宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)分析方法系列變分法歐拉方程極值路徑與動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)模型分析

1、=附錄：宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)分析方法：變分法、極值路徑與動(dòng)態(tài)最優(yōu)化（08、09、10、11碩已講，精細(xì)訂正版）一、動(dòng)態(tài)最優(yōu)化在靜態(tài)最優(yōu)化問題中，我們尋找在一個(gè)特定的時(shí)間點(diǎn)或區(qū)間上，使一個(gè)給定的函數(shù)最大化和最小化的一個(gè)點(diǎn)或一些點(diǎn)：給定一個(gè)函數(shù)，最優(yōu)點(diǎn)的一階條件是.在動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題中，我們要尋找使一個(gè)給定的積分最大化或最小化的曲線這個(gè)最大化的積分定義為獨(dú)立變量、函數(shù)及它的導(dǎo)數(shù)的函數(shù)下的面積。簡(jiǎn)言之，假設(shè)時(shí)間區(qū)域從到，且用表示，我們尋找最大化或最小化 （20.1）這里假定對(duì)、是連續(xù)的，且具有對(duì)和的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)將形如(201)，對(duì)每一個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)著一個(gè)數(shù)值的積分稱為“泛函”一個(gè)使泛函達(dá)到最大或最小值的曲線稱為“極值

2、曲線”極值可接受的“候選”極值曲線是在定義域上連續(xù)可微，且特別地滿足一些固定端點(diǎn)條件的函數(shù)類（講！）例1 一家公司當(dāng)希望獲得從時(shí)間到的最大利潤(rùn)時(shí)發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的需求不僅依賴于產(chǎn)品的價(jià)格，而且也依賴于價(jià)格關(guān)于時(shí)間的變化率如。假設(shè)成本是固定的，并且每個(gè)和是時(shí)間的函數(shù)，代表，公司的目標(biāo)可以作如下數(shù)學(xué)表示 另一家公司發(fā)現(xiàn)它的總成本依賴于生產(chǎn)水平和生產(chǎn)的變化率假設(shè)這個(gè)公司希望最小化成本，且和是時(shí)間的函數(shù)，公司的目標(biāo)可以寫成滿足這些初始和終值約束稱為端點(diǎn)條件例2 Ramsey經(jīng)濟(jì)：消費(fèi)最優(yōu)化問題從家庭終生效用函數(shù)的集約形式出發(fā)，在消費(fèi)預(yù)算約束的集約形式下求解家庭終生效用最大化問題，就是所謂“Ramsey問題”

3、找出一條消費(fèi)路徑，使家庭終生效用函數(shù)最大化：二、歐拉方程：動(dòng)態(tài)最優(yōu)化的必要條件（三種形式） 定理（泛函極值曲線即最優(yōu)化)的必要條件）：對(duì)于一個(gè)泛函連接點(diǎn)和的曲線是一個(gè)極值曲線(即最優(yōu)化)的必要條件是 (202a)稱之為歐拉方程盡管該定理等價(jià)于靜態(tài)最優(yōu)化的一階必要條件，但是由式中稍微不同的記號(hào)可以容易了解，歐拉方程實(shí)際上是一個(gè)二階微分方程用下標(biāo)表示偏導(dǎo)數(shù)，并列出其自變“量”，它們本身也可能是函數(shù)(202a)的歐拉方程表示為 (202b) 然后，用鏈?zhǔn)椒▌t求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，并且省略自變“量”，得 (202c)這里，下面給出歐拉方程是極值曲線的必要條件的證明。圖20-2證明：（重點(diǎn)！09、10、11碩，

4、已講）設(shè)是圖20-2中連接點(diǎn)和的曲線，并且它使下面泛函取得最大值 (203)即為極值曲線，歐拉方程(202a)是為極值曲線的一個(gè)必要條件取是的相鄰曲線，這里是任意常數(shù)，是一個(gè)任意函數(shù)為了使曲線也通過點(diǎn)和，則也滿足端點(diǎn)條件： (204)一旦取定和之后，因和固定，則積分值僅為的函數(shù)，不妨改寫成 (205)由于使(203)中的泛函實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化，所以(205)中的函數(shù)僅當(dāng)時(shí)（因?yàn)闀r(shí)的才能還原為）實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化，即有 (206)對(duì)(205)即用鏈?zhǔn)椒▌t求由于是和的函數(shù)，依次又是的函數(shù)，代入(207)得由于且，用條件(206)即，有 (208)方括號(hào)中的第一項(xiàng)不動(dòng)，第二項(xiàng)的積分用分部積分，（注：分部積分公式即令

5、所以，）由(204)知，從而，于是上式中第二項(xiàng)去掉，合并其余兩項(xiàng)，有 （209)由于是不必為零的任意函數(shù)，因此推出，對(duì)于極值曲線的必要條件為方括號(hào)中式子為零，即 或 這就是歐拉方程定理證畢。三、求候選極值曲線 在動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題中，求滿足固定端點(diǎn)條件的、使一個(gè)給定積分最大化或最小化的候選極值曲線，由如下五步來完成：1、設(shè)被積函數(shù)為，即2、求對(duì)和的偏導(dǎo)數(shù)，記3、代入歐拉方程(202a)或(202b)4、求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)由于是，的函數(shù)，且又是的函數(shù)，因此，需要用鏈?zhǔn)椒▌t5、如果沒有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)()，立即解出；如果有項(xiàng)，直到作出所有導(dǎo)數(shù)的積分，然后求出。 在例3，例4中，給出了這個(gè)方法的例子例3 設(shè)，試用(20

6、. 4)中所列程序及(202a)的記號(hào)，最優(yōu)化這個(gè)泛函如下：1、設(shè) 2、則 3、代入歐拉方程(202a)，有4、但，代入上式，5、由于沒有和項(xiàng)，所以可直接求出，將這個(gè)解表成，這個(gè)解滿足動(dòng)態(tài)最優(yōu)化的必要條件，只能說明它是一個(gè)候選極值曲線所以有必要使用充分條件檢驗(yàn)。見下一節(jié)例4 泛函滿足求上述泛函的候選極值曲線，現(xiàn)在用(202b)的記號(hào)1、設(shè) 2、則 3、代入歐拉方程(202b)，4、記，且，5、由于有，對(duì)這個(gè)方程兩邊進(jìn)行兩次積分，積分的每一步僅有一個(gè)常數(shù)再積分，解出，代入邊值條件， 代入式中，得解：四、變分法的充分條件 假設(shè)對(duì)于極值曲線，必要條件是滿足的1、如果泛函在是聯(lián)合凹的，則對(duì)于最大值情況

7、，必要條件是充分的。2、如果泛函在是聯(lián)合凸的，則對(duì)于最小值情況，必要條件是充分的 聯(lián)合凹性和聯(lián)合凸性，由泛函的二階導(dǎo)數(shù)的二次型的符號(hào)很容易確定給定判別式：1、(a)如果，且，是負(fù)定的，是嚴(yán)格凹的，得到一個(gè)全局最大的極值曲線(b)如果，且，檢驗(yàn)變量所有可能的次序，是半負(fù)定的，是簡(jiǎn)單凹的，則得到局部最大的極值曲線2、(a)如果，且，是正定的，是嚴(yán)格凸的，從而得到一個(gè)全局最小的極值曲線(b)如果，且，檢驗(yàn)變量所有可能的次序，是半正定的，是簡(jiǎn)單凸的，則得到局部最小的極值曲線例5 下面是例3的充分條件的例子，這里泛函是， 不符合對(duì)于全局最優(yōu)的正定準(zhǔn)則，但可以證明，如果這個(gè)判別式對(duì)于變量的倒序也是半正定時(shí)

8、，則對(duì)于局部最小，它是半正定的對(duì)每個(gè)變量的兩種可能的順序，是半正定的，泛函達(dá)到局部最小的，是充分條件用完全的相似的方式，可檢驗(yàn)出例4的充分條件五、泛函約束的動(dòng)態(tài)優(yōu)化（已講） 求一個(gè)極值曲線使最大或最小化一個(gè)給定積分 (2010)滿足積分約束 (2011)這里，是一個(gè)常數(shù)，利用拉格朗日乘子方法，將約束(2011)乘以，然后與目標(biāo)函數(shù)相加，形成拉格朗日函數(shù)： (2012)對(duì)于動(dòng)態(tài)最優(yōu)化，下面歐拉方程是有極值曲線的必要條件，而非充分條件 (2013)例6 泛函約束優(yōu)化通常用于確定一條曲線，使之滿足給定的周長(zhǎng)且所圍的面積最大這樣的問題稱為等周問題，且通常將泛函記為，而不是調(diào)整這個(gè)記號(hào)，求包含最大區(qū)域的給定長(zhǎng)度的曲線