小升初數(shù)學(xué)銜接班——重新認(rèn)識(shí)圖形

1、小升初數(shù)學(xué)銜接班第7講重新認(rèn)識(shí)圖形一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過學(xué)習(xí)三角形的邊角關(guān)系及中線、高線、角平分線等內(nèi)容，體會(huì)初中幾何與小學(xué)的不同，掌握基本的推理、論證的方法，以便更快適應(yīng)中學(xué)的學(xué)習(xí)。二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)：學(xué)會(huì)基本的推理、論證的方法。三、課程精講：1、知識(shí)回顧在小學(xué)，我們學(xué)習(xí)過一些幾何圖形，比如三角形：（1）三角形內(nèi)角和（量一量、拼一拼，找出規(guī)律）（2）三角形三邊的關(guān)系（擺一擺，找出規(guī)律）提問：在測量三角形的內(nèi)角和時(shí)，你真能測量得絕對(duì)精確、沒有一點(diǎn)誤差嗎？在把三角形的內(nèi)角拼接為一個(gè)平角時(shí)，你真的認(rèn)為能拼成一個(gè)平角嗎？會(huì)不會(huì)只是很接近平角呢？在用小棍擺三角形時(shí)，你發(fā)現(xiàn)了兩邊之和必須要大于第三邊。這個(gè)結(jié)論對(duì)所

2、有長度的小棍都成立嗎？你沒有擺的其他長度也是這樣嗎？2、新知探秘知識(shí)點(diǎn)一 為何要推理？例1、圖（1）中，線段AB、CD哪一條長？圖（2）中，線段AB、AC哪一條長？圖（3）中，兩個(gè)帶陰影的橢圓哪一個(gè)大？圖（4）中，兩條直線之間一樣寬嗎？知識(shí)點(diǎn)二 推理的依據(jù)推理時(shí)要做到言必有據(jù)，那什么是推理的依據(jù)呢？這就是學(xué)過的定義、公理和定理。（1）定義：對(duì)于一個(gè)名詞或術(shù)語的意義的說明就叫做定義。比如，射線的定義為“直線上一點(diǎn)和它一旁的部分叫做射線”、角的定義為“有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角”等。（2）公理：被人類長久以來的實(shí)踐所證實(shí)，作為推理依據(jù)的事實(shí)叫做公理。比如，“經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線”、“

3、在所有連接兩點(diǎn)的線中，線段最短”等。（3）定理：用邏輯推理的方法判斷為正確的命題叫做定理。以后，我們將會(huì)學(xué)習(xí)到許多定理。例2、已知，如圖，D是AB中點(diǎn)，E是AC中點(diǎn)，且ABAC。求證：ADAE。思路導(dǎo)航：有同學(xué)認(rèn)為這顯然成立，卻不能說出推理的依據(jù)，這是不可取的。解答：D是AB中點(diǎn)（已知）（線段中點(diǎn)定義）E是AC中點(diǎn)（已知）（線段中點(diǎn)定義）又ABAC（已知）（等式的性質(zhì)）即ADAE（等量代換）點(diǎn)津：要養(yǎng)成“講道理”的習(xí)慣，初學(xué)時(shí)應(yīng)在每一步之后注明推理的依據(jù)。在小學(xué)階段，“三角形內(nèi)角和為180°”的證明，需要用到平行線的相關(guān)性質(zhì)；而證明“三角形兩邊之和大于第三邊”要用到公理“在所有連接兩

4、點(diǎn)的線中，線段最短”。例3、如圖，已知ABC中，ABAC4，P是BC上任意一點(diǎn)，PDAB于D，PEAC于E，若ABC的面積為6，求PDPE的值。思路導(dǎo)航：仔細(xì)體會(huì)題目意思，“P是BC上任意一點(diǎn)”，明確是要求出P在BC上的任何位置時(shí)，PD PE的值。再進(jìn)一步分析，若PD PE的值不變的話，只要假設(shè)P在某個(gè)特殊的位置，就能比較方便地求出PDPE的值了。但這并不是推理證明。解答：連接APPDAB（已知）（三角形面積公式）PEAC（已知）（三角形面積公式）（等式的性質(zhì)）即（等式的性質(zhì)）點(diǎn)津：這里的線段AP是我們?yōu)榱私忸}方便而作出來的，這叫做輔助線。通常輔助線用虛線表示。添加輔助線來解題，是我們以后解幾

5、何題時(shí)常用的辦法。在中學(xué)，對(duì)于解答題，并不是只要求出得數(shù)即可，而應(yīng)重視解答過程中的論證及其依據(jù)。知識(shí)點(diǎn)三 三角形的外角三角形一條邊的延長線與其相鄰的一條邊組成的角，叫做三角形的外角。關(guān)于三角形的外角有如下定理：定理1：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。定理2：三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角。定理3：三角形的外角和為（每個(gè)頂點(diǎn)處的外角只取其中一個(gè)）。在中學(xué)學(xué)習(xí)中，同學(xué)們一定不能只注重結(jié)論，還必須弄清楚其來源和推理過程。例4、已知：如圖，在中，BE是AC邊上的高，CF是AB邊上的高，H是BE和CF的交點(diǎn)。求的度數(shù)。思路導(dǎo)航：無論解答題還是證明題，其解答或證明過程都是將已知

6、條件和結(jié)論聯(lián)系起來。因此，我們的任務(wù)就是將“”與“”聯(lián)系起來，過程中可能會(huì)用到條件“BE是AC邊上的高，CF是AB邊上的高”。解答：BE是AC邊上的高CF是AB邊上的高（已知），（高線定義）在中，（三角形內(nèi)角和定理）（已知）（已證）（等式的性質(zhì)）即在中，（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）（已證）（已證）點(diǎn)津：有的同學(xué)認(rèn)為只有證明題才需要推理依據(jù)，計(jì)算題與證明題不同，只要算出得數(shù)即可。這個(gè)觀念是極其錯(cuò)誤的，計(jì)算題在計(jì)算過程中也存在著推理論證，也要求言之有據(jù)！知識(shí)點(diǎn)四 三角形的角平分線在三角形中，一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段，叫做這個(gè)三角形的角平分線

7、。例5、已知：如圖，中，AD是角平分線，。求的度數(shù)。思路導(dǎo)航：由于已知，所以，為求的度數(shù)，只需再知道的度數(shù)就可以了。為求，只需再知道的度數(shù)就可以了。為求，只需知道和的度數(shù)就可以了。而和的度數(shù)已知，所以，問題得解。解答：在中，（三角形內(nèi)角和定理）（等量減等量，差相等?？珊喎Q為等式的性質(zhì)）又，（已知）（等量代換）又AD平分（已知）（角平分線定義）（等量代換）在中，（三角形內(nèi)角和定理）（等式的性質(zhì)）（等量代換）點(diǎn)津：我們?cè)诜治鲱}目的過程中，經(jīng)常使用“要求什么，只要求什么”的思維方法，這種思維方法即為分析法，是一種很常用的方法，在分析解題思路時(shí)很有用。我們?cè)诜治?、聽講、閱讀幾何問題時(shí)，一定要結(jié)合幾何圖

8、形來進(jìn)行。四、知識(shí)提煉導(dǎo)圖：五、目標(biāo)期望：通過本講的學(xué)習(xí)，希望同學(xué)們了解初中研究幾何的方法與小學(xué)不同，主動(dòng)、自覺地培養(yǎng)自己理性思維的習(xí)慣，即演算、論證過程要言之有據(jù)。希望同學(xué)們?cè)诤罄m(xù)的學(xué)習(xí)過程中，形成這樣的觀點(diǎn)：學(xué)習(xí)幾何的過程中最重要的不是許許多多的結(jié)論，而是如何得出這些結(jié)論的過程！本講選用三角形為例來說明以上觀點(diǎn)，希望同學(xué)們能用新的觀點(diǎn)重新研究小學(xué)的一些結(jié)論（比如三角形的內(nèi)角和、三邊的大小關(guān)系等），多思考為什么能得出這些結(jié)論。六、下講預(yù)告：著名數(shù)學(xué)教育家波利亞如是說：“要想成為一個(gè)好的數(shù)學(xué)家，你必須首先是一個(gè)好的猜想家，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性工作成果是論證推理，即證明，但這個(gè)證明是由合情推理、由猜想

9、來發(fā)現(xiàn)的?！眹伊x務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)中明確指出“培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)”、“學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程。”下一講，我們將學(xué)習(xí)如何觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測，它們是創(chuàng)造的基石?！就骄毩?xí)】（答題時(shí)間：45分鐘）1、火眼金睛：（1）下列說法中正確說法的個(gè)數(shù)是（ ）鈍角三角形有兩條高在三角形內(nèi)部；三角形三條高至多有兩條不在三角形內(nèi)部；三角形三條高的交點(diǎn)不是在三角形內(nèi)部，就是在三角形外部；鈍角三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)一定不在三角形內(nèi)部。A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)（2）如果三角形三邊長分別為、，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. （3）一個(gè)等腰三角形

10、的周長是11，其中一邊長是3，則其他兩邊長是（ ）A. 3和5B. 4和4C. 3和5或4和4D. 不能確定（4）五條線段的長分別為1，2，3，4，5，以其中三條線段為邊長可以構(gòu)成的三角形的個(gè)數(shù)為（ ）A. 3個(gè)B. 4個(gè)C. 5個(gè)D. 6個(gè)（5）如圖，滿足下列（ ）關(guān)系式A. B. C. D. 2、對(duì)號(hào)入座：（1）已知：如圖，中，OA、OB分別平分、，若，則 ；（2）已知：如圖，AD、AE分別是的高和角平分線，若，則 ， ， ；（3）已知中，垂足為D、E，AD6，BC10，BE8。則AC的長為_；（4）已知中，AD平分，AE是BC邊上的高，則_；（5）已知：如圖，BE、CE是、的平分線，BF

11、、CF是、的平分線，則 ， 。3、牛刀小試：（1）已知：如圖，中，AE平分。求證：。（2）已知：中，D為AB邊上一點(diǎn)，且ADAC，求證：。【試題答案】1、火眼金睛：（1）A 解析：鈍角三角形只有一條高在三角形內(nèi)部，錯(cuò)；三角形三條高不能都不在內(nèi)部，對(duì)；三角形三條高的交點(diǎn)可以在定點(diǎn)處，錯(cuò)；鈍角三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)一定在三角形內(nèi)部，錯(cuò)。（2）C 解析：因?yàn)?，邊最長，所以只要滿足即可，解得。（3）C 解析：若3為腰長，則底邊為；若3為底邊長，則腰長為；均能構(gòu)成三角形。（4）A 解析：較短邊為1和2時(shí)，均不能構(gòu)成三角形；較短邊為1和3時(shí)，均不能構(gòu)成三角形；較短邊為1和4時(shí)，均不能構(gòu)成三角形；較短邊為2和3時(shí)，能構(gòu)成三角形的只有2、3、4；較短邊為2和4時(shí)，能構(gòu)成三角形的只有2、4、5；較短邊為3和4時(shí)，能構(gòu)成三角形的只有3、4、5。（5）A 解析：。2、對(duì)號(hào)入座：（1）（2