工程矩陣往年試題分析

1、第一章1.（20%）已知的子空間， 分別求，的一組基及它們的維數(shù)。2.（18%）設(shè)上的線性變換定義為：， 其中，(1) 求在的基下的矩陣；(2) 分別求的特征值及相應(yīng)的特征子空間的一組基及它們的維數(shù)；(3) 給出的最小多項式；(4) 問：是否存在的基，使得的矩陣為對角陣？為什么？3.（20%）設(shè)上的線性變換定義為：， 其中，表示矩陣的跡。(1) 求在的基下的矩陣；(2) 求的值域及核子空間的基及它們的維數(shù)；(3) 問：+是否為直和？為什么？4.（20%）假設(shè)矩陣，在上定義映射如下：對任意， (1) 證明：是上的線性變換；(2) 求在的基下的矩陣；(3) 求的值域及核子空間的各一組基及它們的維數(shù)

2、；(4) 問：是否成立？為什么？(5) 試求的Jordan標準形，并寫出的最小多項式；(6) 問：能否找到的基，使得的矩陣為對角陣？為什么？5. (16%)上的線性變換定義如下：,(1) 求在的基下的矩陣；(2) 求的值域及核子空間的各一組基及它們的維數(shù)；(3) 問：是否成立？為什么？6.（8%）設(shè)為線性空間上的線性變換，且. 試證：；7. 若階方陣與滿足：. ； . ； . 則（證明時請注明每一步的理由）.第二章1.（10%）設(shè)的子空間=，。試求，使得。?2. 在上定義內(nèi)積。的子空間。試求，使得。3.（10%）假設(shè)，的由生成的子空間，。在中求向量，使得。4.（10%）設(shè)是一維歐氏空間，是一單

3、位向量，是一參數(shù)，上的線性變換定義為：， 問：當取何值時，是正交變換？5. 記。定義上先行變換如下：(1)求的值域的一組基，并給出的兩個不同的子空間，使得；(2) 問：是否為正交變換？為什么？第三章1. 已知的特征多項式與最小多項式都是，分別求及的Jordan標準形. 2.（8%）已知階方陣滿足，且的秩是，求.3.（12%）設(shè)矩陣，。(1) 根據(jù)的不同的值，討論矩陣的所有可能的Jordan標準形；(2) 若與是相似的，問：參數(shù)應(yīng)滿足什么條件？試說明你的理由。4. 假設(shè)矩陣的特征多項式及最小多項式都等于，并且。(1) 分別給出和的Jordan標準形；(2) 問：與是否相似？為什么？5. 證明：若

4、方陣的特征值全為零，則必存在正整數(shù)，使。6. 已知矩陣。(1) 試寫出矩陣的特征多項式，最小多項式，及矩陣的秩；(2) 如果矩陣與有相同的特征多項式，有相同最小多項式，并且與的秩也相同，問：與是否一定相似？說明你的理由。7.（12%）已知矩陣的特征多項式及最小多項式相等，均等于，矩陣。(1) 分別給出和的Jordan標準形；(2) 問：與是否相似？為什么？8.（16%）設(shè)矩陣。(1) 試分別求的特征多項式和最小多項式；(2) 寫出的Jordan標準型；(3) 求；第四章1. 假設(shè)是正規(guī)矩陣。若的特征值全是實數(shù)，證明：是Hermite矩陣。2. 假設(shè)、都是Hermite矩陣。證明是Hermite

5、矩陣當且僅當。3. 假設(shè)是Hermite矩陣，證明：是酉矩陣。4. 證明：Hermite陣和酉矩陣都是正規(guī)陣。試舉一例說明存在這樣的正規(guī)陣，它既不是Hermite矩陣，也不是酉矩陣。5. 若維列向量的長度小于2，證明：是正定矩陣。6. 假設(shè)是酉矩陣,是矩陣。證明：是酉矩陣當且僅當是酉矩陣。7. 假設(shè)是酉矩陣, 是Hermite矩陣，并且。記。證明：存在酉矩陣，使得是對角陣。8. 若是正規(guī)矩陣，則是酉矩陣的充要條件是的特征值的模全為1；9. 若階Hermite矩陣為正定陣，又是階方陣且也是正定陣，則的譜半徑。10. 若方陣的特征值全為零，則必存在正整數(shù)，使.11. 設(shè)是階正定矩陣，是維非零列向量. 若當時，總有 ，則必線性無關(guān)第五章1.（10%）設(shè)為方陣，作，設(shè)是參數(shù).(1) 試證：； (2) 已知，求.2.（15%）設(shè)，求的特征多項式、最小多項式，并求矩陣函數(shù)。3. 試證：.4.（10%）試證：若為階正規(guī)矩陣，則5. 設(shè)是相容矩陣范數(shù)。證明：對任意方陣，的譜半徑；6. 證明：對任意方陣，（這里，表示矩陣的行列式，表示矩陣的跡）；第六章 1.（10%）設(shè)為矩陣，為矩陣，作.求（用表示）；2.（12%）假設(shè)矩陣，試求的廣義逆矩陣。3. 假設(shè)矩陣，求的廣義逆矩陣。