2007年高考數(shù)學(xué)試題北京卷（理科）

1、2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）（北京卷）本試卷分第I卷（選擇題）和第II（非選擇題）兩部分，第I卷1至2頁(yè)，第II卷3至9頁(yè)，共150分考試時(shí)間120分鐘考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回第I卷（選擇題共40分）注意事項(xiàng)：1答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目涂寫在答題卡上2每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案不能答在試卷上一、本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)1已知，那么角是（）第一或第二象限角第二或第三象限角第三或第四象限角第一或第四象限角

2、2函數(shù)的反函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?平面平面的一個(gè)充分條件是（）存在一條直線存在一條直線存在兩條平行直線存在兩條異面直線4已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，為邊中點(diǎn)，且，那么（）5記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（）1440種960種720種480種6若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則的取值范圍是（）或7如果正數(shù)滿足，那么（），且等號(hào)成立時(shí)的取值唯一，且等號(hào)成立時(shí)的取值唯一，且等號(hào)成立時(shí)的取值不唯一，且等號(hào)成立時(shí)的取值不唯一8對(duì)于函數(shù)，判斷如下三個(gè)命題的真假：命題甲：是偶函數(shù)；命題乙：在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；命題丙：在上是增函數(shù)能使命題

3、甲、乙、丙均為真的所有函數(shù)的序號(hào)是（）2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）（北京卷）第II卷（共110分）注意事項(xiàng)：1用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上2答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分把答案填在題中橫線上910若數(shù)列的前項(xiàng)和，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為；數(shù)列中數(shù)值最小的項(xiàng)是第項(xiàng)11在中，若，則12已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是132002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的弦圖是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖）如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形

4、中較小的銳角為，那么的值等于14已知函數(shù)，分別由下表給出123131123321則的值為；滿足的的值是三、解答題：本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程15（本小題共13分）數(shù)列中，（是常數(shù)，），且成公比不為的等比數(shù)列（I）求的值；（II）求的通項(xiàng)公式16（本小題共14分）如圖，在中，斜邊可以通過(guò)以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角動(dòng)點(diǎn)的斜邊上（I）求證：平面平面；（II）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線與所成角的大?。唬↖II）求與平面所成角的最大值17（本小題共14分）矩形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，邊所在直線的方程為，點(diǎn)在邊所在直線上（I）求邊所在直線的方程；（II）求矩形外

5、接圓的方程；（III）若動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，且與矩形的外接圓外切，求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程 123 10 20 30 4050參加人數(shù)活動(dòng)次數(shù)18（本小題共13分）某中學(xué)號(hào)召學(xué)生在今年春節(jié)期間至少參加一次社會(huì)公益活動(dòng)（以下簡(jiǎn)稱活動(dòng)）該校合唱團(tuán)共有100名學(xué)生，他們參加活動(dòng)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示（I）求合唱團(tuán)學(xué)生參加活動(dòng)的人均次數(shù)；（II）從合唱團(tuán)中任意選兩名學(xué)生，求他們參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等的概率（III）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，用表示這兩人參加活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望19（本小題共13分）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓

6、的短軸，上底的端點(diǎn)在橢圓上，記，梯形面積為（I）求面積以為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；（II）求面積的最大值20已知集合，其中，由中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合：，其中是有序數(shù)對(duì)，集合和中的元素個(gè)數(shù)分別為和若對(duì)于任意的，總有，則稱集合具有性質(zhì)（I）檢驗(yàn)集合與是否具有性質(zhì)并對(duì)其中具有性質(zhì)的集合，寫出相應(yīng)的集合和；（II）對(duì)任何具有性質(zhì)的集合，證明：；（III）判斷和的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）（北京卷）答案一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）題號(hào)12345678答案1 ， 當(dāng)cos0時(shí)，第三象限；當(dāng)cos0，tan0時(shí)，第四象限

7、，選C。2函數(shù)的反函數(shù)的定義域?yàn)樵瘮?shù)的值域，原函數(shù)的值域?yàn)椋?選B。3平面平面的一個(gè)充分條件是“存在兩條異面直線”，選D。4是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，為邊中點(diǎn)， ，且， ，即，選A5 5名志愿者先排成一排，有種方法，2位老人作一組插入其中，且兩位老人有左右順序，共有=960種不同的排法，選B。 6不等式組，將前三個(gè)不等式畫出可行域，三個(gè)頂點(diǎn)分別為(0，0)，(1，0)，(，)，第四個(gè)不等式，表示的是斜率為1的直線的下方， 當(dāng)0a1時(shí)，表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，當(dāng)a時(shí)，表示的平面區(qū)域也是一個(gè)三角形，選D。7正數(shù)滿足， 4=，即，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)，“=”成立；又4=， c+d4，當(dāng)且僅當(dāng)c=d=2

8、時(shí)，“=”成立；綜上得，且等號(hào)成立時(shí)的取值都為2，選A。8函數(shù)，函數(shù)=是偶函數(shù)；且在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；但對(duì)命題丙：=在x(,0)時(shí)，為減函數(shù)，排除函數(shù)，對(duì)于函數(shù)，函數(shù)不是偶函數(shù)，排除函數(shù)只有函數(shù)符合要求，選D。二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）題號(hào)91011121314答案, 31，29。10數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式為=，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其中數(shù)值最小的項(xiàng)應(yīng)是最靠近對(duì)稱軸的項(xiàng)，即n=3，第3項(xiàng)是數(shù)列中數(shù)值最小的項(xiàng)。11在中，若， A 為銳角，則根據(jù)正弦定理=。12集合=x| a1xa+1，=x| x4或x1 又， ，解得2a3，實(shí)數(shù)的取值范圍是(2，

9、3)。13圖中小正方形的面積為1，大正方形的面積為25， 每一個(gè)直角三角形的面積是6，設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a, b，則， 兩條直角邊的長(zhǎng)分別為3，4，直角三角形中較小的銳角為，cos=，cos2=2cos21=。14=；當(dāng)x=1時(shí)，不滿足條件，當(dāng)x=2時(shí)，滿足條件，當(dāng)x=3時(shí)，不滿足條件， 只有x=2時(shí)，符合條件。三、解答題（本大題共6小題，共80分）15（共13分）解：（I），因?yàn)?，成等比?shù)列，所以，解得或當(dāng)時(shí)，不符合題意舍去，故（II）當(dāng)時(shí)，由于，所以又，故當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以16（共14分）解法一：（I）由題意，是二面角是直二面角，又二面角是直二面角，又，平面，又平面平面平

10、面（II）作，垂足為，連結(jié)（如圖），則，是異面直線與所成的角在中，又在中，異面直線與所成角的大小為（III）由（I）知，平面，是與平面所成的角，且當(dāng)最小時(shí)，最大，這時(shí)，垂足為，與平面所成角的最大值為解法二：（I）同解法一（II）建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，異面直線與所成角的大小為（III）同解法一17（共14分）解：（I）因?yàn)檫吽谥本€的方程為，且與垂直，所以直線的斜率為又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以邊所在直線的方程為（II）由解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)榫匦蝺蓷l對(duì)角線的交點(diǎn)為所以為矩形外接圓的圓心又從而矩形外接圓的方程為（III）因?yàn)閯?dòng)圓過(guò)點(diǎn)，所以是該圓的半徑，又因?yàn)閯?dòng)圓與圓外切，所以，即故點(diǎn)的軌跡是以為

11、焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線的左支因?yàn)閷?shí)半軸長(zhǎng)，半焦距所以虛半軸長(zhǎng)從而動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為18（共13分）解：由圖可知，參加活動(dòng)1次、2次和3次的學(xué)生人數(shù)分別為10、50和40（I）該合唱團(tuán)學(xué)生參加活動(dòng)的人均次數(shù)為（II）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，他們參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等的概率為（III）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，記“這兩人中一人參加1次活動(dòng)，另一人參加2次活動(dòng)”為事件，“這兩人中一人參加2次活動(dòng)，另一人參加3次活動(dòng)”為事件，“這兩人中一人參加1次活動(dòng)，另一人參加3次活動(dòng)”為事件易知；的分布列：012的數(shù)學(xué)期望：19（共13分）解：（I）依題意，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系（如圖），則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足方程，解得，其定義域?yàn)椋↖I）記，則令，得因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以是的最大值因此，當(dāng)時(shí)，也取得最大值，最大值為即梯形面積的最大值為20（共13分）（I）解：集合不具有性質(zhì)集合具有性質(zhì)，其相應(yīng)的集合和是，（II）證明：首先，由中元素構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)共有個(gè)因?yàn)?，所以；又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，從而，集合中元素的個(gè)數(shù)最多為，即（III）