工程數(shù)學(xué)線(xiàn)性代數(shù)第五版答案03

1、第三章矩陣的初等變換與線(xiàn)性方程組 1. 把下列矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣: (1); 解 (下一步: r2+(-2)r1, r3+(-3)r1. ) (下一步: r2¸(-1), r3¸(-2). ) (下一步: r3-r2. ) (下一步: r3¸3. ) (下一步: r2+3r3. ) (下一步: r1+(-2)r2, r1+r3. ) . (2); 解 (下一步: r2´2+(-3)r1, r3+(-2)r1. ) (下一步: r3+r2, r1+3r2. ) (下一步: r1¸2. ) . (3); 解 (下一步: r2-3r1, r3-2r

2、1, r4-3r1. ) (下一步: r2¸(-4), r3¸(-3) , r4¸(-5). ) (下一步: r1-3r2, r3-r2, r4-r2. ) . (4). 解 (下一步: r1-2r2, r3-3r2, r4-2r2. ) (下一步: r2+2r1, r3-8r1, r4-7r1. ) (下一步: r1«r2, r2´(-1), r4-r3. ) (下一步: r2+r3. ) . 2. 設(shè), 求A. 解 是初等矩陣E(1, 2), 其逆矩陣就是其本身. 是初等矩陣E(1, 2(1), 其逆矩陣是 E(1, 2(-1) . . 3

3、. 試?yán)镁仃嚨某醯茸儞Q, 求下列方陣的逆矩陣: (1); 解 故逆矩陣為. (2). 解 故逆矩陣為. 4. (1)設(shè), , 求X使AX=B; 解 因?yàn)?, 所以 . (2)設(shè), , 求X使XA=B. 解 考慮ATXT=BT. 因?yàn)?, 所以 , 從而 . 5. 設(shè), AX =2X+A, 求X. 解 原方程化為(A-2E)X =A. 因?yàn)?, 所以 . 6. 在秩是r 的矩陣中,有沒(méi)有等于0的r-1階子式? 有沒(méi)有等于0的r階子式? 解 在秩是r的矩陣中, 可能存在等于0的r-1階子式, 也可能存在等于0的r階子式. 例如, , R(A)=3. 是等于0的2階子式, 是等于0的3階子式. 7

4、. 從矩陣A中劃去一行得到矩陣B, 問(wèn)A, B的秩的關(guān)系怎樣? 解 R(A)³R(B). 這是因?yàn)锽的非零子式必是A的非零子式, 故A的秩不會(huì)小于B的秩. 8. 求作一個(gè)秩是4的方陣, 它的兩個(gè)行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0). 解 用已知向量容易構(gòu)成一個(gè)有4個(gè)非零行的5階下三角矩陣: ,此矩陣的秩為4, 其第2行和第3行是已知向量. 9. 求下列矩陣的秩, 并求一個(gè)最高階非零子式: (1); 解 (下一步: r1«r2. ) (下一步: r2-3r1, r3-r1. ) (下一步: r3-r2. ) , 矩陣的, 是一個(gè)最高階非零

5、子式. (2); 解 (下一步: r1-r2, r2-2r1, r3-7r1. ) (下一步: r3-3r2. ) , 矩陣的秩是2, 是一個(gè)最高階非零子式. (3). 解 (下一步: r1-2r4, r2-2r4, r3-3r4. ) (下一步: r2+3r1, r3+2r1. ) (下一步: r2¸16r4, r3-16r2. ) , 矩陣的秩為3, 是一個(gè)最高階非零子式. 10. 設(shè)A、B都是m´n矩陣, 證明AB的充分必要條件是R(A)=R(B). 證明 根據(jù)定理3, 必要性是成立的. 充分性. 設(shè)R(A)=R(B), 則A與B的標(biāo)準(zhǔn)形是相同的. 設(shè)A與B的標(biāo)準(zhǔn)形為

6、D, 則有AD, DB.由等價(jià)關(guān)系的傳遞性, 有AB. 11. 設(shè), 問(wèn)k為何值, 可使 (1)R(A)=1; (2)R(A)=2; (3)R(A)=3. 解 . (1)當(dāng)k=1時(shí), R(A)=1; (2)當(dāng)k=-2且k¹1時(shí), R(A)=2; (3)當(dāng)k¹1且k¹-2時(shí), R(A)=3. 12. 求解下列齊次線(xiàn)性方程組: (1); 解對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換, 有 A=, 于是 , 故方程組的解為 (k為任意常數(shù)). (2); 解 對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換, 有 A=, 于是 , 故方程組的解為 (k1, k2為任意常數(shù)). (3); 解 對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初

7、等行變換, 有 A=, 于是 , 故方程組的解為 . (4). 解 對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換, 有 A=, 于是 , 故方程組的解為 (k1, k2為任意常數(shù)). 13. 求解下列非齊次線(xiàn)性方程組: (1); 解 對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換, 有 B=, 于是R(A)=2, 而R(B)=3, 故方程組無(wú)解. (2); 解 對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換, 有 B=, 于是 , 即 (k為任意常數(shù)). (3); 解 對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換, 有 B=, 于是 , 即 (k1, k2為任意常數(shù)). (4). 解 對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換, 有 B=, 于是 , 即 (k1, k2為任意常數(shù)).

8、 14. 寫(xiě)出一個(gè)以為通解的齊次線(xiàn)性方程組. 解 根據(jù)已知, 可得 , 與此等價(jià)地可以寫(xiě)成 , 或 , 或 , 這就是一個(gè)滿(mǎn)足題目要求的齊次線(xiàn)性方程組. 15. l取何值時(shí), 非齊次線(xiàn)性方程組. (1)有唯一解; (2)無(wú)解; (3)有無(wú)窮多個(gè)解? 解 . (1)要使方程組有唯一解, 必須R(A)=3. 因此當(dāng)l¹1且l¹-2時(shí)方程組有唯一解. (2)要使方程組無(wú)解, 必須R(A)<R(B), 故 (1-l)(2+l)=0, (1-l)(l+1)2¹0. 因此l=-2時(shí), 方程組無(wú)解. (3)要使方程組有有無(wú)窮多個(gè)解, 必須R(A)=R(B)<3, 故

9、 (1-l)(2+l)=0, (1-l)(l+1)2=0. 因此當(dāng)l=1時(shí), 方程組有無(wú)窮多個(gè)解. 16. 非齊次線(xiàn)性方程組當(dāng)l取何值時(shí)有解？并求出它的解. 解. 要使方程組有解, 必須(1-l)(l+2)=0, 即l=1, l=-2. 當(dāng)l=1時(shí), , 方程組解為 或, 即 (k為任意常數(shù)). 當(dāng)l=-2時(shí), , 方程組解為 或, 即 (k為任意常數(shù)). 17. 設(shè). 問(wèn)l為何值時(shí), 此方程組有唯一解、無(wú)解或有無(wú)窮多解? 并在有無(wú)窮多解時(shí)求解. 解 B= . 要使方程組有唯一解, 必須R(A)=R(B)=3, 即必須 (1-l)(10-l)¹0,所以當(dāng)l¹1且l¹

10、;10時(shí), 方程組有唯一解. 要使方程組無(wú)解, 必須R(A)<R(B), 即必須 (1-l)(10-l)=0且(1-l)(4-l)¹0, 所以當(dāng)l=10時(shí), 方程組無(wú)解. 要使方程組有無(wú)窮多解, 必須R(A)=R(B)<3, 即必須 (1-l)(10-l)=0且(1-l)(4-l)=0, 所以當(dāng)l=1時(shí), 方程組有無(wú)窮多解.此時(shí)，增廣矩陣為 B,方程組的解為 ,或 (k1, k2為任意常數(shù)). 18. 證明R(A)=1的充分必要條件是存在非零列向量a及非零行向量bT, 使A=abT. 證明 必要性. 由R(A)=1知A的標(biāo)準(zhǔn)形為 , 即存在可逆矩陣P和Q, 使 , 或.

11、令, bT=(1, 0, ×××, 0)Q-1, 則a是非零列向量, bT是非零行向量, 且A=abT. 充分性. 因?yàn)閍與bT是都是非零向量, 所以A是非零矩陣, 從而R(A)³1. 因?yàn)?1£R(A)=R(abT)£minR(a), R(bT)=min1, 1=1, 所以R(A)=1. 19. 設(shè)A為m´n矩陣, 證明 (1)方程AX=Em有解的充分必要條件是R(A)=m; 證明 由定理7, 方程AX=Em有解的充分必要條件是R(A)=R(A, Em),而| Em|是矩陣(A, Em)的最高階非零子式, 故R(A)=R(A, Em)=m. 因此, 方程AX=Em有解的充分必要條件是R(A)=m. (2)方程YA=En有解的充分必要條件是R(A)=n. 證明 注意, 方程YA=En有解的充分必要條件是ATYT=En有解. 由