小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)答手冊(cè)一整數(shù)

1、小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)答手冊(cè)一、整數(shù)1.為什么古代中國(guó)應(yīng)稱為數(shù)學(xué)王國(guó)？我國(guó)古代數(shù)學(xué)家，創(chuàng)造了光輝的業(yè)績(jī)，在許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域處于領(lǐng)先地位。因此我國(guó)應(yīng)稱為古代數(shù)學(xué)王國(guó)。僅舉幾例說(shuō)明。約公元前5世紀(jì)，我國(guó)數(shù)學(xué)家就研究了幻方。即從1到n2的自然數(shù)排列成縱橫各有n個(gè)數(shù)的正方形，使每行、每列、有時(shí)還包括每條主對(duì)角線上的方。如圖，每行每列3個(gè)數(shù)的和都是15，而且兩條主對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)的和也都是15。西方人大約在14世紀(jì)才開(kāi)始研究幻方構(gòu)造。比我國(guó)晚約2000年。公元1世紀(jì)，我國(guó)數(shù)學(xué)家就開(kāi)始研究開(kāi)平方法與開(kāi)立方法。魏晉間杰出的數(shù)學(xué)家劉徽在公元263年又有所發(fā)展，而西方出現(xiàn)類(lèi)似的方法晚于公元 390年。我國(guó)對(duì)于一元同余方程組的研

2、究約在公元400年時(shí)就開(kāi)始了，到了秦九韶時(shí)代（公元1247年）已經(jīng)有完整的解法，被世界稱為“中國(guó)剩余定理?！蔽覈?guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之（429-500）在公元500年之前，已將圓周率計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后7位，得到3.1415926n3.1415927，又結(jié)果的。祖沖之之子祖暅提出“祖暅原理”之后的1200年，意大利數(shù)學(xué)家B.卡瓦列里才重新發(fā)現(xiàn)這個(gè)事實(shí)。我們最早提出的代數(shù)方程的近似解法-秦九韶法，賈憲三角形或稱楊輝三角形是世界上最早研究二項(xiàng)式展開(kāi)式系數(shù)的三角形，比西方巴斯卡三角形早四五百年。2.數(shù)的概念是怎樣發(fā)展起來(lái)的？數(shù)的概念是由人類(lèi)生產(chǎn)和生活的實(shí)踐需要而逐漸形成和發(fā)展起來(lái)的。在人類(lèi)歷史發(fā)展的最初階段，由

3、于計(jì)量的需要，形成了自然數(shù)（也叫“正整數(shù)”）的概念。以后隨著生產(chǎn)和科學(xué)的發(fā)展，數(shù)的概念也得到發(fā)展。為了表示各種具有相反意義的量以及滿足記數(shù)法的要求，人們引進(jìn)了零及負(fù)數(shù)，把自然數(shù)看作正整數(shù)，把正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)合并在一起，構(gòu)成整數(shù)。為了解決測(cè)量、分配中遇到的將某些量進(jìn)行等分的問(wèn)題，人們又引進(jìn)了樣，就把整數(shù)擴(kuò)大為有理數(shù)。為了解決這些量與量之間的比值（例如，正方形對(duì)角線和邊長(zhǎng)的比），不能用有理數(shù)表示，人們又引進(jìn)了無(wú)理數(shù)。無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的全體組成實(shí)數(shù)。實(shí)數(shù)概念的產(chǎn)生經(jīng)過(guò)相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間，然而在解方程中，像x2=-1無(wú)法解下去時(shí)，促使人們考慮數(shù)的概念還應(yīng)繼續(xù)發(fā)展。到16世紀(jì)，人們開(kāi)

4、始引進(jìn)一個(gè)新數(shù)i，叫虛數(shù)單位，并明確規(guī)定i2=-1，使數(shù)的概念發(fā)展到復(fù)數(shù)。3.怎樣理解自然數(shù)的含義？在數(shù)（sh）物體個(gè)數(shù)的過(guò)程中，我們數(shù)（sh）出的一，二，三，四，五，都叫做自然數(shù)。誰(shuí)也不能把自然數(shù)全部數(shù)出來(lái)或全部寫(xiě)出來(lái)。因此，自然數(shù)有無(wú)限多個(gè)。1是自然數(shù)的單位。任何自然數(shù)都是由若干個(gè)“1”組成的。1是最小的自然數(shù)，但是自然數(shù)沒(méi)有最大的。從集合的觀點(diǎn)看，每一個(gè)自然數(shù)是一類(lèi)等價(jià)的非空有限集合的標(biāo)記。它表示非空有限集合中的元素的個(gè)數(shù)。例如，把兩支鉛筆作為一個(gè)集合，把一個(gè)人的兩個(gè)耳朵作為一個(gè)集合，這兩個(gè)集合是等價(jià)集合。又如，把五本練習(xí)本作為一個(gè)集合，把人的一只手上的手指作為一個(gè)集合，這兩個(gè)集合也是等

5、價(jià)集合。前者等價(jià)集合的標(biāo)記是“2”，后者等價(jià)集合的標(biāo)記是“5”。它們都是自然數(shù)。4.自然數(shù)的性質(zhì)有哪些？自然數(shù)的性質(zhì)有下列幾點(diǎn)：（1） 1是自然數(shù)；（2）每一個(gè)確定的自然數(shù) a.都有一個(gè)確定的后繼數(shù) a，a也是自然數(shù)。（一個(gè)數(shù)的后繼數(shù)就是緊接在這個(gè)數(shù)后面的數(shù)。例如，1的后繼數(shù)是2，2的后繼數(shù)是3，等等。）；（3）如果b、c都是自然數(shù)a的后繼數(shù)，那么b=c；（4） 1不是任何自然數(shù)的后繼數(shù)；（5）任意關(guān)于自然數(shù)的命題，如果證明了它對(duì)自然數(shù)1是對(duì)的，又假定它對(duì)自然數(shù)n為真時(shí)，可以證明它對(duì)n的后繼數(shù)n也真，那么，命題對(duì)所有自然數(shù)都真。以上五條自然數(shù)的性質(zhì)是由意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾（1858-1932年）

6、提出來(lái)的，通常把它叫做自然數(shù)的皮亞諾公理。其中的性質(zhì)（5）是數(shù)學(xué)歸納法的依據(jù)。5.怎樣理解自然數(shù)列的含義？我們把自然數(shù)大家庭中的所有成員按照從小到大的順序排成一列長(zhǎng)長(zhǎng)的隊(duì)伍，自然數(shù)1是這個(gè)隊(duì)伍的“排頭兵”，2排在1的后面，3排在2的后面這樣一直排下去，誰(shuí)也看不見(jiàn)這個(gè)隊(duì)伍的排尾。我們把這樣排成的一列長(zhǎng)長(zhǎng)的看不到尾的“隊(duì)伍”叫做自然數(shù)列?？傊?，從“一”起，把自然數(shù)按照由小到大的順序排列起來(lái)，就得到一列數(shù)：一、二、三、四、五、六這個(gè)依次排列著的全體自然數(shù)的集合，叫做自然數(shù)列。6.自然數(shù)列的性質(zhì)有哪些？自然數(shù)列的性質(zhì)主要有以下三點(diǎn)：（1）自然數(shù)列是有序的。自然數(shù)列里的自然數(shù)都是按照一定順序排列著的，在

7、“1”后面的一個(gè)自然數(shù)是“2”，在“2”后面的一個(gè)自然數(shù)是“3”，這就是說(shuō)，每個(gè)自然數(shù)后面都有一個(gè)而且只有一個(gè)后繼數(shù)。（3）自然數(shù)列是無(wú)限的。自然數(shù)列里不存在“最后的數(shù)”，即自然數(shù)列里的數(shù)是無(wú)限的。7.常說(shuō)“自然數(shù)有兩方面的意義：一是基數(shù)的意義，二是序數(shù)的意義”，這是怎么一回事呢？在日常生活中，自然數(shù)在不同的情況下有不同的意義。例如，同學(xué)們?cè)谏象w育課的時(shí)候，有時(shí)排成一列橫隊(duì)，老師發(fā)出口令：“報(bào)數(shù)！”，于是從橫隊(duì)由右邊排頭開(kāi)始，一！二！三！四！，排尾報(bào)的是三十五。我們知道，橫隊(duì)里的學(xué)生同自然數(shù)列里的自然數(shù)從1開(kāi)始到35為止，建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。自然數(shù)“ 1”對(duì)應(yīng)自右起的第一個(gè)學(xué)生，自然數(shù)“2”對(duì)

8、應(yīng)自右起的第二個(gè)學(xué)生，自然數(shù)“35”對(duì)應(yīng)自右起的第三十五個(gè)學(xué)生（即排尾）。這個(gè)“35”，既可以表示這橫隊(duì)共有35個(gè)學(xué)生，也可以表示站在排尾的這個(gè)學(xué)生是第35號(hào)。我們可以把這一橫隊(duì)的學(xué)生的全體看做是一個(gè)集合，其中每一個(gè)學(xué)生，可以看做是這個(gè)集合中的一個(gè)元素。就這樣，用來(lái)表示事物數(shù)量多少的自然數(shù)叫做基數(shù)；用來(lái)表示事物次序的自然數(shù)叫做序數(shù)。這就是平常所說(shuō)的自然數(shù)有兩重意義，一是基數(shù)的意義，二是序數(shù)的意義。所謂基數(shù)的意義，即被數(shù)的事物有“多少個(gè)”；所謂序數(shù)的意義，即最后被數(shù)的事物是“第幾個(gè)”。為了使學(xué)生懂得自然數(shù)的雙重意義，可以舉些實(shí)例予以說(shuō)明。例如，大家都伸出1只手來(lái)，從大拇指開(kāi)始數(shù)到小指：一，二，三

9、，四，五！這個(gè)“五”可以表示一只手共有五個(gè)手指，也可以表示小指是第五號(hào)。在數(shù)軸上也可以同時(shí)反映出自然數(shù)的兩個(gè)含義。（如圖）數(shù)軸上的“5”，一方面表示的點(diǎn)是原點(diǎn)右邊的“第5個(gè)”整點(diǎn)，這時(shí)“5”就是序數(shù)；另一方面，用“5”表示的點(diǎn)同原點(diǎn)之間的距離是“5個(gè)”單位，這時(shí)“5”就是基數(shù)。 8.什么叫擴(kuò)大的自然數(shù)列？我們知道自然數(shù)列是按照后面的一個(gè)自然數(shù)比前面的一個(gè)多1的順序排列的。1比0也是多1，可以把0寫(xiě)在自然數(shù)列的前面，就得到由小到大依次排列的一個(gè)序列。0，1，2，3，4，5，叫做擴(kuò)大的自然數(shù)列。在擴(kuò)大的自然數(shù)列里，只有零不是自然數(shù)，其他的數(shù)都是自然數(shù)。零和自然數(shù)都是整數(shù)。9.什么叫做數(shù)字？常見(jiàn)的數(shù)

10、字有哪幾種？用來(lái)記數(shù)的符號(hào)（或文字）叫做數(shù)字。常見(jiàn)的數(shù)字有：阿拉伯?dāng)?shù)字：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9；中國(guó)小寫(xiě)數(shù)字：、一、二、三、四、五、六、七、八、九、十；中國(guó)大寫(xiě)數(shù)字：零、壹、貳、叁、肆、伍、陸、柒、捌、玖、拾、佰、仟、萬(wàn)、億、兆；羅馬數(shù)字：I、 V、 X、 L、 C、 D、 M。（1）（5）（10）（50）（100）（500）（1000）阿拉伯?dāng)?shù)字，是現(xiàn)在世界各國(guó)通用的數(shù)字，在我們的數(shù)學(xué)書(shū)上也使用阿拉伯?dāng)?shù)字。中國(guó)數(shù)字，不論大寫(xiě)的還是小寫(xiě)的，在我國(guó)的許多書(shū)上常常見(jiàn)到。在一些重要的文件編號(hào)上，在商店的發(fā)貨票上都采用了中國(guó)大寫(xiě)數(shù)字。羅馬數(shù)字是過(guò)去歐洲人常用的數(shù)字，由于它在記數(shù)時(shí)非常麻

11、煩，后來(lái)逐漸被阿拉伯?dāng)?shù)字所代替。今天，在一些鐘表盤(pán)上還能見(jiàn)到它。10.你知道我國(guó)數(shù)字的歷史嗎？我國(guó)古代很早就有了數(shù)字。最初的數(shù)字還不可考。只有把數(shù)字刻在龜甲和獸骨上時(shí)，才有可能留傳下來(lái)。在我國(guó)河南省發(fā)現(xiàn)的殷墟甲骨文卜辭中有很多記數(shù)的文字，說(shuō)明早在三千多年前人們已經(jīng)能用一、二、三、十、百、千、萬(wàn)等記數(shù)，并且采用十進(jìn)制，只是文字的形體和后來(lái)的有所不同。下面是甲骨文的十三個(gè)記數(shù)單字：這些數(shù)字可以說(shuō)是我國(guó)現(xiàn)存最早的數(shù)字了。由甲骨文數(shù)字幾經(jīng)演變，才形成現(xiàn)代的漢字?jǐn)?shù)字。我國(guó)古代還有用小竹棍或小木棍擺出來(lái)記數(shù)和計(jì)算的，這叫做“算籌”。據(jù)文獻(xiàn)記載，算籌除竹籌外，還有木籌、鐵籌、骨籌、玉籌和牙籌，并且有盛裝算籌

12、的算袋和算子筒。算籌記數(shù)的規(guī)則，最早載于孫子算經(jīng)：“凡算之法先識(shí)其位。一縱十橫，百立千僵。千、十相望，萬(wàn)、百相當(dāng)?！庇盟慊I表示數(shù)目有縱、橫兩種方式：表示一個(gè)多位數(shù)，是把各位數(shù)碼由高位到低位從左至右橫列。各位籌式必須縱橫相間：個(gè)位、百位、萬(wàn)位等用縱式；十位、千位、十萬(wàn)位等用橫式。例如1987用算籌表示出來(lái)是。數(shù)字“零”表為空位，例如6023用算籌表示出來(lái)是。這與現(xiàn)今的十進(jìn)制記數(shù)法基本一致。我國(guó)明、清時(shí)代，在商業(yè)上曾用過(guò)如下的數(shù)碼：這種數(shù)字，也叫做“蘇州碼子”，又叫“草碼”，直到解放前，有時(shí)記帳還用它?，F(xiàn)在我們用的中國(guó)小寫(xiě)數(shù)字：一、二、三、四、五、六、七、八、九、十是由甲骨文的數(shù)字演變而來(lái)的。此外

13、，現(xiàn)在人們還可以在發(fā)貨票上見(jiàn)到中國(guó)大寫(xiě)數(shù)字：零、壹、貳、叁、肆、伍、陸、柒、捌、玖、拾、佰、仟、萬(wàn)。雖然我國(guó)的大寫(xiě)數(shù)字是目前世界上最繁的數(shù)字，但是它的優(yōu)點(diǎn)是不易涂改，因此我國(guó)還把它用在會(huì)計(jì)工作中以及在重要票證或證件的編號(hào)上。11.“0”是不是只表示沒(méi)有？這個(gè)問(wèn)題要分兩方面來(lái)講。首先講一講“0”是表示“沒(méi)有”；其次講一講“ 0”不只是表示“沒(méi)有”，還有更豐富的內(nèi)容。在日常生活中，有時(shí)會(huì)遇到一件事物也沒(méi)有的情況。例如：全班同學(xué)都到操場(chǎng)上體育課去了，教室里一個(gè)同學(xué)也沒(méi)有了，這時(shí)教室里學(xué)生的人數(shù)，就用“0”表示。既然“0”不僅僅是表示“沒(méi)有”，那么它還有哪些意義和作用呢？（1）表示分界。“0”是正負(fù)數(shù)

14、的分界，“0”既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，它是僅有的一個(gè)中性數(shù)?！?”對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上是一個(gè)特定點(diǎn)，由它決定了其他點(diǎn)的位置。從這點(diǎn)起在一條直線上的某一方向被定為正，而相反的方向則為負(fù)。因此，原點(diǎn)“0”比表示正負(fù)數(shù)的任何點(diǎn)都更重要。又如，在溫度計(jì)上，“0”度是零上溫度和零下溫度的分界。在通常情況下，攝氏零度是水開(kāi)始結(jié)冰的溫度。有時(shí)說(shuō)：“今天的氣溫是零攝氏度”，并不是說(shuō)今天沒(méi)有溫度，而是指氣溫是零度。（ 2）“ 0”占有數(shù)位。在記數(shù)時(shí)，當(dāng)某個(gè)數(shù)的某些數(shù)位上一個(gè)計(jì)數(shù)單位也沒(méi)有時(shí)（即空位），就用“0”表示。例如，九十可以記作90，三百零五可以記作305。這里的“0”不能隨意增添或去掉，因?yàn)樗钦加袛?shù)位的。如果隨

15、意增添或去掉，那么，不是把表示的數(shù)量擴(kuò)大了若干倍就是縮小了若干倍?？芍?，“0”在寫(xiě)數(shù)時(shí)是起到占位作用的。（3）“0”可以做為起點(diǎn)。例如，從甲城到乙城的公路上，靠近路邊栽有里程碑，每隔1千米栽1個(gè)。開(kāi)始第一個(gè)石頭樁上刻的號(hào)是“0”，表明這段公路的起點(diǎn)。又如，米尺上的一個(gè)端點(diǎn)的刻度“0”表示起點(diǎn)，可以把被量的物體端點(diǎn)放在0處起量，是準(zhǔn)確的。12.“ 0”的性質(zhì)有哪些？在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，有關(guān)“0”的性質(zhì)分散在各部分內(nèi)容里?，F(xiàn)集中起來(lái)，簡(jiǎn)述如下：（1） 0是一個(gè)數(shù)，并且是一個(gè)整數(shù)，但0不是自然數(shù)，它比一切自然數(shù)都小。（2）在十進(jìn)制記數(shù)法中，0起占位的作用。（3）0是一個(gè)偶數(shù)。（4） 0是任意自然數(shù)的倍

16、數(shù)。（5）任何數(shù)與0相加，它的值不變，即a0=0a=a。（6）任何數(shù)減0，它的值不變，即a-0=a。（7）相同的兩個(gè)數(shù)相減，差等于0，即a-a=0。（8）任何數(shù)與 0相乘，積等于 0，即a×0=0×a=0。（9）0被非零的數(shù)除，商等于0，即如果 a0，那么0÷a=0。（10）0不能作除數(shù)。例如：3÷0，0÷0，這類(lèi)式子是沒(méi)有意義的。隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的擴(kuò)充，0的性質(zhì)也將進(jìn)一步擴(kuò)充。比如，當(dāng)引進(jìn)負(fù)數(shù)之后，0是唯一的中性數(shù)，即既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)；引入絕對(duì)值的概念后，0的絕對(duì)值等于0，即0=0；引入指數(shù)概念后，任何非零的數(shù)的 0次冪等于1，即如果 a0

17、，那么a°=1；等等。13.怎樣用羅馬數(shù)字記數(shù)？羅馬數(shù)字是羅馬人創(chuàng)造的記數(shù)符號(hào)。基本的共有7個(gè)：1（表示1），V（表示 5）， X（表示 10），L（表示 50），C（表示 100），D（表示500），M（表示1000）。這些數(shù)字在位置上不論怎么變化，所代表的數(shù)是不變的。羅馬記數(shù)法是把羅馬數(shù)字按照下列法則并列起來(lái)表示數(shù)。（l）相同的數(shù)字連寫(xiě)，或者把較小的數(shù)字寫(xiě)在較大的數(shù)字右邊，所表示的數(shù)就等于這些數(shù)合并在一起所得的數(shù)。如=3.=6,LX=60，DCC=700，DCLXX=678。（2）把較小的數(shù)字寫(xiě)在較大的數(shù)字左邊，所表示的數(shù)就等于從大數(shù)里去掉較小的數(shù)后所得的數(shù)。如 =5-1=4，=

18、10-1=9，XC=90，CD=100。（3）在數(shù)字上加一條橫線，表示1000倍，或者在這數(shù)字的右下角寫(xiě)一個(gè)字母M，就表示若干個(gè)千組成的數(shù)。如X是10×1000=10000；也可以寫(xiě)作XM是 10×1000= 10000。把這幾個(gè)方法結(jié)合起來(lái),就可以表示所有的數(shù)。如：MCMXL=1946，MCMLXXX=1988。13世紀(jì)以前，羅馬數(shù)字曾盛行于歐洲。由于使用不如阿拉伯記數(shù)法方便，后來(lái)就用得少了。14.現(xiàn)在各國(guó)通用的數(shù)字，為什么稱為阿拉伯?dāng)?shù)字？1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，稱為阿拉伯?dāng)?shù)字。是現(xiàn)在世界各國(guó)通用的數(shù)字。這組數(shù)字最早起源于印度，8世紀(jì)前后傳到阿拉伯。13世

19、紀(jì)初由意大利數(shù)學(xué)家斐波那契，L，（約1170-約1250）用拉丁文寫(xiě)成的算盤(pán)書(shū)（1202年完成，1228年修訂），系統(tǒng)介紹了印度數(shù)碼與記數(shù)制度，以及整數(shù)、分?jǐn)?shù)的各種計(jì)算方法，結(jié)果用棄九法來(lái)驗(yàn)算。還列有乘法表、素?cái)?shù)表和因子表等若干數(shù)表。當(dāng)時(shí)歐洲人只知道這些數(shù)字是從阿拉伯傳來(lái)的，稱它為阿拉伯?dāng)?shù)字，以后逐漸推廣開(kāi)來(lái)。15.怎樣理解算術(shù)及算術(shù)數(shù)？算術(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它主要討論非負(fù)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的讀數(shù)法、記數(shù)法和它們?cè)诩印p、乘、除、乘方等運(yùn)算下產(chǎn)生的數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算法則。算術(shù)進(jìn)一步發(fā)展成為代數(shù)與數(shù)論。小學(xué)數(shù)學(xué)教材的主要內(nèi)容是算術(shù)部分的知識(shí)。近來(lái)，由于增加了一些代數(shù)知識(shí)，為了使名稱和內(nèi)容一致，對(duì)小學(xué)數(shù)

20、學(xué)教材不再稱為“算術(shù)”，改稱為“數(shù)學(xué)”。算術(shù)數(shù)是自然數(shù)、零和正分?jǐn)?shù)（小數(shù)）的統(tǒng)稱。也可以稱為“非負(fù)有理數(shù)”。16.算式、式子和算草有什么區(qū)別？算式是用“”、”-”、“×”、“÷”等運(yùn)算符號(hào)聯(lián)結(jié)數(shù)字而成的橫列的式子。例如：（125+68-32）÷23=161÷23=7。這就是一個(gè)算式。通常稱為橫式。式子是算式、代數(shù)式、方程式等的總稱。算式可以看成是式子，但式子不一定都是算式。式子在沒(méi)有要求計(jì)算時(shí)可以不算，而算式一般都要求算出結(jié)果來(lái)。算草是演算時(shí)所做的草式。通常稱為豎式，例如：17.計(jì)數(shù)單位和數(shù)位有什么區(qū)別？對(duì)于每一個(gè)數(shù)都應(yīng)當(dāng)有一個(gè)名稱，這樣，我們才能稱呼它

21、，也就是才能讀出這個(gè)數(shù)來(lái)。就以自然數(shù)來(lái)說(shuō)吧，自然數(shù)是無(wú)限多的，如果每一個(gè)自然數(shù)都用一個(gè)獨(dú)立的名稱來(lái)讀出它，這是非常不方便的，也是不可能做到的。為了解決這個(gè)問(wèn)題，人們創(chuàng)造出一種計(jì)數(shù)制度，就是現(xiàn)在我們使用的十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的特點(diǎn)是“滿10進(jìn)一”。也就是說(shuō)，每10個(gè)某一單位就組成和它相鄰的較高的一個(gè)單位。即10個(gè)一叫做“十”，10個(gè)十叫做“百”， 10個(gè)百叫做“千”， 10個(gè)千叫做“萬(wàn)”，。一（個(gè)）、十、百、千、萬(wàn)、十萬(wàn)、百萬(wàn)、千萬(wàn)、億、十億、百億、千億、兆、，都是計(jì)數(shù)單位。數(shù)位是指寫(xiě)數(shù)時(shí)，把數(shù)字并列排成橫列，一個(gè)數(shù)字占有一個(gè)位置，這些位置，都叫做數(shù)位。從右端算起，第一位是“個(gè)位”，第二位

22、是“十位”，第三位是“百位”，第四位是“千位”，第五位是“萬(wàn)位”，等等。這就說(shuō)明計(jì)數(shù)單位和數(shù)位的概念是不同的。但是，它們之間的關(guān)系又是非常密切的。這是因?yàn)椤皞€(gè)位”上的計(jì)數(shù)單位是“一（個(gè)），“十位”上的計(jì)數(shù)單位是“十”，“百位”上的計(jì)數(shù)單位是“百”，“千位”上的計(jì)數(shù)單位是“千”，“萬(wàn)位”上的計(jì)數(shù)單位是“萬(wàn)”，等等。例如：8475，“8”在千位上，它表示8個(gè)千，“4”在百位上，它表示4個(gè)百，“ 7”在十位上，它表示 7個(gè)十，“ 5”在個(gè)位上，它表示5個(gè)一。18.一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、是怎樣規(guī)定的？用一個(gè)不是0的數(shù)字寫(xiě)出的數(shù)叫做一位數(shù)。例如：1，3，9。用兩個(gè)數(shù)字，其中最左端的數(shù)字不是0，所表示的

23、數(shù)，叫做兩位數(shù)。例如：10， 29， 87。用三個(gè)數(shù)字，其中最左端的數(shù)字不是0，所表示的數(shù)，叫做三位數(shù)。例如：100，290，607。因此，在一個(gè)數(shù)中，數(shù)字的個(gè)數(shù)是幾（其中最左端的數(shù)字不是0），這個(gè)數(shù)就叫做幾位數(shù)。也有的書(shū)上是如下規(guī)定的：“只用一個(gè)有效數(shù)碼表示的數(shù)，叫做一位數(shù)。用兩個(gè)數(shù)碼，其中左端第一個(gè)是有效數(shù)碼來(lái)表示的數(shù)叫做兩位數(shù)。同樣的規(guī)定多位數(shù)：三位數(shù)、四位數(shù)?！庇痔貏e指出：“除數(shù)碼0以外其他的數(shù)碼（如1，2，3，4，5，6，7，8，9）都叫做有效數(shù)碼”。可以看出，在以上的規(guī)定中，常常特意強(qiáng)調(diào)“左端的數(shù)字不是0”，這是怎么一回事兒呢？這是因?yàn)橛袝r(shí)在報(bào)名單的號(hào)數(shù)或者較徽等的號(hào)數(shù)上常常用“0

24、”占據(jù)數(shù)位以防止更改。例如：數(shù)8可以寫(xiě)成0008，它仍然表示8或第8號(hào)，還叫做一位數(shù)，不能叫做四位數(shù)。數(shù)97可以寫(xiě)成0097，但也仍然是二位數(shù)?？傊?，一位數(shù)是：1-9：兩位數(shù)是10-99，三位數(shù)是100-999；四位數(shù)是10009999；學(xué)生也可能問(wèn)“最小的一位數(shù)是不是0？”這句話本身就是不對(duì)的。首先，根據(jù)規(guī)定，如果只寫(xiě)一個(gè)“0”，它不叫一位數(shù)。至于“0”這個(gè)數(shù)是否最小，應(yīng)該說(shuō)：在非負(fù)整數(shù)范圍內(nèi)，最小的整數(shù)是0。19.寫(xiě)數(shù)的位值原則是什么？同一個(gè)數(shù)字，由于它在所寫(xiě)的數(shù)里的位置不同，所表示的數(shù)也不同。也就是說(shuō)，每一個(gè)數(shù)字除了本身的值以外，還有一個(gè)“位置值”。例如“ 3”，如果寫(xiě)在個(gè)位上，就表示

25、3個(gè)一；如果寫(xiě)在十位上，就表示3個(gè)十；如果寫(xiě)在百位上，就表示3個(gè)百；等等。這種把數(shù)字和數(shù)位結(jié)合起來(lái)表示數(shù)的原則，我們稱它為寫(xiě)數(shù)的位值原則。阿拉伯記數(shù)法就是應(yīng)用這個(gè)原則，把數(shù)字和數(shù)位結(jié)合起來(lái)，可以寫(xiě)出一切整數(shù)。古代羅馬因?yàn)槿狈ξ恢翟瓌t，寫(xiě)數(shù)與計(jì)算非常繁難，于是，羅馬記數(shù)法就逐漸被淘汰了。例如：我國(guó)古代，用籌碼計(jì)算的時(shí)候就已經(jīng)采用位值原則了。有時(shí)，初學(xué)寫(xiě)數(shù)的學(xué)生，常把“十九”寫(xiě)成“109”，把“四十五”寫(xiě)成“405”。這是什么原因呢？這是還沒(méi)有理解阿拉伯記數(shù)法的位值原則的緣故。應(yīng)該進(jìn)一步弄清阿拉伯記數(shù)法的特點(diǎn)數(shù)字和數(shù)位結(jié)合起來(lái)記數(shù)。20.整數(shù)包括哪些數(shù)？我們認(rèn)識(shí)了自然數(shù)和零之后，知道了自然數(shù)和零都

26、是整數(shù)。即0，1，2，3，都是整數(shù)。當(dāng)我們學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)之后，在自然數(shù)前面添上負(fù)號(hào)“-”而得到的數(shù)叫做負(fù)整數(shù)，如-1，-2，-3，-4， 都是負(fù)整數(shù)。這時(shí)，正整數(shù)（自然數(shù)）、零、負(fù)整數(shù)，統(tǒng)稱為整數(shù)，而正整數(shù)和零可稱為非負(fù)整數(shù)。21.數(shù)軸的三要素是哪些？規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線，叫做數(shù)軸。原點(diǎn)、方向、單位長(zhǎng)度就是數(shù)軸的三要素。22.為什么要建立進(jìn)位制？由于自然數(shù)有無(wú)限多個(gè)，對(duì)于每一個(gè)自然數(shù)如果都用一個(gè)獨(dú)立的名稱或符號(hào)來(lái)讀出它或表示它，那是很不方便的，也是不可能做到的。因此，需要建立一種讀數(shù)、寫(xiě)數(shù)制度-進(jìn)位制。23.進(jìn)位制的基數(shù)是什么意思？在一種進(jìn)位制中（設(shè)為K進(jìn)制），由K（K1）個(gè)某一單位

27、組成一個(gè)相鄰的較高單位，這種進(jìn)位制就叫做K進(jìn)位制。K叫做這種進(jìn)位制的底數(shù)（或稱進(jìn)率），底數(shù)也可以叫做基數(shù)?；鶖?shù)是10的進(jìn)位制叫做十進(jìn)位制，用十進(jìn)位制記出的數(shù)簡(jiǎn)稱為十進(jìn)數(shù)。它的特點(diǎn)是滿10進(jìn)一，它需要10個(gè)數(shù)碼；基數(shù)是2的進(jìn)位制叫做二進(jìn)位制，用二進(jìn)位制記出的數(shù)簡(jiǎn)稱為二進(jìn)數(shù)。它的特點(diǎn)是滿2進(jìn)一，它只需要兩個(gè)數(shù)碼-1。電子計(jì)算機(jī)是用二進(jìn)制數(shù)，它只需“通電”與“斷電”兩種信號(hào)來(lái)表示0和1。24.怎樣把二進(jìn)數(shù)化為十進(jìn)數(shù)？二進(jìn)位制的特點(diǎn)是“滿二進(jìn)一”，它的底數(shù)是2。寫(xiě)二進(jìn)數(shù)只用0和1兩個(gè)數(shù)字就可以了。根據(jù)位值原則，“”至“十”各數(shù)的寫(xiě)法如下：“一”記作 1，“二”記作 10，“三”記作 11，“四”記作

28、100，“五”記作101，“六”記作110，“七”記作111，“八”記作1000，“九”記作1001，“十”記作1010，“零”記作0。由于二進(jìn)數(shù)只有兩個(gè)數(shù)碼，所以用通電和斷電這兩種狀態(tài)就能把它們表示出來(lái)。這樣，如果有幾組電路的通、斷，就可以表示出任意的一個(gè)二進(jìn)數(shù)，并且能進(jìn)行四則運(yùn)算。因此二進(jìn)位制廣泛應(yīng)用于電子計(jì)算機(jī)中。二進(jìn)數(shù)可以化為十進(jìn)數(shù)，十進(jìn)數(shù)也可以化成二進(jìn)數(shù)。例：把 1011012化為十進(jìn)數(shù)。解：二進(jìn)數(shù)的各個(gè)數(shù)位所表示的計(jì)數(shù)單位，從右起第一位是一（20），第二位是二（21），第三位是四（22），第四位是八（23）。為了把1011012化為十進(jìn)數(shù)，可以把1011012先改寫(xiě)成不同計(jì)數(shù)單位的

29、數(shù)之和的形式，再改寫(xiě)成十進(jìn)數(shù)。1011012=1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20=1×32+0+1×8+1×4+0+1×1=32+8+4+1=4510110122=45 25.怎樣把十進(jìn)數(shù)（整數(shù)）化為二進(jìn)數(shù)？例：把43化為二進(jìn)數(shù)。解：根據(jù)二進(jìn)數(shù)“滿二進(jìn)一”的特點(diǎn)，可以用2連續(xù)除43。43÷2=21（余1）把21進(jìn)到第二位，余下的1是第一位數(shù)字；21÷2=10（余1）把10進(jìn)到第三位，余下的1是第二位數(shù)字；10÷2=5（余0）把5進(jìn)到第四位，余

30、下的0是第三位數(shù)字；5÷2=2（余1）把2進(jìn)到第五位，余下的1是第四位數(shù)字；2÷2=1（余 0）把 1進(jìn)到第六位，余下的 0是第五位數(shù)字；1÷2=0（余1）余下的1是第六位數(shù)字。除到此，就可以寫(xiě)出所求的二進(jìn)數(shù)為：431010112為了書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便，可以用豎式計(jì)算：43=1010112這種方法通常叫做“二除取余法”。26.在教學(xué)10以內(nèi)數(shù)的時(shí)候，怎樣使學(xué)生建立數(shù)的概念？提起10以內(nèi)數(shù)的教學(xué)，不禁使人想到一個(gè)真實(shí)的故事。一年級(jí)小學(xué)生聚精會(huì)神地聽(tīng)老師講算術(shù)課，老師對(duì)學(xué)生說(shuō)：“今天咱們學(xué)習(xí)一和二?！彪S即舉起一張畫(huà)片，問(wèn)道：“這張畫(huà)片上畫(huà)的是什么？”學(xué)生：“畫(huà)的是皮球?！崩蠋煟?/p>

31、“畫(huà)的是幾個(gè)皮球？”學(xué)生：“一個(gè)皮球?！边@時(shí)，老師把畫(huà)片翻轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)，問(wèn)：“這上面寫(xiě)的數(shù)字念做什么？”學(xué)生：“念做1?！崩蠋煟骸皩?duì)！念做1。”緊接著，老師用同樣的辦法開(kāi)始講“2”了。畫(huà)片的正面畫(huà)著兩支鉛筆，背面寫(xiě)著數(shù)字“2”。老師再?zèng)]有舉出其他的事例。就這樣講完了1和2，然后就指導(dǎo)學(xué)生練習(xí)寫(xiě)數(shù)了。下一次上課的時(shí)候，老師在黑板上畫(huà)了兩個(gè)皮球，讓學(xué)生到黑板上表示兩個(gè)皮球的數(shù)字，學(xué)生們舉手爭(zhēng)著要求來(lái)寫(xiě)。照理說(shuō)應(yīng)該寫(xiě)個(gè)“ 2”就對(duì)了。事與愿違，沒(méi)有料到，這個(gè)小學(xué)生在每個(gè)皮球下面都寫(xiě)上“1”。老師問(wèn)他為什么這樣寫(xiě)，這個(gè)小學(xué)生理直氣壯地回答：“您不是講過(guò)嗎，1表示一個(gè)皮球，那么，兩個(gè)1不就是表示兩個(gè)皮球嗎！”

32、看來(lái)，這位老師講課時(shí)使用的直觀教具太少，使小學(xué)生錯(cuò)誤地認(rèn)為：“2”就是表示兩支鉛筆，“1”就是表示一個(gè)皮球。學(xué)生還沒(méi)有真正認(rèn)識(shí)1和2，沒(méi)有獲得數(shù)的抽象概念。為了使學(xué)生真正認(rèn)識(shí)每一個(gè)數(shù)，教學(xué)時(shí)應(yīng)通過(guò)適量的實(shí)物和直觀教具，形成抽象的數(shù)的概念。也就是應(yīng)該使學(xué)生知道一個(gè)數(shù)代表一組事物的總數(shù)。例如：為了使小學(xué)生認(rèn)識(shí)“2”，可以使用兩支鉛筆、兩塊橡皮、兩個(gè)茶杯、兩本書(shū)等實(shí)物以及每一張畫(huà)有兩件物品的畫(huà)片等等，使學(xué)生體會(huì)到，不管它是動(dòng)物還是植物，不管它是鐵的、木頭的或是紙的，只要每一組事物的數(shù)量可以用兩個(gè)手指來(lái)表示的話，就可以寫(xiě)成數(shù)字“2”。此外，兩聲響聲，兩滴水滴，也可以用“2”來(lái)表示。總之，在教學(xué)10以內(nèi)

33、數(shù)的時(shí)候，正是學(xué)生認(rèn)數(shù)的開(kāi)始，應(yīng)利用適量的直觀教具，使學(xué)生排除個(gè)別事物的干擾，也就是排除非本質(zhì)特征，抽象出共同屬性-數(shù)，形成數(shù)的概念。27.在認(rèn)數(shù)的時(shí)候，為什么要學(xué)習(xí)數(shù)的組成？所謂數(shù)的組成，一般地是把某一個(gè)數(shù)表示成各個(gè)不同計(jì)數(shù)單位的數(shù)之和。例如：7是7個(gè)“一”組成的；28是由2個(gè)“十”和8個(gè)“一”組成的；等等?？陬^敘述的時(shí)候，常常是這樣說(shuō)的。在小學(xué)階段，初學(xué)認(rèn)數(shù)的時(shí)候，能夠這樣說(shuō)出來(lái)就可以。假如要寫(xiě)出來(lái)的話，可以寫(xiě)成如下的形式：28=2×10+83605=3×10006×100+5但是，在教學(xué)10以內(nèi)各數(shù)的時(shí)候，不僅要求學(xué)生能夠說(shuō)出某個(gè)數(shù)是由幾個(gè)“一”組成的，還要

34、使學(xué)生知道某個(gè)數(shù)是由哪幾個(gè)數(shù)的和組成的。例如：8是7和1，6和2，5和3，4和4組成的；當(dāng)然還可以說(shuō)8是1和7，2和6，3和5組成的。至于超過(guò)10的數(shù)，例如19，可以說(shuō)成是1個(gè)“十”9個(gè)“一”組成的；24，可以說(shuō)成是2個(gè)“十”4個(gè)“一”組成的。在認(rèn)數(shù)的時(shí)候，學(xué)習(xí)數(shù)的組成，主要有以下幾個(gè)原因：（1）對(duì)于新認(rèn)識(shí)的數(shù)加深理解。例如，知道了7是6和1、5和2、4和3組成的，可以進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到7的大小及它在自然數(shù)列中的位置。（2）對(duì)于自然數(shù)列的特點(diǎn)有個(gè)初步的認(rèn)識(shí)。從1開(kāi)始，每次多1就成一個(gè)新的數(shù)。比1多1是2，比2多1是3，比6多1是7，比10多1是11，比11多1是12，等等。同時(shí)，還可以使學(xué)生體會(huì)到自

35、然數(shù)列里的數(shù)是有次序的而且是無(wú)限的。（3）對(duì)于學(xué)習(xí)四則計(jì)算是個(gè)重要的基礎(chǔ)。例如：10以內(nèi)數(shù)的加、減法就是根據(jù)數(shù)的組成來(lái)算出的。如3加2得5，5減2得3，5減3得2，這里用不著什么計(jì)算方法，只是依靠數(shù)的組成說(shuō)出得數(shù)的。尤其是10這個(gè)數(shù)，更應(yīng)該熟悉它是由哪兩個(gè)數(shù)的和組成的，因?yàn)樵谟?jì)算進(jìn)位加法與退位減法時(shí)要經(jīng)常用到。至于計(jì)算乘、除法的時(shí)候也要用到數(shù)的組成知識(shí)。例如：87=15，初學(xué)進(jìn)位加法時(shí)，用湊10法。思考過(guò)程是：把7分成2和5，2和8湊成10，10再加5得15。（二九十八，寫(xiě)8進(jìn)1）（四九三十六，是36個(gè)“十”，加上進(jìn)上來(lái)的1個(gè)“十”，得37個(gè)“十”，結(jié)果是378。）（在十位上商4，四九三十六，

36、從37個(gè)“十”里減去36個(gè)“十”，余下1個(gè)“十”與個(gè)位上的8，組成18，再被9除，商2。結(jié)果是42。）通過(guò)以上幾點(diǎn)可以看出，在認(rèn)數(shù)的時(shí)候，學(xué)習(xí)數(shù)的組成，除對(duì)于所學(xué)的數(shù)可以加深理解外，更重要的是在學(xué)習(xí)四則計(jì)算法則時(shí)可以做為說(shuō)明算理的依據(jù)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅在認(rèn)識(shí)整數(shù)時(shí)要學(xué)習(xí)數(shù)的組成，在認(rèn)識(shí)小數(shù)和28.為什么說(shuō)前10個(gè)自然數(shù)（一、二、三、四、五、六、七、八、九、十）是計(jì)數(shù)法的基礎(chǔ)？為了數(shù)數(shù)，對(duì)于每一個(gè)自然數(shù)都應(yīng)該給它一個(gè)名稱。當(dāng)需要數(shù)的事物比較少的時(shí)候，特別是在不超過(guò)10個(gè)的情況下，我們可以伸出手來(lái)，利用10個(gè)手指，就屈指可數(shù)了。但是，遇到較多的事物需要數(shù)一數(shù)它的數(shù)目時(shí)，應(yīng)該怎么辦呢？人們經(jīng)過(guò)

37、多年的實(shí)踐，創(chuàng)造出一種計(jì)數(shù)法，就是十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。它是用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十做為基礎(chǔ)，再添上盡可能少的新的名稱，就可以數(shù)出一切數(shù)目來(lái)。不妨，我們從一數(shù)到一百，看看它們的名稱和順序是怎樣的。一、二、三、四、五、六、七、八、九、十，十一、十二、十三、十四、十五、十六、十七、十八、十九、二十，八十一、八十二、八十九、九十，九十一、九十二、九十九、一百。可以看出，前10個(gè)自然數(shù)各自有一個(gè)獨(dú)立的名稱，在“十”的基礎(chǔ)上，添上一，也就是十和一，我們讀作“十一”，再添上一，我們讀作“十二”。從十一到二十這10個(gè)數(shù)的名稱是利用前10個(gè)數(shù)的名稱組成的；它的順序是和前10個(gè)數(shù)的順序是一致的。再往下數(shù)

38、的時(shí)候，我們可以數(shù)到三十、四十、五十、六十、七十、八十、九十，一直數(shù)到10個(gè)十，對(duì)于10個(gè)十，給它一個(gè)新的名稱“百”。從1個(gè)十到10十，也是利用前10個(gè)數(shù)的名稱和順序數(shù)出來(lái)的。比一百大的數(shù)，仍然利用前10個(gè)數(shù)的名稱和順序往后數(shù)：一百零一、一百零二、一百零九、一百一十，一直數(shù)到二百、三百、九百、10個(gè)百，對(duì)于10個(gè)百，給它一個(gè)新的名稱“千”。再往下數(shù)，一千、二千、三千、九千、一直數(shù)到10個(gè)千，對(duì)于10個(gè)千，給它一個(gè)新的名稱“萬(wàn)”。比一萬(wàn)再多的數(shù)的數(shù)法，也是利用前10個(gè)數(shù)的名稱和順序，一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)下去，一萬(wàn)零一，一萬(wàn)零二，一萬(wàn)零三，。超過(guò)十萬(wàn)、百萬(wàn)、千萬(wàn)、億的數(shù)，仍然按照這個(gè)規(guī)律，一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)下去

39、。由此可以看出，比10大的自然數(shù)的數(shù)法都是以前10個(gè)自然數(shù)的名稱和順序?yàn)榛A(chǔ)的。又由于我們現(xiàn)在使用的計(jì)數(shù)方法是十進(jìn)位制，所以說(shuō)前10個(gè)自然數(shù)是計(jì)數(shù)法的基礎(chǔ)。29.怎樣使學(xué)生認(rèn)識(shí)“集合”呢？可以結(jié)合教材內(nèi)容，舉出一些實(shí)例，使學(xué)生對(duì)于“集合”有個(gè)初步的了解就可以了。例如：（1）一個(gè)班的所有學(xué)生可以作為一個(gè)集合。（2）在禮堂所有聽(tīng)報(bào)告的人可以作為一個(gè)集合。（3）某運(yùn)輸隊(duì)的所有卡車(chē)可以作為一個(gè)集合。（4）某專業(yè)組的所有綿羊可以作為一個(gè)集合。使學(xué)生初步體會(huì)到，集合是指具有明確范圍的一些確定的對(duì)象的全體。集合也簡(jiǎn)稱為“集”。在認(rèn)識(shí)集合的同時(shí)，還可以認(rèn)識(shí)“元素”，為了說(shuō)明什么是元素，還是舉出一些實(shí)例為好。（

40、1）一個(gè)班的每個(gè)學(xué)生是這個(gè)班的學(xué)生集合的元素。（2）在禮堂里聽(tīng)報(bào)告的每一個(gè)人是這個(gè)集合中的一個(gè)元素。（3）某運(yùn)輸隊(duì)的每輛卡車(chē)是這個(gè)運(yùn)輸隊(duì)的卡車(chē)集合的一個(gè)元素。（4）某專業(yè)組的每只綿羊是這個(gè)專業(yè)組的綿羊集合的一個(gè)元素。使學(xué)生初步體會(huì)到，集合里的每一個(gè)對(duì)象，都叫做集合的元素。元素也簡(jiǎn)稱為“元”。一輛卡車(chē)也可以作為一個(gè)集合，這個(gè)集合只有一個(gè)元素，就是這輛卡車(chē)。一個(gè)人也可以作為一個(gè)集合，這個(gè)集合也只有一個(gè)元素，就是這個(gè)人。集合中的元素可以是有限多個(gè)，也可以是無(wú)限多個(gè)。像前面所舉的4個(gè)例子，這些集合中的元素都是有限多個(gè)。但是，所有自然數(shù)的集合，它的元素就是無(wú)限多個(gè)。關(guān)于集合的表示方法。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中采用

41、的是畫(huà)圈的方法。我們把這種表示集合的方法叫做韋恩圖（韋恩是英國(guó)一個(gè)數(shù)學(xué)家）。它是在一個(gè)集合的所有元素外面畫(huà)一個(gè)圈，直觀地表示這個(gè)集合。例如：表示5輛卡車(chē)的集合。它的元素是每一輛卡車(chē)。表示4只綿羊的集合。它的元素是每一只綿羊。表示6把鐮刀的集合。它的元素是每一把鐮刀。表示一個(gè)書(shū)包的集合。它的元素就是這個(gè)書(shū)包。表示蔬菜的集合。它的元素是一棵白菜、一個(gè)茄子、一個(gè)西紅柿和一條黃瓜。30.怎樣使學(xué)生認(rèn)識(shí)“對(duì)應(yīng)”呢？在小學(xué)數(shù)學(xué)教材里，對(duì)于“對(duì)應(yīng)”的概念沒(méi)有進(jìn)行深入講解，只是通過(guò)一些插圖和簡(jiǎn)單的事例使學(xué)生初步接觸并有所體會(huì)就可以了。例加：圖中左邊是杯子的集合，右邊是杯蓋的集合。如果把杯蓋蓋在杯子上，一對(duì)一地

42、蓋上，可以看出，每個(gè)杯子都能蓋上一個(gè)杯蓋，同時(shí)，每個(gè)杯蓋也都能蓋著一個(gè)杯子。這就是說(shuō)，杯子和杯蓋是對(duì)應(yīng)的，也可以說(shuō)是一一對(duì)應(yīng)的。還可以看出，杯子和杯蓋的數(shù)是相等的。圖中上面是螺絲釘?shù)募?，下面是螺絲帽的集合。把螺絲釘一對(duì)一地?cái)Q在螺絲帽上，可以看出，每個(gè)螺絲釘都能擰在一個(gè)螺絲帽上，而每個(gè)螺絲帽都能擰上一個(gè)螺絲釘。這就是說(shuō)，螺絲釘和螺絲帽是對(duì)應(yīng)的，而且是一一對(duì)應(yīng)的。這時(shí)，我們可以說(shuō)，螺絲釘?shù)膫€(gè)數(shù)和螺絲帽相等。圖中上面是花的集合，下面是花盆的集合。把每棵花一對(duì)一地栽在每個(gè)花盆里，可以看出，每棵花都能栽在一個(gè)花盆里，而每個(gè)花盆里，不可能都栽上一棵花。這就說(shuō)明了花和花盆不是一一對(duì)應(yīng)的。我們可以說(shuō)，花的棵

43、數(shù)比花盆的個(gè)數(shù)少，花盆的個(gè)數(shù)比花的棵數(shù)多。根據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱的精神，向?qū)W生適當(dāng)滲透“對(duì)應(yīng)”的思想，不講解它的意義。31.怎樣使學(xué)生認(rèn)識(shí)“函數(shù)”呢？在小學(xué)數(shù)學(xué)教材里，不講函數(shù)概念，只是通過(guò)一些事例和計(jì)算題，使學(xué)生初步體會(huì)到數(shù)量之間的依賴關(guān)系和變化規(guī)律，向?qū)W生滲透“函數(shù)”思想。例如：左邊集合中的數(shù)，分別加上9之后，得出右邊集合中相對(duì)應(yīng)的結(jié)果。在這一組加法式題里，一個(gè)加數(shù)“9”是不變的，而另一個(gè)加數(shù)有變化，于是，它們的和也要隨著變化。這就是說(shuō)，“和”要隨著“加數(shù)”的變化而變化。左邊集合中的數(shù)，分別減去8之后，得出右邊集合中相對(duì)應(yīng)的結(jié)果。在這一組減法式題里，減數(shù)“8”是不變的，而被減數(shù)有變化，于是，

44、它們的差也要隨著變化，這就是說(shuō)，“差”要隨著“被減數(shù)”的變化而變化。有時(shí)，“差”也隨著“減數(shù)”的變化而變化。還有一種有趣的教具，就是函數(shù)器（如圖）。先確定一個(gè)乘數(shù)“5”，貼在函數(shù)器上，左邊由一名學(xué)生把不同的數(shù)字卡片放入函數(shù)器，右邊由一名學(xué)生經(jīng)過(guò)口算之后，把應(yīng)得的積的數(shù)字卡片拿出來(lái)。做一做這樣的計(jì)算游戲，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到計(jì)算的結(jié)果是隨著已知數(shù)的變化而變化的，并且是有一定規(guī)律的。通過(guò)計(jì)算一些象上面所舉出來(lái)的一組一組的數(shù)學(xué)題，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到，事物是不斷變化的，同時(shí)，事物和事物之間又是有聯(lián)系的，變化是有規(guī)律的。也啟發(fā)了學(xué)生看事物不要把它們看成是孤立的、不變的。 32.怎樣理解概念、概念的內(nèi)涵及概念的外

45、 延？概念是事物及其本質(zhì)屬性在思維中的反映?；蛘哒f(shuō)，概念是反映客觀事物本質(zhì)屬性的思維形式。某種事物的本質(zhì)屬性，就是這種事物所具有的而別種事物都不具有的性質(zhì)。例如，直角三角形有兩個(gè)本質(zhì)屬性，即它是一個(gè)三角形，并且其中一個(gè)內(nèi)角是直角，有了這兩個(gè)本質(zhì)屬性，就可以和其他概念區(qū)別開(kāi)來(lái)。至于邊的長(zhǎng)短，兩個(gè)銳角的大小，都不是直角三角形的本質(zhì)屬性。由這兩個(gè)本質(zhì)屬性，就構(gòu)成了直角三角形的概念，即“有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形?！备拍畹膬?nèi)涵就是那個(gè)概念所包括的一切對(duì)象的共同的本質(zhì)屬性的總和。例如，等腰三角形它有兩個(gè)本質(zhì)屬性，即它是三角形，兩條邊相等。這兩個(gè)本質(zhì)屬性的總和就是等腰三角形的內(nèi)涵。又如， 平行四

46、邊形有兩個(gè)本質(zhì)屬性，即它是四邊形，兩組對(duì)邊分別平行。這兩個(gè)本質(zhì)屬性的總和就是平行四邊形的內(nèi)涵。概念的外延就是適合于那個(gè)概念的一切對(duì)象的范圍。例如，平行四邊形的外延包括一般的平行四邊形、矩形、菱形和正方形。概念的外延和內(nèi)涵之間是互相依存而又互相制約的。在一個(gè)概念中，當(dāng)它的內(nèi)涵擴(kuò)大時(shí)，則它的外延就縮??；當(dāng)它的內(nèi)涵縮小時(shí)。則它的外延就擴(kuò)大。例如，等腰直角三角形的內(nèi)涵有三條：（1）它是一個(gè)三角形；（2）有一個(gè)角是直角；（3）夾直角的兩邊相等。如果當(dāng)它的內(nèi)涵去掉一個(gè)“夾直角的兩邊相等”，那么它的外延就擴(kuò)大了，把一般的直角三角形也包括進(jìn)來(lái)了；如果它的內(nèi)涵再去掉“有一個(gè)角是直角”，那么把一般的三角形也包括進(jìn)

47、來(lái)了。反之，當(dāng)它的內(nèi)涵擴(kuò)大時(shí)，它的外延就縮小。又如，矩形的概念，它的外延并不包括全部平行四邊形，只包括平行四邊形的一部分，因此，矩形的外延就比平行四邊形的外延小。如果把矩形的內(nèi)涵“有一個(gè)角是直角”去掉，那么它的外延就擴(kuò)大了，把一般的平行四邊形也包括進(jìn)來(lái)了。33.怎樣理解定義、定理、公理和定律？對(duì)定義的理解是，對(duì)于一個(gè)名詞或術(shù)語(yǔ)的意義的規(guī)定就是這個(gè)名詞或術(shù)語(yǔ)的定義。例如，“如果整數(shù)a能被自然數(shù)b整除，那么a叫做b的倍數(shù)，b叫做a的約數(shù)”，這就是倍數(shù)、約數(shù)的定義。又如，“大于直角而小于平角的角叫做鈍角”，這就是鈍角的定義。把概念用文字或語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，叫做給這個(gè)概念下定義。給概念下定義常用兩種方法：

48、一種叫做內(nèi)涵法，一種叫做外延法。用內(nèi)涵法定義概念采用如下公式：被定義概念=鄰近的種+類(lèi)差。例如，多邊形和四邊形都是平行四邊形的種，而四邊形就是鄰近的種。類(lèi)差就是被定義的概念區(qū)別于種概念的本質(zhì)屬性。例如，平行四邊形區(qū)別于其他四邊形的本質(zhì)屬性是它的兩組對(duì)邊分別平 行，這樣便得出平行四邊形的定義：“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”。用外延法定義概念，就是把概念所反映的具體對(duì)象一一羅列出來(lái)。例如，有理數(shù)的定義就是采用了外延法。即“整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)”。定義有兩個(gè)任務(wù)：（1）把被定義的對(duì)象同其他對(duì)象區(qū)別開(kāi)；（2）揭示出被定義對(duì)象的本質(zhì)屬性。對(duì)定理的理解是，能用推理的方法證明是正確的命題叫做定

49、理。例如，“如果兩個(gè)數(shù)都能被同一個(gè)自然數(shù)整除，那么它們的和也能被這個(gè)自然數(shù)整除”。又如，“對(duì)頂角相等”。這些都是定理。每個(gè)定理都包含“條件”和“結(jié)論”兩個(gè)部分，條件是已知的部分，結(jié)論是從條件經(jīng)過(guò)推理而得到的結(jié)果。對(duì)公理的理解是，人們?cè)趯?shí)踐中反復(fù)驗(yàn)證過(guò)的，并且不需要再加以證明就被公認(rèn)的真理叫做公理。例如，“經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)可以作一條直線，并且只可以作一條直線”；“經(jīng)過(guò)直線外的一點(diǎn)，只可以作一條直線和這條直線平行。”對(duì)定律的理解是，在數(shù)學(xué)中，具有某種規(guī)律性的結(jié)論叫做定律。例如，乘法對(duì)加法的分配律（a+b）c=ac+bc，就是定律。34.怎樣理解判斷和推理？對(duì)判斷的理解是，對(duì)某事物肯定或否定的思維形式叫做判

50、斷。符合事實(shí)的判斷就是真的，不符合事實(shí)的判斷就是假的。例如，“三角形的內(nèi)角和是180°”，“這所學(xué)校已經(jīng)有60年的歷史了”，“張勇同學(xué)今天不來(lái)了”等，都是判斷。對(duì)推理的理解是，根據(jù)判斷間的關(guān)系，由一個(gè)或幾個(gè)已有的判斷得出一個(gè)新的判斷的思維過(guò)程，叫做推理。在推理過(guò)程中，所根據(jù)的已有判斷叫做推理的前提，作出的新判斷叫做推理的結(jié)論。數(shù)學(xué)中常用的推理，有歸納推理和演繹推理。35.等量公理有哪些？等量公理有以下幾條：（1）等量加等量，和相等；（2）等量減等量，差相等；（3）等量的同倍量相等；（4）等量的同分量相等；（5）在等式中，一個(gè)量可以用它的等量來(lái)代替（簡(jiǎn)稱“等量代換”）。36.不等量公理

51、有哪些？不等量公理有以下幾條：（1）不等量加上或者減去等量，原來(lái)大的仍大；（2）不等量乘以或者除以同一個(gè)正數(shù)，原來(lái)大的仍大；（3）不等量加不等量，大量的和大于小量的和；（4）等量減不等量，減去大的，差反而小；（5）第一量大于第二量，第二量大于第三量，則第一量大于第三量；（6）全量大于它的任何一部分；（7）在不等式中，一個(gè)量可以用它的等量來(lái)代替。37.十進(jìn)位制的讀數(shù)原則是什么？十進(jìn)位制的讀數(shù)原則是：（1）要有前10個(gè)自然數(shù)及零的名稱。即零、一、二、三、四、五、六、七、八、九、十。（2）要有一系列的十進(jìn)計(jì)數(shù)單位。這些單位的名稱從低到高依次為：一（個(gè)）、十、百、千、萬(wàn)、十萬(wàn)、百萬(wàn)、千萬(wàn)、億、十億、百

52、億、千億、并且，每?jī)蓚€(gè)相鄰單位間的進(jìn)率都是10。也就是說(shuō)，每10個(gè)某一單位就組成1個(gè)相鄰的較高單位。即通常所說(shuō)的“滿10進(jìn)一”。（3）要有數(shù)的命名方法。數(shù)的命名是由零、一、二、三、四、五、六、七、八、九和計(jì)數(shù)單位組合而成。例如，一個(gè)數(shù)含有四個(gè)十萬(wàn)、三個(gè)萬(wàn)、八個(gè)千、六個(gè)百、二個(gè)十、五個(gè)一，這個(gè)數(shù)就命名為四十三萬(wàn)八千六百二十五。38.十進(jìn)位制的記數(shù)原則是什么？十進(jìn)位制的記數(shù)原則是：（1）要規(guī)定10個(gè)記數(shù)的符號(hào)。十進(jìn)位制要有10個(gè)記數(shù)符號(hào)，就是：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。這10個(gè)符號(hào)都叫做數(shù)字，稱為阿拉伯?dāng)?shù)字。（2）要規(guī)定各個(gè)計(jì)數(shù)單位的位置及順序。記數(shù)時(shí)，各個(gè)計(jì)數(shù)單位要根據(jù)它們的十進(jìn)順

53、序排列起來(lái)。（3）要規(guī)定數(shù)字記在數(shù)位上的原則。每一個(gè)數(shù)位上只記一個(gè)數(shù)字，這個(gè)數(shù)字是幾，就表示這個(gè)數(shù)位上有幾個(gè)計(jì)數(shù)單位。例如，在千位上記4就表示4個(gè)千，記5就表示5個(gè)千；同一個(gè)數(shù)字記在不同的數(shù)位上就表示不同的數(shù)。例如，6記在千位上表示6個(gè)千，6記在百位上就表示6個(gè)百。就是說(shuō)，記在各個(gè)數(shù)位上的每一個(gè)數(shù)字，不但有其本身的數(shù)值，還有位置值，這就是阿拉伯記數(shù)法的位值原則。39.十進(jìn)位制的讀數(shù)法則有哪些？我國(guó)的讀數(shù)法則采用四位分級(jí)，即每四個(gè)計(jì)數(shù)單位組成一級(jí)，個(gè)、十、百、千組成個(gè)級(jí)，表示多少個(gè)“一”；萬(wàn)、十萬(wàn)、百萬(wàn)、千萬(wàn)組成萬(wàn)級(jí)，表示多少個(gè)“萬(wàn)”；億、十億、百億、千億組成億級(jí)，表示多少個(gè)“億”；根據(jù)四位分級(jí)

54、的習(xí)慣，我國(guó)讀數(shù)法則如下：（1）四位以內(nèi)的數(shù)，從最高位起，順次讀出各位上的數(shù)字和單位。例如，5973讀作五千九百七十三，4862讀作四千八百六十二。如果數(shù)中間或末尾有零，要按照下面的規(guī)則來(lái)讀：數(shù)中間單個(gè)的零，只讀數(shù)字零，不讀數(shù)位上的單位，如3076讀作三千零七十六，不讀作三千零百七十六；數(shù)中間連續(xù)的零，只讀一個(gè)零，如3005讀作三千零五，不讀作三千零零五；數(shù)末尾的零不讀，如1800讀作一千八百。（2）四位以上的數(shù)，從最高位起，順次讀出各級(jí)里的數(shù)及它的級(jí)名。例如：64 3125 7085億 萬(wàn) 個(gè)級(jí) 級(jí) 級(jí)讀作：六十四億三千一百二十五萬(wàn)七千零八十五。如果某級(jí)的開(kāi)頭、中間有單個(gè)的零或連續(xù)的零都只讀

55、一個(gè)零。例如：2004 0070萬(wàn) 個(gè)級(jí) 級(jí)讀作：二千零四萬(wàn)零七十。每一級(jí)末尾的零，可以不讀。例如：50 7100 3000 億 萬(wàn) 個(gè) 級(jí) 級(jí) 級(jí)讀作：五十億七千一百萬(wàn)三千。如果某級(jí)的整級(jí)都是零的也只讀一個(gè)零。例如：23 0000 4000 億 萬(wàn) 個(gè) 級(jí) 級(jí) 級(jí)讀作：二十三億零四千。但是，財(cái)政部門(mén)開(kāi)具票證時(shí)，為了避免錯(cuò)誤，在用漢字寫(xiě)數(shù)時(shí)，除了個(gè)級(jí)以外，仍然把每一級(jí)末尾的零寫(xiě)出來(lái)。40.十進(jìn)位制的記數(shù)法則有哪些？用記數(shù)符號(hào)把數(shù)書(shū)寫(xiě)出來(lái)的方法叫記數(shù)法。記數(shù)法要有記數(shù)的符號(hào)與法則?，F(xiàn)在通用的記數(shù)法是十進(jìn)制記數(shù)法，它有三個(gè)特點(diǎn)：以進(jìn)位制來(lái)說(shuō)是十進(jìn)制，書(shū)寫(xiě)的原則是位值原則，使用的符號(hào)是阿拉伯?dāng)?shù)字。寫(xiě)數(shù)時(shí)，從最高位起，順次寫(xiě)出各級(jí)、各位的數(shù)，哪些數(shù)位上的數(shù)是零，就用“0”表示。例如，八千六百零五萬(wàn)四千零九，寫(xiě)作：86054009。國(guó)際上許多國(guó)家沒(méi)有“萬(wàn)”這個(gè)名稱，他們讀數(shù)、寫(xiě)數(shù)的原則不是四位分級(jí)，而是三位分節(jié)。第一節(jié)的數(shù)位有個(gè)、十、百；第二節(jié)的數(shù)位有千、十千、百千；千千叫做密，第三節(jié)的數(shù)位有密、十密、百密；千密叫做別，第四節(jié)的數(shù)位有別、十別、百別；這種分節(jié)法已在國(guó)際上通用。為了便于國(guó)際交往，我國(guó)也規(guī)定：寫(xiě)數(shù)時(shí)，采用國(guó)際通行的三位分節(jié)法。節(jié)與節(jié)之間空半個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字的位置。用“，”號(hào)分