2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(山東卷)(文科)

1、2015 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(山東卷)(文科)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分，共 150 分，考試時(shí)間 120 分鐘第卷一、選擇題(本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1已知集合 Ax|2x4，Bx|(x1)(x3)0，則 AB()A(1，3)B(1，4)C(2，3)D(2，4)2若復(fù)數(shù) z 滿足z1ii，其中 i 為虛數(shù)單位，則 z()A1iB1iC1iD1i3設(shè) a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，則 a，b，c 的大小關(guān)系是()AabcBacbCbacDbc0，則方程 x2xm0 有

2、實(shí)根”的逆否命題是()A若方程 x2xm0 有實(shí)根，則 m0B若方程 x2xm0 有實(shí)根，則 m0C若方程 x2xm0 沒(méi)有實(shí)根，則 m0D若方程 x2xm0 沒(méi)有實(shí)根，則 m06.為比較甲、乙兩地某月 14 時(shí)的氣溫情況，隨機(jī)選取該月中的 5 天，將這 5 天中 14 時(shí)的氣溫?cái)?shù)據(jù)(單位：)制成如圖所示的莖葉圖考慮以下結(jié)論：甲地該月 14 時(shí)的平均氣溫低于乙地該月 14 時(shí)的平均氣溫；甲地該月 14 時(shí)的平均氣溫高于乙地該月 14 時(shí)的平均氣溫；甲地該月 14 時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙地該月 14 時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差；甲地該月 14 時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月 14 時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差其中根據(jù)莖

3、葉圖能得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)論的編號(hào)為()ABCD7在區(qū)間0，2上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù) x，則事件“1log12x12 1”發(fā)生的概率為()A.34B.23C.13D.148若函數(shù) f(x)2x12xa是奇函數(shù)，則使 f(x)3 成立的 x 的取值范圍為()A(，1)B(1，0)C(0，1)D(1，)9已知等腰直角三角形的直角邊的長(zhǎng)為 2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A.2 23B.4 23C2 2D4 210設(shè)函數(shù) f(x)3xb，x0，y0 時(shí)，x y(2y) x 的最小值為_15過(guò)雙曲線 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線

4、，交 C于點(diǎn) P.若點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 2a，則 C 的離心率為_三、解答題(解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)16(本小題滿分 12 分)某中學(xué)調(diào)查了某班全部 45 名同學(xué)參加書法社團(tuán)和演講社團(tuán)的情況，數(shù)據(jù)如下表：(單位：人)參加書法社團(tuán)未參加書法社團(tuán)參加演講社團(tuán)85未參加演講社團(tuán)230(1)從該班隨機(jī)選 1 名同學(xué)，求該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率；(2)在既參加書法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的 8 名同學(xué)中，有 5 名男同學(xué) A1，A2，A3，A4，A5，3 名女同學(xué) B1，B2，B3.現(xiàn)從這 5 名男同學(xué)和 3 名女同學(xué)中各隨機(jī)選 1 人，求 A1被選中且 B1未被選中的概率17(本小

5、題滿分 12 分)ABC 中，角 A，B，C 所對(duì)的邊分別為 a，b，c.已知 cos B33，sin(AB)69，ac2 3，求 sin A 和 c 的值18(本小題滿分 12 分)如圖，三棱臺(tái) DEF ABC 中，AB2DE，G，H 分別為 AC，BC的中點(diǎn)(1)求證：BD平面 FGH；(2)若 CFBC，ABBC，求證：平面 BCD平面 EGH.19(本小題滿分 12 分)已知數(shù)列an是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列1anan1的前 n 項(xiàng)和為n2n1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè) bn(an1)2an，求數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 Tn.20(本小題滿分 13 分)設(shè)函數(shù) f(x)(x

6、a)ln x，g(x)x2ex.已知曲線 yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線與直線 2xy0 平行(1)求 a 的值；(2)是否存在自然數(shù) k，使得方程 f(x)g(x)在(k，k1)內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出 k；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)設(shè)函數(shù) m(x)minf(x)，g(x)(minp，q表示 p，q 中的較小值)，求 m(x)的最大值21(本小題滿分 14 分)平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的離心率為32，且點(diǎn)3，12 在橢圓 C 上(1)求橢圓 C 的方程；(2)設(shè)橢圓 E：x24a2y24b21，P 為橢圓 C 上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P

7、 的直線 ykxm 交橢圓 E于 A，B 兩點(diǎn)，射線 PO 交橢圓 E 于點(diǎn) Q.求|OQ|OP|的值；求ABQ 面積的最大值參考答案與詳解本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分，共 150 分，考試時(shí)間 120 分鐘第卷一、選擇題(本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1解析：選 C由題意知 Bx|1x3，又因?yàn)?Ax|2x4，所以 ABx|2x3，即(2，3)2解析：選 A由已知得 zi(1i)1i，則 z1i，故選 A.3解析：選 C因?yàn)楹瘮?shù) y0.6x是減函數(shù)，00.60.60.60.61.5，即 ba1.因?yàn)楹瘮?shù)

8、 yx0.6在(0，)上是增函數(shù)，110.61，即 c1.綜上，ba0，則方程 x2xm0 有實(shí)根”的逆否命題是“若方程 x2xm0 沒(méi)有實(shí)根，則 m0”故選 D.6.解析：選 B法一：x甲2628293131529，x乙2829303132530，x甲s乙故可判斷結(jié)論正確法二：甲地該月 14 時(shí)的氣溫?cái)?shù)據(jù)分布在 26 和 31 之間，且數(shù)據(jù)波動(dòng)較大，而乙地該月14 時(shí)的氣溫?cái)?shù)據(jù)分布在 28 和 32 之間，且數(shù)據(jù)波動(dòng)較小，可以判斷結(jié)論正確，故選 B.7 解析： 選 A不等式1log12x12 1 可化為 log122log12x12 log1212， 即12x122，解得 0 x32，故由幾

9、何概型的概率公式得 P3202034.8解析：選 C因?yàn)楹瘮?shù) yf(x)為奇函數(shù)，所以 f(x)f(x)，即2x12xa2x12xa.化簡(jiǎn)可得 a1， 則2x12x13， 即2x12x130， 即2x13（2x1）2x10， 故不等式可化為2x22x10，即 12x2，解得 0 x1，故選 C.9解析： 選 B繞等腰直角三角形的斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體為兩個(gè)底面重合，等體積的圓錐，如圖所示每一個(gè)圓錐的底面半徑和高都為 2，故所求幾何體的體積 V213(2)2 24 23.10解析：選 Df56 356b52b，若52b32，則 352bb1524b4，解得 b78，不符合題

10、意，舍去；若52b1，即 b32，則 252b4，解得 b12.第卷二、填空題(本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分把答案填在題中橫線上)11解析：當(dāng) x1 時(shí)，12，則 x112；當(dāng) x2 時(shí)，不滿足 x0， y0， 故 x y(2y) xx2y2xy4y2x22xyx22y22xy2 2xy2xy 2，當(dāng)且僅當(dāng) x 2y 時(shí)，等號(hào)成立答案： 215解析：如圖所示，不妨設(shè)與漸近線平行的直線 l 的斜率為ba，又直線 l 過(guò)右焦點(diǎn) F(c，0)，則直線 l 的方程為 yba(xc)因?yàn)辄c(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 2a，代入雙曲線方程得4a2a2y2b21，化簡(jiǎn)得 y 3b 或 y 3b(點(diǎn)

11、 P 在 x 軸下方，故舍去)，故點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(2a， 3b)，代入直線方程得 3bba(2ac)，化簡(jiǎn)可得離心率 eca2 3.答案：2 3三、解答題(解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)16解：(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，既未參加書法社團(tuán)又未參加演講社團(tuán)的有 30 人，故至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的共有 453015(人)，所以從該班隨機(jī)選 1 名同學(xué)，該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率為 P154513.(2)從這 5 名男同學(xué)和 3 名女同學(xué)中各隨機(jī)選 1 人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A

12、3，B3，A4，B1，A4，B2，A4，B3，A5，B1，A5，B2，A5，B3，共 15 個(gè)根據(jù)題意，這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的事件“A1被選中且 B1未被選中”所包含的基本事件有：A1，B2，A1，B3，共 2 個(gè)因此 A1被選中且 B1未被選中的概率為 P215.17解：在ABC 中，由 cos B33，得 sin B63，因?yàn)?ABC，所以 sin Csin(AB)69.因?yàn)?sin Csin B，所以 CB，可得 C 為銳角，所以 cos C5 39，因此 sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C635 3933692 23.由asin Acsin C，可得

13、 acsin Asin C2 23c692 3c.又 ac2 3，所以 c1.18證明：(1)法一：如圖，連接 DG，設(shè) CDGFO，連接 OH.在三棱臺(tái) DEFABC 中，AB2DE，G 為 AC 的中點(diǎn)，可得 DFGC，DFGC，所以四邊形 DFCG 為平行四邊形，則 O 為 CD 的中點(diǎn)又 H 為 BC 的中點(diǎn)，所以 OHBD.又 OH平面 FGH，BD 平面 FGH，所以 BD平面 FGH.法二：在三棱臺(tái) DEFABC 中，由 BC2EF，H 為 BC 的中點(diǎn)，可得 BHEF，BHEF，所以四邊形 BHFE 為平行四邊形，可得 BEHF.在ABC 中，G 為 AC 的中點(diǎn)，H 為 BC

14、 的中點(diǎn)，所以 GHAB.又 GHHFH，所以平面 FGH平面 ABED.因?yàn)?BD平面 ABED，所以 BD平面 FGH.(2)連接 HE.因?yàn)?G，H 分別為 AC，BC 的中點(diǎn)，所以 GHAB.由 ABBC，得 GHBC.又 H 為 BC 的中點(diǎn)，所以 EFHC，EFHC，因此四邊形 EFCH 是平行四邊形所以 CFHE.又 CFBC，所以 HEBC.又 HE，GH平面 EGH，HEGHH，所以 BC平面 EGH.又 BC平面 BCD，所以平面 BCD平面 EGH.19解：(1)設(shè)數(shù)列an的公差為 d，令 n1，得1a1a213，所以 a1a23.令 n2，得1a1a21a2a325，所

15、以 a2a315.由解得 a11，d2，所以 an2n1.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意(2)由(1)知 bn2n22n1n4n，所以 Tn141242n4n，所以 4Tn142243n4n1，兩式相減，得3Tn41424nn4n14（14n）14n4n113n34n143，所以 Tn3n194n1494（3n1）4n19.20解：(1)由題意知，曲線 yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線斜率為 2，所以 f(1)2.又 f(x)ln xax1，所以 a1.(2)當(dāng) k1 時(shí)，方程 f(x)g(x)在(1，2)內(nèi)存在唯一的根設(shè) h(x)f(x)g(x)(x1)ln xx2ex，當(dāng) x(0，1時(shí)，h(x)0.

16、又 h(2)3ln 24e2ln 84e2110，所以存在 x0(1，2)，使得 h(x0)0.因?yàn)?h(x)ln x1x1x（x2）ex，所以當(dāng) x(1，2)時(shí)，h(x)11e0，當(dāng) x(2，)時(shí)，h(x)0，所以當(dāng) x(1，)時(shí)，h(x)單調(diào)遞增所以當(dāng) k1 時(shí)，方程 f(x)g(x)在(k，k1)內(nèi)存在唯一的根(3)由(2)知，方程 f(x)g(x)在(1，2)內(nèi)存在唯一的根 x0，且 x(0，x0)時(shí)，f(x)g(x)，x(x0，)時(shí)，f(x)g(x)，所以 m(x)（x1）ln x，x（0，x0，x2ex，x（x0，）.當(dāng) x(0，x0)時(shí)，若 x(0，1，m(x)0；若 x(1，x

17、0)，由 m(x)ln x1x10，可知 0m(x)m(x0)；故 m(x)m(x0)當(dāng) x(x0，)時(shí)，由 m(x)x（2x）ex，可得 x(x0，2)時(shí)，m(x)0，m(x)單調(diào)遞增；x(2，)時(shí)，m(x)0，m(x)單調(diào)遞減可知 m(x)m(2)4e2，且 m(x0)m(2)綜上可得，函數(shù) m(x)的最大值為4e2.21解：(1)由題意知3a214b21.又a2b2a32，解得 a24，b21.所以橢圓 C 的方程為x24y21.(2)由(1)知，橢圓 E 的方程為x216y241.設(shè) P(x0，y0)，|OQ|OP|.由題意知 Q(x0，y0)因?yàn)閤204y201，又（x0）216（y0）241，即24x204y201，所以2，即|OQ|OP|2.設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)將 ykxm 代入橢圓 E 的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160，由0，可得 m2416k2.()則有 x1x28km14k2，x1x24m21614k2.所以|