導(dǎo)數(shù)定義的應(yīng)用

1、導(dǎo)數(shù)定義的應(yīng)用 楊 文摘 要 通過實(shí)例討論導(dǎo)數(shù)定義式在計(jì)算中的應(yīng)用，有助于理解和應(yīng)用導(dǎo)數(shù)概念.關(guān)鍵詞 導(dǎo)數(shù);定義;應(yīng)用;連續(xù);分段函數(shù)0 引言導(dǎo)數(shù)是微分學(xué)中一個(gè)很基本的概念，它形式上雖然是一個(gè)簡單的極限式子，同時(shí)還有具體的幾何和物理意義，但還是相對抽象，尤其是當(dāng)定義式需要靈活變化時(shí).深入理解導(dǎo)數(shù)的概念能夠幫助我們很好地解題.1 預(yù)備知識定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在處取得增量（點(diǎn)+仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)取得增量,如果與之比當(dāng)0時(shí)的極限存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記為,即 . (1) 令（1）中的時(shí)，則當(dāng)時(shí)， 因此（1）式又可寫為 . (2)

2、令，則得到（3）式 . (3)顯然，導(dǎo)數(shù)概念說到底是一種特殊極限，它同連續(xù)概念（也是種特殊極限）一樣，都是描述在某一點(diǎn)的性態(tài).由于求的是極限值，故由左，右極限的定義，可引出左,右導(dǎo)數(shù)的定義： ， .顯然在某些點(diǎn)處（如分段函數(shù)），必須分別討論左右導(dǎo)數(shù)的存在性，然后再斷定函數(shù)的可導(dǎo)性.2 用導(dǎo)數(shù)的定義判斷函數(shù)的可導(dǎo)2.1應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)導(dǎo)數(shù)函數(shù)可導(dǎo)性已知時(shí)，求導(dǎo)函數(shù)用導(dǎo)數(shù)的定義法可簡化步驟例1 已知，求分析對函數(shù)，如果先求，再 求就會(huì)很麻煩，這里直接用導(dǎo)數(shù)的定義來求解會(huì)更方便.解 2006.所以求可導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值，通常是先求這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再將代入，這是一般處理方法.然而，在本題情況下，

3、不易求得，此時(shí)，我們可返回到導(dǎo)數(shù)的原始定義，直接利用函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)定義來求，就顯得比較簡單.函數(shù)的可導(dǎo)性未知時(shí)，求導(dǎo)函數(shù)往往用導(dǎo)數(shù)的定義例2 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，又，對滿足的一切，求.分析由于題設(shè)中沒有說明的可導(dǎo)性，所以不能直接利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則對求導(dǎo)，這里用導(dǎo)數(shù)的定義求.解 不妨設(shè)，由于的連續(xù)性，所以存在>0,當(dāng)<時(shí)，于是有 = = = = =1.由的任意性知=.求帶絕對值符號的函數(shù)在分段點(diǎn)處的函數(shù)導(dǎo)數(shù)時(shí)，求導(dǎo)函數(shù)往往用導(dǎo)數(shù)的定義例3 設(shè)=，求.分析由于分段函數(shù)在分段點(diǎn)兩側(cè)的解析式不同，要求分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值則顯然要用定義來求.而含有絕對值的函數(shù)，先要去掉絕對值，再轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)

4、，再考慮其可導(dǎo)性.解 將函數(shù)=去掉絕對值，化為分段函數(shù)=，顯然，當(dāng)時(shí),無定義.當(dāng)時(shí)，=.當(dāng)時(shí)，=， 又=-1，=1.可知不存在.當(dāng)時(shí),=.當(dāng)時(shí),=，又，可知也不存在.綜上所述，有=.求分段函數(shù)在分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，往往用導(dǎo)數(shù)的定義例4 已知函數(shù),那么求.分析此題目是有間斷點(diǎn)的分段函數(shù)，我們必須應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義對其分段討論，判斷其導(dǎo)數(shù)的存在性.解 ，.所以 不存在，即的值不存在.2.2用導(dǎo)數(shù)的定義判斷函數(shù)在某點(diǎn)的可導(dǎo)性判斷一般函數(shù)某點(diǎn)的可導(dǎo)性例5 判斷函數(shù)在處是否可導(dǎo).解 ，.則有.可見在處不可導(dǎo).判斷帶有絕對值函數(shù)的可導(dǎo)性 判斷絕對值函數(shù)在其零點(diǎn)的可導(dǎo)性，我們通常以此點(diǎn)為分界點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，再利用

5、導(dǎo)數(shù)的定義判斷是否可導(dǎo).例6 設(shè)，其中在點(diǎn)連續(xù)，試問在什么條件下在處可導(dǎo).分析先去掉絕對值符號，再利用在處可導(dǎo)，即可判斷結(jié)果.解 由于，則有0， ， ，由于存在的充要條件是.若要存在，必須=，即=0，此時(shí)=0.例7 判斷函數(shù)在點(diǎn)處是否可導(dǎo)？解 ，由導(dǎo)數(shù)的定義可知 ， .因?yàn)?，所以 在處不可導(dǎo).判斷分段函數(shù)的可導(dǎo)性例8 討論函數(shù)在處的可導(dǎo)性. 分析函數(shù)為分段函數(shù)，且在連續(xù)，則我們只需要判斷函數(shù)在處是否導(dǎo)數(shù)存在，即左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù).解 1， 1.則有 1.所以函數(shù)在處可導(dǎo)，且.2.3用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)極限顯然導(dǎo)數(shù)的定義是型函數(shù)的極限，因此當(dāng)所求極限的形式與導(dǎo)數(shù)定義式相似時(shí)，可考慮通過變形后轉(zhuǎn)化為

6、導(dǎo)數(shù)的定義的形式，再進(jìn)行求解.例9 求.分析對于求此型函數(shù)極限用洛比達(dá)法則求極限比較麻煩，我們考慮變形后用導(dǎo)數(shù)的定義求解.解 = = = =102.例10 求解 = = =sin.例11 設(shè)在處可導(dǎo)，且，試求.分析對于求此型函數(shù)極限，若用洛比達(dá)法求極限需要在處具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，因此我們考慮用導(dǎo)數(shù)的定義解題.解 =2.2.4利用導(dǎo)數(shù)定義解函數(shù)方程此類題目中一般出現(xiàn)“函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上有定義，且存在”在附加一些其他條件.如果類似于下題中求，總是：先由附加條件求出，再由導(dǎo)數(shù)定義寫出，最后求出.例12 設(shè)在上有定義，且，又對任給有求，求.分析本題不能直接從已知條件中求出，必須先由附加條件求出，再用導(dǎo)數(shù)的定

7、義求出，最后積分求出.解 在中，令， 得，則，.即=，積分得，令，于是，則，因此.2.5題中有形如時(shí)，可考慮由導(dǎo)數(shù)的定義式及函數(shù)的連續(xù)性求某些結(jié)果例13 設(shè)且，證明：.分析由二階可導(dǎo)，知連續(xù).又，故有 =.=0及.由已知條件連續(xù)，可推得隱含的條件0，.解 根據(jù)以上討論，的帶拉格朗日型余項(xiàng)的一階泰勒公式為（在0與之間）.由，便得=.3 導(dǎo)數(shù)定義法與其他方法的綜合應(yīng)用 導(dǎo)數(shù)的定義在題目中的變式有多樣，我們需要配合使用多種數(shù)學(xué)方法，進(jìn)行靈活處理，以便尋求合適的解決方法.例14 設(shè)=，求.分析題目已知了=，則我們可應(yīng)用導(dǎo)數(shù)與積分的互逆關(guān)系求解.解 原式=2=2. 另外，仿照一階導(dǎo)數(shù)的定義式（3），我們

8、還可以寫出二階，三階.階導(dǎo)數(shù)的定義形式，如：.例15 若在處二階可導(dǎo)，求.分析本題明確給出在處二階可導(dǎo)，則我們可將其變形后再應(yīng)用二階導(dǎo)數(shù)的定義式求解.解 原式=.例16 如果函數(shù)y=處處二階可導(dǎo)，且點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)，求.分析先將和導(dǎo)數(shù)定義式相似的式子進(jìn)行變形，由已知函數(shù)y=處處二階可導(dǎo)，再次利用二階導(dǎo)數(shù)的定義式.解 原式= =.因?yàn)樘幪幙蓪?dǎo)，且點(diǎn)是曲線y=的拐點(diǎn)，故必有=0.在應(yīng)用函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的定義式解題時(shí)一般應(yīng)用到2階至5階即可簡化題目，但由應(yīng)用函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的定義式解題會(huì)適得其反.可見，如果熟練掌握導(dǎo)數(shù)的定義，再適當(dāng)配合使用洛比達(dá)法則等方法，我們就會(huì)方便地求出所需結(jié)果. 定義是我們解決問題的

9、有力手段，我們要有效應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義解題，這需要我們對導(dǎo)數(shù)的定義有深刻的理解.而且，通過應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義解題，能夠促進(jìn)我們對導(dǎo)數(shù)定義的進(jìn)一步理解.參考文獻(xiàn)12 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)研究室. 高等數(shù)學(xué)(第四版)M.北京：高等教育出版社，1996：97.3 齊邦交. 極限解題的策略與技巧M.西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2009.7.4 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(下)(第三版)M.北京：高等教育出版社2001.6.5 張一龍. 淺談導(dǎo)數(shù)定義在導(dǎo)數(shù)計(jì)算中的地位和作用J.高等數(shù)學(xué)研究，2003（3）.6 蔡子華. 2006年考研數(shù)學(xué)歷年真題精析（數(shù)學(xué)一）（修訂版）M.北京：現(xiàn)代出版社， 2005.7 金圣才. 高等數(shù)學(xué)考研真題與典型題詳解M.北京：中國石化出版社，2005.Derivative Definition of Applications YangwenAbstract In this paper, we give several examples to show the applications of the definition of derivative ,which