2007年高考數學試題北京卷（理科）

1、2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數學（理工農醫(yī)類）（北京卷）本試卷分第I卷（選擇題）和第II（非選擇題）兩部分，第I卷1至2頁，第II卷3至9頁，共150分考試時間120分鐘考試結束，將本試卷和答題卡一并交回第I卷（選擇題共40分）注意事項：1答第I卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目涂寫在答題卡上2每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案不能答在試卷上一、本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1已知，那么角是（）第一或第二象限角第二或第三象限角第三或第四象限角第一或第四象限角

2、2函數的反函數的定義域為（）3平面平面的一個充分條件是（）存在一條直線存在一條直線存在兩條平行直線存在兩條異面直線4已知是所在平面內一點，為邊中點，且，那么（）5記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（）1440種960種720種480種6若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則的取值范圍是（）或7如果正數滿足，那么（），且等號成立時的取值唯一，且等號成立時的取值唯一，且等號成立時的取值不唯一，且等號成立時的取值不唯一8對于函數，判斷如下三個命題的真假：命題甲：是偶函數；命題乙：在上是減函數，在上是增函數；命題丙：在上是增函數能使命題

3、甲、乙、丙均為真的所有函數的序號是（）2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數學（理工農醫(yī)類）（北京卷）第II卷（共110分）注意事項：1用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上2答卷前將密封線內的項目填寫清楚二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分把答案填在題中橫線上910若數列的前項和，則此數列的通項公式為；數列中數值最小的項是第項11在中，若，則12已知集合，若，則實數的取值范圍是132002年在北京召開的國際數學家大會，會標是以我國古代數學家趙爽的弦圖為基礎設計的弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形

4、中較小的銳角為，那么的值等于14已知函數，分別由下表給出123131123321則的值為；滿足的的值是三、解答題：本大題共6小題，共80分解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程15（本小題共13分）數列中，（是常數，），且成公比不為的等比數列（I）求的值；（II）求的通項公式16（本小題共14分）如圖，在中，斜邊可以通過以直線為軸旋轉得到，且二面角是直二面角動點的斜邊上（I）求證：平面平面；（II）當為的中點時，求異面直線與所成角的大??；（III）求與平面所成角的最大值17（本小題共14分）矩形的兩條對角線相交于點，邊所在直線的方程為，點在邊所在直線上（I）求邊所在直線的方程；（II）求矩形外

5、接圓的方程；（III）若動圓過點，且與矩形的外接圓外切，求動圓的圓心的軌跡方程 123 10 20 30 4050參加人數活動次數18（本小題共13分）某中學號召學生在今年春節(jié)期間至少參加一次社會公益活動（以下簡稱活動）該校合唱團共有100名學生，他們參加活動的次數統(tǒng)計如圖所示（I）求合唱團學生參加活動的人均次數；（II）從合唱團中任意選兩名學生，求他們參加活動次數恰好相等的概率（III）從合唱團中任選兩名學生，用表示這兩人參加活動次數之差的絕對值，求隨機變量的分布列及數學期望19（本小題共13分）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為，短半軸長為，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓

6、的短軸，上底的端點在橢圓上，記，梯形面積為（I）求面積以為自變量的函數式，并寫出其定義域；（II）求面積的最大值20已知集合，其中，由中的元素構成兩個相應的集合：，其中是有序數對，集合和中的元素個數分別為和若對于任意的，總有，則稱集合具有性質（I）檢驗集合與是否具有性質并對其中具有性質的集合，寫出相應的集合和；（II）對任何具有性質的集合，證明：；（III）判斷和的大小關系，并證明你的結論2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數學（理工農醫(yī)類）（北京卷）答案一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）題號12345678答案1 ， 當cos0時，第三象限；當cos0，tan0時，第四象限

7、，選C。2函數的反函數的定義域為原函數的值域，原函數的值域為， 選B。3平面平面的一個充分條件是“存在兩條異面直線”，選D。4是所在平面內一點，為邊中點， ，且， ，即，選A5 5名志愿者先排成一排，有種方法，2位老人作一組插入其中，且兩位老人有左右順序，共有=960種不同的排法，選B。 6不等式組，將前三個不等式畫出可行域，三個頂點分別為(0，0)，(1，0)，(，)，第四個不等式，表示的是斜率為1的直線的下方， 當0a1時，表示的平面區(qū)域是一個三角形，當a時，表示的平面區(qū)域也是一個三角形，選D。7正數滿足， 4=，即，當且僅當a=b=2時，“=”成立；又4=， c+d4，當且僅當c=d=2

8、時，“=”成立；綜上得，且等號成立時的取值都為2，選A。8函數，函數=是偶函數；且在上是減函數，在上是增函數；但對命題丙：=在x(,0)時，為減函數，排除函數，對于函數，函數不是偶函數，排除函數只有函數符合要求，選D。二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）題號91011121314答案, 31，29。10數列的前項和，數列為等差數列，數列的通項公式為=，數列的通項公式為，其中數值最小的項應是最靠近對稱軸的項，即n=3，第3項是數列中數值最小的項。11在中，若， A 為銳角，則根據正弦定理=。12集合=x| a1xa+1，=x| x4或x1 又， ，解得2a3，實數的取值范圍是(2，

9、3)。13圖中小正方形的面積為1，大正方形的面積為25， 每一個直角三角形的面積是6，設直角三角形的兩條直角邊長分別為a, b，則， 兩條直角邊的長分別為3，4，直角三角形中較小的銳角為，cos=，cos2=2cos21=。14=；當x=1時，不滿足條件，當x=2時，滿足條件，當x=3時，不滿足條件， 只有x=2時，符合條件。三、解答題（本大題共6小題，共80分）15（共13分）解：（I），因為，成等比數列，所以，解得或當時，不符合題意舍去，故（II）當時，由于，所以又，故當時，上式也成立，所以16（共14分）解法一：（I）由題意，是二面角是直二面角，又二面角是直二面角，又，平面，又平面平面平

10、面（II）作，垂足為，連結（如圖），則，是異面直線與所成的角在中，又在中，異面直線與所成角的大小為（III）由（I）知，平面，是與平面所成的角，且當最小時，最大，這時，垂足為，與平面所成角的最大值為解法二：（I）同解法一（II）建立空間直角坐標系，如圖，則，異面直線與所成角的大小為（III）同解法一17（共14分）解：（I）因為邊所在直線的方程為，且與垂直，所以直線的斜率為又因為點在直線上，所以邊所在直線的方程為（II）由解得點的坐標為，因為矩形兩條對角線的交點為所以為矩形外接圓的圓心又從而矩形外接圓的方程為（III）因為動圓過點，所以是該圓的半徑，又因為動圓與圓外切，所以，即故點的軌跡是以為

11、焦點，實軸長為的雙曲線的左支因為實半軸長，半焦距所以虛半軸長從而動圓的圓心的軌跡方程為18（共13分）解：由圖可知，參加活動1次、2次和3次的學生人數分別為10、50和40（I）該合唱團學生參加活動的人均次數為（II）從合唱團中任選兩名學生，他們參加活動次數恰好相等的概率為（III）從合唱團中任選兩名學生，記“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加2次活動”為事件，“這兩人中一人參加2次活動，另一人參加3次活動”為事件，“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加3次活動”為事件易知；的分布列：012的數學期望：19（共13分）解：（I）依題意，以的中點為原點建立直角坐標系（如圖），則點的橫坐標為點的縱坐標滿足方程，解得，其定義域為（II）記，則令，得因為當時，；當時，所以是的最大值因此，當時，也取得最大值，最大值為即梯形面積的最大值為20（共13分）（I）解：集合不具有性質集合具有性質，其相應的集合和是，（II）證明：首先，由中元素構成的有序數對共有個因為，所以；又因為當時，時，所以當時，從而，集合中元素的個數最多為，即（III）