2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷(文)

1、2015 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(湖北卷)(文科)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分，共 150 分，考試時間 120 分鐘第卷一、選擇題(本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1i 為虛數(shù)單位，i607()AiBiC1D12我國古代數(shù)學(xué)名著數(shù)書九章有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米 1 534石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得 254 粒內(nèi)夾谷 28 粒，則這批米內(nèi)夾谷約為()A134 石B169 石C338 石D1 365 石3命題“x0(0，)，ln x0 x01”的否定是()Ax(0，)，ln

2、 xx1Bx/(0，)，ln xx1Cx0(0，)，ln x0 x01Dx0/(0，)，ln x0 x014已知變量 x 和 y 滿足關(guān)系 y0.1x1，變量 y 與 z 正相關(guān)下列結(jié)論中正確的是()Ax 與 y 正相關(guān)，x 與 z 負(fù)相關(guān)Bx 與 y 正相關(guān)，x 與 z 正相關(guān)Cx 與 y 負(fù)相關(guān)，x 與 z 負(fù)相關(guān)Dx 與 y 負(fù)相關(guān)，x 與 z 正相關(guān)5l1，l2表示空間中的兩條直線，若 p：l1，l2是異面直線，q：l1，l2不相交，則()Ap 是 q 的充分條件，但不是 q 的必要條件Bp 是 q 的必要條件，但不是 q 的充分條件Cp 是 q 的充分必要條件Dp 既不是 q 的充分

3、條件，也不是 q 的必要條件6函數(shù) f(x) 4|x|lgx25x6x3的定義域為()A(2，3)B(2，4C(2，3)(3，4D(1，3)(3，67.設(shè) xR，定義符號函數(shù) sgn x1，x0，0，x0，1，x0，則()A|x|x|sgn x|B|x|xsgn|x|C|x|x|sgn xD|x|xsgn x8在區(qū)間0，1上隨機取兩個數(shù) x，y，記 p1為事件“xy12”的概率，p2為事件“xy12”的概率，則()Ap1p212Bp212p1C.12p2p1Dp112p29 將離心率為 e1的雙曲線 C1的實半軸長 a 和虛半軸長 b(ab)同時增加 m(m0)個單位長度，得到離心率為 e2的

4、雙曲線 C2，則()A對任意的 a，b，e1e2B當(dāng) ab 時，e1e2；當(dāng) ab 時，e1e2C對任意的 a，b，e1e2D當(dāng) ab 時，e1e2；當(dāng) ab 時，e1e210已知集合 A(x，y)|x2y21，x，yZ，B(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ，定義集合 AB(x1x2，y1y2)|(x1，y1)A，(x2，y2)B，則 AB 中元素的個數(shù)為()A77B49C45D30第卷二、填空題(本大題共 7 小題，每小題 5 分，共 35 分，把答案填在題中橫線上)12若變量 x，y 滿足約束條件xy4，xy2，3xy0，則 3xy 的最大值是_13函數(shù) f(x)2sin xsinx2

5、 x2的零點個數(shù)為_14某電子商務(wù)公司對 10 000 名網(wǎng)絡(luò)購物者 2014 年度的消費情況進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額(單位：萬元)都在區(qū)間0.3，0.9內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示(1)直方圖中的 a_；(2)在這些購物者中，消費金額在區(qū)間0.5，0.9內(nèi)的購物者的人數(shù)為_15如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到 A 處時測得公路北側(cè)一山頂 D在西偏北 30的方向上，行駛 600 m 后到達(dá) B 處，測得此山頂在西偏北 75的方向上，仰角為 30，則此山的高度 CD_m.16.如圖，已知圓 C 與 x 軸相切于點 T(1，0)，與 y 軸正半軸交于兩點 A，B(B 在 A 的上方)，

6、且|AB|2.(1)圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為_；(2)圓 C 在點 B 處的切線在 x 軸上的截距為_17a 為實數(shù)，函數(shù) f(x)|x2ax|在區(qū)間0，1上的最大值記為 g(a)當(dāng) a_時，g(a)的值最小三、解答題(解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)18(本小題滿分 12 分)某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù) f(x)Asin(x)0，|0 時，f(x)0，g(x)1；(2)設(shè) a0，b1，證明：當(dāng) x0 時，ag(x)(1a)0，得4x4，x2 且 x3，故函數(shù)定義域為(2，3)(3，4，故選 C.7.解析：選 D當(dāng) x0 時，|x|x，x|sgn x|x，xsgn|x|x，|x|sgn x(

7、x)(1)x，排除 A，B，C，故選 D.8解析：選 D如圖，滿足條件的 x，y 構(gòu)成的點(x，y)在正方形 OBCA 內(nèi)，其面積為1.事件“xy12”對應(yīng)的圖形為陰影ODE，其面積為12121218，故 p11812；事件“xy12”對應(yīng)的圖形為斜線表示部分，其面積顯然大于12，故 p212，則 p112p2，故選 D.9解析：選 B由題意 e1a2b2a21ba2；雙曲線 C2的實半軸長為 am，虛半軸長為 bm，離心率 e2（am）2（bm）2（am）21bmam2.因為bmambam（ab）a（am），且 a0，b0，m0，ab，所以當(dāng) ab 時，m（ab）a（am）0，即bmamba

8、.又bmam0，ba0，所以由不等式的性質(zhì)依次可得bmam2ba2，1bmam21ba2，所以1bmam21ba2，即 e2e1；同理，當(dāng) ab 時，m（ab）a（am）0，可推得 e2e1.綜上，當(dāng) ab 時，e1e2；當(dāng) ab 時，e1e2.10解析：選 CA(x，y)|x2y21，x，yZ(x，y)|x1，y0；或 x0，y1；或 x0，y0，B(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ(x，y)|x2，1，0，1，2；y2，1，0，1，2，AB 表示點集由 x11，0，1，x22，1，0，1，2，得 x1x23，2，1，0，1，2，3，共 7 種取值可能同理，由 y11，0，1，y22，1

9、，0，1，2，得 y1y23，2，1，0，1，2，3，共 7 種取值可能當(dāng) x1x23 或 3 時，y1y2可以為2，1，0，1，2 中的一個值，分別構(gòu)成 5 個不同的點，當(dāng) x1x22，1，0，1，2 時，y1y2可以為3，2，1，0，1，2，3 中的一個值，分別構(gòu)成 7 個不同的點，故 AB 共有 255745(個)元素第卷二、填空題(本大題共 7 小題，每小題 5 分，共 35 分，把答案填在題中橫線上)1112解析：畫出可行域，如圖陰影部分所示，設(shè) z3xy，則 y3xz.平移直線 y3x 知當(dāng)直線 y3xz 過點 A 時，z 取得最大值由xy4，xy2，可得 A(3，1)故 zmax

10、33110.答案：1013解析：f(x)2sin xsinx2 x22sin xcos xx2sin 2xx2，由 f(x)0，得 sin 2xx2.設(shè) y1sin 2x， y2x2， 在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出二者的圖象， 如圖所示 由圖象知，兩個函數(shù)圖象有兩個交點，故函數(shù) f(x)有兩個零點答案：214解析：(1)由 0.11.50.12.50.1a0.12.00.10.80.10.21，解得 a3.(2)區(qū)間0.3，0.5)內(nèi)的頻率為 0.11.50.12.50.4，故0.5，0.9)內(nèi)的頻率為 10.40.6.因此，消費金額在區(qū)間0.5，0.9內(nèi)的購物者的人數(shù)為 0.610 0006

11、000.答案：(1)3(2)6 00015解析：由題意，在ABC 中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又 AB600 m，故由正弦定理得600sin 45BCsin 30，解得 BC300 2 m.在 RtBCD 中，CDBCtan 30300 2331006(m)答案：100 616.解析：(1)取 AB 的中點 D，連接 CD，則 CDAB.由題意|AD|CD|1，故|AC| |CD|2|AD|2 2，即圓 C 的半徑為 2.又因為圓 C 與 x 軸相切于點 T(1，0)，所以圓心 C 的坐標(biāo)為(1， 2)，故圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y 2)22.(2)令(x1)

12、2(y 2)22 中的 x0，解得 y 21，故 B(0， 21)直線 BC 的斜率為21 2011，故切線的斜率為 1，切線方程為 yx 21.令 y0，解得 x 21，故所求截距為 21.答案：(1)(x1)2(y 2)22(2) 2117解析：(1)當(dāng) a0 時，f(x)x2，函數(shù) f(x)在區(qū)間0，1上單調(diào)遞增，故 g(a)f(1)1.(2)當(dāng) a0 時，函數(shù) f(x)的圖象如圖(1)所示，函數(shù) f(x)在區(qū)間0，1上單調(diào)遞增，故 g(a)f(1)1a.(3)當(dāng) 0a1 時，函數(shù) f(x)的圖象如圖(2)所示，fa2 a24，f(1)1a，fa2 f(1)a24(1a)（a2）284.

13、當(dāng) 0a2 22 時，因為 fa2 f(1)0，即 fa2 f(1)，所以 g(a)f(1)1a；當(dāng) 2 22a1 時，因為 fa2 f(1)0，即 fa2 f(1)，所以 g(a)fa2 a24.(4)當(dāng) 1a2 時，函數(shù) f(x)的圖象如圖(3)所示，因為函數(shù) f(x)在區(qū)間0，a2 上單調(diào)遞增，在區(qū)間a2，1上單調(diào)遞減，故 g(a)fa2 a24.(5)當(dāng) a2 時，函數(shù) f(x)的圖象如圖(4)所示，因為函數(shù) f(x)在區(qū)間0，1上單調(diào)遞增，故 g(a)f(1)a1.綜上，g(a)1a，a2 22，a24，2 22a2，a1，a2，當(dāng) a2 22 時，g(a)g(2 22)32 2；當(dāng)

14、 2 22a2 時，g(a)g(2 22)32 2；當(dāng) a2 時，g(a)g(2)132 2.綜上，當(dāng) a2 22 時，g(a)min32 2.答案：2 22三、解答題(解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)18解：(1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得 A5，2，6，數(shù)據(jù)補全如下表：x02322x123712561312Asin(x)05050且函數(shù)解析式為 f(x)5sin2x6 .(2)由(1)知 f(x)5sin2x6 ，因此 g(x)5sin2x6 65sin2x6 .因為 ysin x 的對稱中心為(k，0)，kZ，令 2x6k，kZ，解得 xk212，kZ，即 yg(x)圖象的對稱中心為

15、k212，0，kZ，其中離原點 O 最近的對稱中心為12，0.19解：(1)由題意有10a145d100，a1d2，即2a19d20，a1d2，解得a11，d2或a19，d29.故an2n1，bn2n1或an19（2n79） ，bn929n1.(2)由 d1，知 an2n1，bn2n1，故 cn2n12n1，于是 Tn1325227239242n12n1，12Tn123225237242n32n12n12n.可得12Tn21212212n22n12n32n32n，故 Tn62n32n1.20解：(1)因為 PD底面 ABCD，所以 PDBC.由底面 ABCD 為長方形，有 BCCD.而 PDC

16、DD，所以 BC平面 PCD.因為 DE平面 PCD，所以 BCDE.又因為 PDCD，點 E 是 PC 的中點，所以 DEPC.而 PCBCC，所以 DE平面 PBC.由 BC平面 PCD，DE平面 PBC，可知四面體 EBCD 的四個面都是直角三角形，即四面體 EBCD 是一個鱉臑，其四個面的直角分別是BCD，BCE，DEC，DEB.(2)由已知，PD 是陽馬 PABCD 的高，所以 V113S長方形ABCDPD13BCCDPD.由(1)知，DE 是鱉臑 DBCE 的高，BCCE，所以 V213SBCEDE16BCCEDE.在 RtPDC 中，因為 PDCD，點 E 是 PC 的中點，所以

17、 DECE22CD，于是V1V213BCCDPD16BCCEDE2CDPDCEDE4.21解：(1)由 f(x)，g(x)的奇偶性及f(x)g(x)ex，得f(x)g(x)ex.聯(lián)立解得f(x)12(exex)，g(x)12(exex)當(dāng) x0 時，ex1，0ex0.又由基本不等式，有 g(x)12(exex)exex1，即 g(x)1.(2)證明：由(1)得 f(x)12ex1ex12exexe2x12(exex)g(x)，g(x)12ex1ex12exexe2x12(exex)f(x)，當(dāng) x0 時，f（x）xag(x)(1a)等價于f(x)axg(x)(1a)x，f（x）x0，故 h(x

18、)在0，)上為增函數(shù)，從而 h(x)h(0)0，即 f(x)cxg(x)(1c)x，故成立b若 c1，由，得 h(x)0，故 h(x)在0，)上為減函數(shù)，從而 h(x)h(0)0，即 f(x)cxg(x)(1c)x，故成立綜上，知 ag(x)(1a)f（x）xbg(x)(1b)22解：(1)因為|OM|MN|NO|314，當(dāng) M，N 在 x 軸上時，等號成立；同理，|OM|MN|NO|312，當(dāng) D，O 重合，即 MNx 軸時，等號成立，所以橢圓 C 的中心為原點 O，長半軸長為 4，短半軸長為 2，其方程為x216y241.(2)當(dāng)直線 l 的斜率不存在時，直線 l 為 x4 或 x4，都有 SOPQ12448.當(dāng)直線 l 的斜率存在時，設(shè)直線 l：ykxmk12 ，由ykxm，x24y216，消去 y，可得(14k2)x28kmx4m2160.因為直線 l 總與橢圓 C 有且只有一個公共點，所以64k2m24(14k2)(4m216)0，即 m216k24.(*1)又由ykxm，x2y0，可得 P2m12k，m12k ；同理可得 Q2m12k，m12k .由原點 O 到直線 PQ 的距離為