCE、ACF，那么，四邊形AFED是否為平行四邊形？如果是，請證明之，如果不是，請說明理由23在ABC中，AB=AC，點P為ABC所在平面內(nèi)一點，過點P分別作PEAC交AB于點E，PFAB交BC于點D，交AC于點F若點P在BC邊上（如圖1），此時P

7、D=0，可得結(jié)論：PD+PE+PF=AB請直接應(yīng)用上述信息解決下列問題：當(dāng)點P分別在ABC內(nèi)（如圖2），ABC外（如圖3）時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，PD，PE，PF與AB之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的猜想，不需要證明 24如圖1，P為RtABC所在平面內(nèi)任意一點（不在直線AC上），ACB=90°，M為AB邊中點操作：以PA、PC為鄰邊作平行四邊形PADC，連續(xù)PM并延長到點E，使ME=PM，連接DE探究：（1）請猜想與線段DE有關(guān)的三個結(jié)論；（2）請你利用圖2，圖3選擇不同位置的點P按上述方法操作；（3）經(jīng)歷（2）之后，如果你認為你寫的結(jié)論是正確的，請加

8、以證明；如果你認為你寫的結(jié)論是錯誤的，請用圖2或圖3加以說明；（注意：錯誤的結(jié)論，只要你用反例給予說明也得分）（4）若將“RtABC”改為“任意ABC”，其他條件不變，利用圖4操作，并寫出與線段DE有關(guān)的結(jié)論（直接寫答案）25在一次數(shù)學(xué)實踐探究活動中，小強用兩條直線把平行四邊形ABCD分割成四個部分，使含有一組對頂角的兩個圖形全等；（1）根據(jù)小強的分割方法，你認為把平行四邊形分割成滿足以上全等關(guān)系的直線有無數(shù)組；（2）請在圖中的三個平行四邊形中畫出滿足小強分割方法的直線；（3）由上述實驗操作過程，你發(fā)現(xiàn)所畫的兩條直線有什么規(guī)律？26如圖，在直角梯形ABCD中，ABCD，BCD=Rt，AB=AD

9、=10cm，BC=8cm點P從點A出發(fā)，以每秒3cm的速度沿折線ABCD方向運動，點Q從點D出發(fā)，以每秒2cm的速度沿線段DC方向向點C運動已知動點P、Q同時發(fā)，當(dāng)點Q運動到點C時，P、Q運動停止，設(shè)運動時間為t（1）求CD的長；（2）當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時，求四邊形PBQD的周長；（3）在點P、點Q的運動過程中，是否存在某一時刻，使得BPQ的面積為20cm2？若存在，請求出所有滿足條件的t的值；若不存在，請說明理由27已知平行四邊形的三個頂點的坐標分別為O（0，0）、A（2，0）、B（1，1），則第四個頂點C的坐標是多少？28已知平行四邊形ABCD的周長為36cm，過D作AB，BC邊

10、上的高DE、DF，且cm，求平行四邊形ABCD的面積29如圖，在平面直角坐標系中，已知O為原點，四邊形ABCD為平行四邊形，A、B、C的坐標分別是A（3，），B（2，3），C（2，3），點D在第一象限（1）求D點的坐標；（2）將平行四邊形ABCD先向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度所得的四邊形A1B1C1D1四個頂點的坐標是多少？（3）求平行四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1重疊部分的面積？30如圖所示ABCD中，AF平分BAD交BC于F，DEAF交CB于E求證：BE=CF1、解答：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，AB=CD，ABCD，ABD=CDB，AEBD于E，CFBD于F，A

11、EB=CFD=90°，ABECDF（AAS），BE=DF；（2）四邊形MENF是平行四邊形證明：有（1）可知：BE=DF，四邊形ABCD為平行四邊行，ADBC，MDB=MBD，DM=BN，DNFBNE，NE=MF，MFD=NEB，MFE=NEF，MFNE，四邊形MENF是平行四邊形2、解答：證明：四邊形AECF是平行四邊形OE=OF，OA=OC，AECF，DFO=BEO，F(xiàn)DO=EBO，F(xiàn)DOEBO，OD=OB，OA=OC，四邊形ABCD是平行四邊形3、解答：證明：（1）BF=DE，BFEF=DEEF，即BE=DE，AEBD，CFBD，AEB=CFD=90°，AB=CD，R

12、tABERtCDF（HL）；（2）ABECDF，ABE=CDF，ABCD，AB=CD，四邊形ABCD是平行四邊形，AO=CO4、解答：證明：DE，DF是ABC的中位線，DEAB，DFAC，四邊形AEDF是平行四邊形，又BAC=90°，平行四邊形AEDF是矩形，EF=AD5、解答：解：猜想線段CD與線段AE的大小關(guān)系和位置關(guān)系是：平行且相等證明：CEAB，DAO=ECO，OA=OC，ADOECO，AD=CE，四邊形ADCE是平行四邊形，CDAE6、解答：證明：由平行四邊形可知，AD=CB，DAE=FCB，又AE=CF，DAEBCF，DE=BF，AED=CFB又M、N分別是DE、BF的中

13、點，ME=NF又由ABDC，得AED=EDCEDC=BFC，MENF四邊形MFNE為平行四邊形7、解答：證明：連接AC交BD于點O，四邊形ABCD為平行四邊形，OA=OC，OB=ODBE=DF，OE=OF四邊形AECF為平行四邊形8、解答：證明：四邊形ABCD是平行四邊形，CD=AB，AD=CB，DAB=BCD又ADE和CBF都是等邊三角形，DE=BF，AE=CFDAE=BCF=60°DCF=BCDBCF，BAE=DABDAE，DCF=BAEDCFBAE（SAS）DF=BE四邊形BEDF是平行四邊形9、解答：證明：E是AC的中點，EC=AC，又DB=AC，DB=EC又DBEC，四邊形

14、DBCE是平行四邊形BC=DE10、解答：解：設(shè)P，Q同時出發(fā)t秒后四邊形PDCQ或四邊形APQB是平行四邊形，根據(jù)已知得到AP=t，PD=24t，CQ=2t，BQ=302t（1）若四邊形PDCQ是平行四邊形，則PD=CQ，24t=2tt=88秒后四邊形PDCQ是平行四邊形；（2）若四邊形APQB是平行四邊形，則AP=BQ，t=302tt=1010秒后四邊形APQB是平行四邊形11、解答：證明：D、E、F分別是ABC各邊的中點，根據(jù)中位線定理知：DEAC，DE=AF，EFAB，EF=AD，四邊形ADEF為平行四邊形故AE與DF互相平分12、解答：證明：ABCD中，對角線AC交BD于點O，OB=

15、OD，又四邊形AODE是平行四邊形，AEOD且AE=OD，AEOB且AE=OB，四邊形ABOE是平行四邊形，同理可證，四邊形DCOE也是平行四邊形13、解答：證明：連接EG、GF、FH、HE，點E、F、G、H分別是AB、CD、AC、BD的中點在ABC中，EG=BC；在DBC中，HF=BC，EG=HF同理EH=GF四邊形EGFH為平行四邊形EF與GH互相平分14、解答：證明：四邊形ABCD是平行四邊形，AMQC，APNC又MNAC，四邊形AMQC為平行四邊形，四邊形APNC為平行四邊形AC=MQ AC=NPMQ=NP15、解答：證明：如答圖所示，點O為平行四邊形ABCD對角線AC，BD的交點，O

16、A=OC，OB=ODG，H分別為OA，OC的中點，OG=OA，OH=OC，OG=OH又ABCD，1=2在OEB和OFD中，1=2，OB=OD，3=4，OEBOFD，OE=OF四邊形EHFG為平行四邊形16、 解答：（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，17、 AB=CD，ABCD，GBE=HDF又AG=CH，BG=DH又BE=DF，GBEHDFGE=HF，GEB=HFD，GEF=HFE，GEHF，四邊形GEHF是平行四邊形（2）解：仍成立（證法同上）17、解答：（1）證明：AFEC，DFA=DEC，DAF=DCE，D是AC的中點，DA=DC，DAFDCE，AF=CE；（2）解：四邊形AFCE

17、是正方形理由如下：AFEC，AF=CE，四邊形AFCE是平行四邊形，又AC=EF，平行四邊形AFCE是矩形，F(xiàn)CE=CFA=90°，而ACB=135°，F(xiàn)CA=135°90°=45°，F(xiàn)AC=45°，F(xiàn)C=FA，矩形AFCE是正方形18、解答：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，ABCD，且AB=CD，又AEBD，四邊形ABDE是平行四邊形，AB=DE，CD=DE，即D是EC的中點；（2）解：連接EF，EFBF，EFC是直角三角形，又D是EC的中點，DF=CD=DE=2，在平行四邊形ABCD中，ABCD，ABC=60°，EC

18、F=ABC=60°，CDF是等邊三角形，F(xiàn)C=DF=2故答案為：219、解答：證明：（1）ABC是等邊三角形，ABC=60°，EFB=60°，ABC=EFB，EFDC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），DC=EF，四邊形EFCD是平行四邊形；（2）連接BEBF=EF，EFB=60°，EFB是等邊三角形，EB=EF，EBF=60°DC=EF，EB=DC，ABC是等邊三角形，ACB=60°，AB=AC，EBF=ACB，AEBADC，AE=AD20、解答：解：（1）如圖，四邊形EFGH是平行四邊形連接AC，E、F分別是AB、BC的中點，EFAC，E

19、F=AC同理HGAC，EFHG，EF=HGEFGH是平行四邊形；（2）四邊形ABCD的對角線垂直且相等假若四邊形EFGH為正方形，它的每一組鄰邊互相垂直且相等，根據(jù)中位線定理得到四邊形ABCD的對角線應(yīng)該互相垂直且相等21、 解答：（1）證明：ABE、BCF為等邊三角形，AB=BE=AE，BC=CF=FB，ABE=CBF=60°CBA=FBEABCEBFEF=AC又ADC為等邊三角形，CD=AD=ACEF=AD同理可得AE=DF四邊形AEFD是平行四邊形（2）解：構(gòu)成的圖形有兩類，一類是菱形，一類是線段當(dāng)圖形為菱形時，BAC60°（或A與F不重合、ABC不為正三角形）當(dāng)圖形

20、為線段時，BAC=60°（或A與F重合、ABC為正三角形）22、解答：解：四邊形AFED是平行四邊形證明如下：在BED與BCA中，BE=BC，BD=BA（均為同一等邊三角形的邊）DBE=ABC=60°EBABEDBCA（SAS）DE=AC又AC=AFDE=AF在CBA與CEF中，CB=CE，CA=CFACB=FCE=60°+ACECBACEF（SAS）BA=EF又BA=DA，DA=EF故四邊形AFED為平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）23、解答：解：圖2結(jié)論：PD+PE+PF=AB證明：過點P作MNBC分別交AB，AC于M，N兩點，由題意得PE+

21、PF=AM四邊形BDPM是平行四邊形，MB=PDPD+PE+PF=MB+AM=AB，即PD+PE+PF=AB圖3結(jié)論：PE+PFPD=AB24、解答：解：（1）DEBC，DE=BC，DEAC（2）如圖4，如圖5（3）方法一：如圖6，連接BE，PM=ME，AM=MB，PMA=EMB，PMAEMBPA=BE，MPA=MEB，PABE平行四邊形PADC，PADC，PA=DCBEDC，BE=DC，四邊形DEBC是平行四邊形DEBC，DE=BCACB=90°，BCAC，DEAC方法二：如圖7，連接BE，PB，AE，PM=ME，AM=MB，四邊形PAEB是平行四邊形PABE，PA=BE，余下部分

22、同方法一：方法三：如圖8，連接PD，交AC于N，連接MN，平行四邊形PADC，AN=NC，PN=NDAM=BM，AN=NC，MNBC，MN=BC又PN=ND，PM=ME，MNDE，MN=DEDEBC，DE=BCACB=90°，BCACDEAC（4）如圖9，DEBC，DE=BC25、解答：解：（1）無數(shù)；（2）作圖的時候要首先找到對角線的交點，只要過對角線的交點，任畫一條直線即可如圖有：AE=BE=DF=CF，AM=CN（3）這兩條直線過平行四邊形的對稱中心（或?qū)蔷€的交點）26、解答：解：（1）過點A作AMCD于M，根據(jù)勾股定理，AD=10，AM=BC=8，DM=6，CD=16；（2）當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時，點P在AB上，點Q在DC上，如圖，由題知：BP=103t，DQ=2t103t=2t，解得t=