2007年高考數(shù)學(xué)試題湖南卷（文科）

1、2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖南卷數(shù)學(xué)（文史類）全解全析一選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1不等式的解集是 A B. C. D. 【答案】D 【解析】由得x（x-1）>0，所以解集為2若O、E、F是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立的是 A B. C. D. 【答案】B 【解析】由向量的減法知3. 設(shè)，有實(shí)根，則是的 A充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】判別式大于0，關(guān)于 的方程有實(shí)根；但關(guān)于 的方程有實(shí)根，判別可以等于04在等比數(shù)列中，若，

2、則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為 A B. C. D. 【答案】B【解析】由，所以5在的二項(xiàng)展開式中，若只有的系數(shù)最大，則 A8 B. 9 C. 10 D.11 【答案】C 【解析】只有的系數(shù)最大，是展開式的第6項(xiàng)，第6項(xiàng)為中間項(xiàng)，展開式共有11項(xiàng)，故n=106如圖1，在正四棱柱 中，E、F分別是的中點(diǎn)，則以下結(jié)論中不成立的是A B. C. D. 【答案】D圖1【解析】連B1C，則B1C交BC1于F且F為BC1中點(diǎn)，三角形B1AC中EF，所以EF平面ABCD，而B1B面ABCD，所以；又ACBD，所以，。由EF，ACA1C1得EFA1C17根據(jù)某水文觀測點(diǎn)的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，得到某條河流水位的頻率分布直方圖

3、（如圖2），從圖中可以看出，該水文觀測點(diǎn)平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是 A48米 B. 49米 C. 50米 D. 51米 圖2【答案】C【解析】由頻率分布直方圖知水位為50米的頻率/組距為1%，即水文觀測點(diǎn)平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是50米。8函數(shù) 的圖象和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是A1 B.2 C.3 D. 4【答案】C【解析】由圖像可知交點(diǎn)共有3個(gè)。9設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是其右準(zhǔn)線上縱坐標(biāo)為（為半焦距）的點(diǎn)，且，則橢圓的離心率是A B. C. D. 【答案】D【解析】由已知P（），所以化簡得10. 設(shè)集合，的含兩個(gè)元素的子集，且滿 足：對(duì)任意的，都有.則的最

4、大值是A10 B.11 C. 12 D. 13【答案】B【解析】含2個(gè)元素的子集有15個(gè)，但1，2、2，4、3，6只能取一個(gè)；1，3、2，6只能取一個(gè)；2，3、4，6只能取一個(gè)，故滿足條件的兩個(gè)元素的集合有11個(gè)。二填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在橫線上.11. 圓心為且與直線相切的圓的方程是 .【答案】【解析】半徑R=，所以圓的方程為12. 在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為，若，則A=.【答案】【解析】由正弦定理得，所以A=13. 若.【答案】3【解析】由得，所以22b14. 設(shè)集合，（1）的取值范圍是 .（2）若且的最大值為9，則的值是 .【答案】（1）（2）【解析

5、】（1）由圖象可知的取值范圍是；（2）若則（x，y）在圖中的四邊形內(nèi)，t=在（0，b）處取得最大值，所0+2b=9，所以b=15.棱長為1的正方形的8個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積是 ；設(shè)分別是該正方形的棱的中點(diǎn)，則直線被球O截得的線段長為 .【答案】，【解析】正方體對(duì)角線為球直徑，所以，所以球的表面積為；由已知所求EF是正方體在球中其中一個(gè)截面的直徑，d=，所以，所以EF=2r=。三解答題：本大題共小題，共75分. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.（本小題滿分分）已知函數(shù).求：()函數(shù)的最小正周期；（）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.解：（I）函數(shù)的最小正周期是；（II）當(dāng)，即（）時(shí)

6、，函數(shù)是增函數(shù)，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）17.（本小題滿分分）某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn)，以提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn).已知參加過財(cái)會(huì)培訓(xùn)的有60%，參加過計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有75%.假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的，且各人的選擇相互之間沒有影響. ()任選1名下崗人員，求該人參加過培訓(xùn)的概率； ()任選3名下崗人員，求這3人中至少有2人參加過培訓(xùn)的概率.解：任選1名下崗人員，記“該人參加過財(cái)會(huì)培訓(xùn)”為事件，“該人參加過計(jì)算機(jī)培訓(xùn)”為事件，由題設(shè)知，事件與相互獨(dú)立，且，（I）解法一任選1名下崗人員，該人沒有參加過培訓(xùn)的概

7、率是所以該人參加過培訓(xùn)的概率是解法二任選1名下崗人員，該人只參加過一項(xiàng)培訓(xùn)的概率是該人參加過兩項(xiàng)培訓(xùn)的概率是所以該人參加過培訓(xùn)的概率是（II）解法一任選3名下崗人員，3人中只有2人參加過培訓(xùn)的概率是3人都參加過培訓(xùn)的概率是所以3人中至少有2人參加過培訓(xùn)的概率是解法二任選3名下崗人員，3人中只有1人參加過培訓(xùn)的概率是3人都沒有參加過培訓(xùn)的概率是所以3人中至少有2人參加過培訓(xùn)的概率是18.（本小題滿分4分）如圖，已知直二面角，直線CA和平面所成的角為. ()證明； ()求二面角的大小.解：（I）在平面內(nèi)過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)因?yàn)椋?，ABCQPOH又因?yàn)椋远?，所以，從而又，所以平面因?yàn)槠矫?，故（I

8、I）解法一：由（I）知，又，所以過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)，由三垂線定理知，故是二面角的平面角由（I）知，所以是和平面所成的角，則，不妨設(shè)，則，在中，所以，于是在中，故二面角的大小為解法二：由（I）知，故可以為原點(diǎn)，分別以直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）因?yàn)椋允呛推矫嫠傻慕?，則不妨設(shè)，則，ABCQPOxyz在中，所以則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，所以，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由得取，得易知是平面的一個(gè)法向量設(shè)二面角的平面角為，由圖可知，所以故二面角的大小為19.（本小題滿分13分）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的動(dòng)直線與雙曲線相交與A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，0）.（）證明為常數(shù)；（）若動(dòng)點(diǎn)（

9、其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程. 解：由條件知，設(shè)，（I）當(dāng)與軸垂直時(shí)，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，此時(shí)當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是代入，有則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，于是綜上所述，為常數(shù)（II）解法一：設(shè)，則，由得：即于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)不與軸垂直時(shí)，即又因?yàn)閮牲c(diǎn)在雙曲線上，所以，兩式相減得，即將代入上式，化簡得當(dāng)與軸垂直時(shí)，求得，也滿足上述方程所以點(diǎn)的軌跡方程是解法二：同解法一得當(dāng)不與軸垂直時(shí)，由（I） 有由得當(dāng)時(shí)，由得，將其代入有整理得當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，滿足上述方程當(dāng)與軸垂直時(shí)，求得，也滿足上述方程故點(diǎn)的軌跡方程是20.（本小題滿分13分）設(shè)，.（）證明數(shù)列是常數(shù)數(shù)列； （）試找出一個(gè)奇數(shù)，

10、使以18為首項(xiàng)，7為公比的等比數(shù)列中的所有項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)，并指出是數(shù)列中的第幾項(xiàng). 解：（I）當(dāng)時(shí)，由已知得因?yàn)?，所?于是 由得：于是由得：即數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列（II）由有，所以由有，所以，而表明：數(shù)列和分別是以，為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列所以，由題設(shè)知，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，而為偶數(shù)，所以不是數(shù)列中的項(xiàng)，只可能是數(shù)列中的項(xiàng)若是數(shù)列中的第項(xiàng)，由得，取，得此時(shí)，由得，從而是數(shù)列中的第項(xiàng)（注：考生取滿足，的任一奇數(shù)，說明是數(shù)列中的第項(xiàng)即可）21.（本小題滿分13分）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn).（）求的最大值； （）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，若在點(diǎn)A處穿過的圖象（即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)A附近沿曲線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，從的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)），求函數(shù)的表達(dá)式.解：（I）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間，內(nèi)分別有一個(gè)極值點(diǎn)，所以在，內(nèi)分別有一個(gè)實(shí)根，設(shè)兩實(shí)根為（），則，且于是，且當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立故的最大值是16（II）解法一