小五組合圖形的面積教師輔導講義

1、精銳教育學科教師輔導講義學員編號： 年 級：小五 課 時 數(shù)：3學員姓名： 輔導科目：數(shù)學 學科教師： 授課類型T(組合圖形的面積）C（等量代換求面積）T（割補法求面積）授課日期及時段教學內(nèi)容組合圖形的面積一、同步知識梳理在組合圖形中，三角形的面積出現(xiàn)的機會很多，解題時我們還可以記住下面三點：1.兩個三角形等底、等高，其面積相等；2.兩個三角形底相等，高成倍數(shù)關系，面積也成倍數(shù)關系；3.兩個三角形高相等，底成倍數(shù)關系，面積也成倍數(shù)關系。4.在求組合圖形的面積時，通過把它轉(zhuǎn)化成基本圖形來計算。把組合圖形轉(zhuǎn)化成基本圖形的方法有：分割法和添補法、割補法。 組合圖形面積分割法 添補法 組合圖形 轉(zhuǎn)化

2、基本圖形二、同步題型分析題型1：用分割法求組合圖形的面積例1：求圖中陰影部分的面積（單位：cm）（1）（下圖每小格為1平方厘米） 分析：我們用正方形的個數(shù)加上三角形的個數(shù)除以2就是圖形的面積解答：（1）A圖面積：3+4÷2=5（平方厘米）；B圖面積：4+4÷2=6（平方厘米）；點評：本題考查了梯形與三角形的面積公式及正方形塊的計算，考查了學生靈活解決問題的能力例2、如圖是一個組合圖形，請用兩種方法計算出這個圖形的面積（單位：米）分析：（1）如圖所示，圖形的面積=梯形的面積+正方形的面積，代入數(shù)據(jù)即可求解；（2）如圖所示，圖形的面積=三角形的面積+長方形的面積，代入數(shù)據(jù)即可求

3、解解析：解：（1）（2+6）×（62）÷2+2×2，=8×4÷2+4，=32÷2+4，=20（平方米）；（2）（62）×（62）÷2+6×2，=4×4÷2+12，=8+12，=20（平方米）；答：這個圖形的面積是20平方米點評：解答此題的關鍵是：將圖形分割成容易求面積的圖形例3、一條長方形毛巾，長60厘米，寬25厘米，把它的4個角折向同一面（如圖），所得的每個三角形的面積都是32平方厘米，求圖中陰影部分面積分析：由題意可知：4個角的小三角形的面積已知，則4個角所在的小正方形的面積就可以

4、求出，于是用長方形的面積4個小正方形的面積=陰影部分的面積，將數(shù)據(jù)代入此關系式，問題即可得解解答：60×2532×2×4，=1500256，=1244（平方厘米）；答：圖中陰影部分的面積是1244平方厘米點評：解答此題的關鍵是明白：陰影部分的面積=長方形的面積4個小正方形的面積題型2：添補法求組合圖形的面積例1：求圖中陰影部分的面積（單位：cm）（1） 分析：我們運用圖形的面積減去三角形的面積就是要求出的面積解答：（60+80）×30÷260×20÷2，=2100600，=1500（平方厘米）點評：本題考查了梯形與三角形的面

5、積公式及正方形塊的計算，考查了學生靈活解決問題的能力題型3：通過基本圖形的關系求面積例1：已知圖中陰影部分的面積是8.2平方厘米，求梯形的面積分析：陰影部分的面積已知，則可以利用三角形的面積公式求出它的底，也就等于知道了梯形的上底，從而可以利用梯形的面積公式求解解答：8.2×2÷4，=16.4÷4，=4.1（厘米），（4.1+9）×4÷2，=13.1×4÷2，=52.4÷2，=26.2（平方厘米）；答：梯形的面積是26.2平方厘米點評：此題主要考查三角形和梯形的面積的計算方法，關鍵是先求出三角形的底，也就是梯形的上

6、底例2：求圖中陰影部分的面積（單位：厘米）分析：根據(jù)長方形的面積公式：s=ab，三角形的面積公式：s=ah÷2，用長方形的面積減去三個空白三角形的面積即可解答：16×1016×（10÷2）÷210×（16÷2）÷2（10÷2）×（16÷2）÷2，=160404020，=60（平方厘米）；答：陰影部分的面積是60平方厘米點評：此題考查的目的是掌握組合圖形的面積計算方法，一般采用“求空求差”法，根據(jù)長方形、三角形的面積公式解答例3：已知如圖大正方形的邊長是5厘米，小正方形的邊長是

7、3厘米，求陰影部分的面積分析：要求陰影部分的面積，只要求出梯形CDFE和BCD面積和，然后減去BEF的面積，即可求得陰影部分的面積解答：（5+3）×3÷2+5×5÷23×（3+5）÷2，=8×3÷2+5×5÷23×8÷2，=12+12.512，=12.5（平方厘米）答：陰影部分的面積是12.5平方厘米點評：在求組合圖形的面積時，一般要轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積，再通過圖形之間的關系進行計算例4：求如圖平行四邊形中陰影部分的面積（單位：厘米）分析：如圖所示，S陰影=SABCSADE，

8、將題目所給數(shù)據(jù)分別代入三角形面積公式即可求出陰影部分的面積解答：6×（3+1）÷22×1÷2，=6×4÷21，=24÷21，=121，=11（平方厘米）；答：陰影部分的面積是11平方厘米點評：解答此題的關鍵是明白：S陰影=SABCSADE，于是問題可輕松得解例5：正方形面積是25平方厘米，ADE的面積比ACE的面積大1.5平方厘米，求DE的長和梯形ABCE的面積分析：我們運用正方形的面積求出正方形的邊長，再根據(jù)三角形的面積公式求出DE的長度，再用正方形面積的一半加上AEC的面積，就是梯形ABCE的面積解答：因為正方形面積是2

9、5平方厘米，所以25平方厘米=5×5，即正方形的邊長是5厘米，ADC=25÷2=12.5（平方厘米）；（12.51.5）÷2+1.5，=11÷2+1.5，=5.5+1.5，=7（平方厘米）；DE的長度是：7×2÷5，=14÷5，=2.8（厘米）；梯形ABCE的面積是：12.5+（12.57），=12.5+5.5，=18（平方厘米）；答：DE的長度是2.8厘米，梯形的面積是18平方厘米點評：本題運用三角形的面積公式及正方形的面積公式進行解答即可三、課堂達標檢測1求出如圖中涂色部分的面積分析：圖中涂色部分的面積等于上底60cm，

10、下底80cm，高30cm的梯形面積減去底60cm，高20cm的三角形面積解析：（60+80）×30÷260×20÷2=140×30÷21200÷2=2100600=1500（cm2）答：涂色部分的面積為1500cm2點評：考查了求組合圖形的面積，注意尋找計算陰影部分的面積的簡便方法解決問題的關鍵是讀懂題意，找到所求的量的等量關系2已知梯形的面積是75平方厘米，求圖中陰影部分的面積分析：我們用梯形的面積乘以2除以上下底的和就是梯形的高，然后運用三角形的面積公式求出陰影部分的面積解答：8.5×75×2

11、7;（8.5+6.5）÷2，=8.5×10÷2，=42.5（平方厘米）；答：陰影部分的面積是42.5平方厘米點評：本題運用梯形的面積公式及三角形的面積公式進行解答即可3、下面的組合圖形你一定很熟悉吧，那就請你動起手來，試一試吧如圖陰影部分是梯形，左面長方形長4厘米，寬3厘米，A為寬中點求陰影部分的面積？分析：由題意可知：陰影部分的面積=平行四邊形的面積三角形的面積，平行四邊形的底為3厘米，高為4厘米；三角形的底為3厘米，高為（4÷2）厘米，代入即可求解解答：3×43×（4÷2）÷2，=123×2÷

12、;2，=123，=9（平方厘米）；答：陰影部分的面積是9平方厘米點評：解答此題的關鍵是明白：陰影部分的面積=平行四邊形的面積三角形的面積，求出計算面積所需要的線段的長度，即可求出陰影部分的面積4、甲、乙為正方形，計算陰影部分面積（單位：厘米）分析：如圖所示，陰影部分的面積=梯形ABDE的面積+三角形BCD的面積三角形ACE的面積，將數(shù)據(jù)代入梯形和三角形的面積公式即可求解解答：（4+5）×5÷2+4×4÷2（4+5）×5÷2，=22.5+822.5，=8（平方厘米）；答：陰影部分的面積是8平方厘米點評：解答此題的關鍵是：弄清楚陰影部分的

13、面積可以由哪些圖形的面積和或差求出5、計算陰影部分面積（單位：厘米）分析：如圖所示，陰影部分的面積=平行四邊形的面積三角形的面積，平行四邊形的底和高分別為10厘米和15厘米，三角形的底和高分別為10厘米和（157）厘米，利用平行四邊形和三角形的面積公式即可求解解答：解：10×1510×（157）÷2，=15040，=110（平方厘米）；答：陰影部分的面積是110平方厘米點評：解答此題的關鍵是明白：陰影部分的面積不能直接求出，可以用平行四邊形和三角形的面積差求出用等量代換求組合圖形面積一、專題精講 題型1.下圖是兩個一樣的直角三角形重疊在一起，按圖標數(shù)字，陰影部分面

14、積是多少？（單位：厘米）分析：由圖意知：陰影部分是一個梯形，又因為兩個重疊的直角三角形一樣，所以梯形ABDA1的面積等于梯形B1C1CD的面積，所以求出梯形B1C1CD的面積即可；因為BC=B1C1=12厘米，所以CD=124=8（厘米），DB1和B1C1已知，根據(jù)梯形面積公式計算即可解答：解：因為三角形ABC的面積=三角形A1B1C1的面積，所以三角形ABC的面積三角形A1CD面積=三角形A1B1C1的面積三角形A1CD面積，即梯形ABDA1的面積=梯形B1C1CD的面積，CD=124=8（厘米），梯形B1C1CD的面積為：（8+12）×3÷2，=20×3

15、47;2，=30（平方厘米）即陰影部分梯形ABDA1的面積是30平方厘米答：陰影部分面積是30平方厘米點評：解決本題的關鍵是得出梯形ABDA1的面積等于梯形B1C1CD的面積題型2在如圖中，平行四邊形ABCD的邊BC長10厘米，直角三角形ECB的直角邊EC長8厘米已知陰影部分的總面積比三角形EFG的面積大10厘米2，求平行四邊形ABCD的面積分析：由“陰影部分的總面積比三角形EFG的面積大10厘米2”可知：平行四邊形的面積比直角三角形的面積大10平方厘米，于是利用三角形的面積公式即可求出三角形BCE的面積，進而即可得出平行四邊形的面積解答：解：10×8÷2+10，=40+1

16、0，=50（平方厘米）；答：平行四邊形ABCD的面積是50平方厘米點評：解答此題明白：平行四邊形的面積比直角三角形的面積大10平方厘米，求出直角三角形的面積，問題即可得解題型3.如圖是由大小兩個正方形組成的，小正方形的邊長是4厘米，求三角形ABC的面積分析：如圖所示，三角形ABD和三角形ADC等底等高，則二者的面積相等，分別去掉公共部分（三角形AFD），剩余的部分面積也相等，即三角形ABF和三角形FDC的面積相等，因此三角形ABC的面積就等于小正方形的面積的一半，據(jù)此即可得解解答：解：據(jù)分析可知：4×4÷2=8（平方厘米）；答：三角形ABC的面積是8平方厘米點評：由題意得出

17、三角形ABC的面積就等于小正方形的面積的一半，是解答本題的關鍵題型4.下頁上圖中，ABCD是7×4的長方形，DEFG是10×2的長方形，求三角形BCO與三角形EFO的面積之差。分析：直接求出三角形BCO與三角形EFO的面積之差，不太容易做到。如果利用差不變性質(zhì)，將所求面積之差轉(zhuǎn)化為另外兩個圖形的面積之差，而這兩個圖形的面積之差容易求出，那么問題就解決了。解答：解法一：連結(jié)B，E（見左下圖）。三角形BCO與三角形EFO都加上三角形BEO，則原來的問題轉(zhuǎn)化為求三角形BEC與三角形BEF的面積之差。所求為4×（10-7）÷2-2×（10-7）

18、7;2=3。解法二：連結(jié)C，F(xiàn)（見右上圖）。三角形BCO與三角形EFO都加上三角形CFO，則原來的問題轉(zhuǎn)化為求三角形BCF與三角形ECF的面積之差。所求為4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。解法三：延長BC交GF于H（見下頁左上圖）。三角形BCO與三角形EFO都加上梯形COFH，則原來的問題轉(zhuǎn)化為求三角形BHF與矩形CEFH的面積之差。所求為（4+2）×（10-7）÷2-2×（10-7）=3。解法四：延長AB，F(xiàn)E交于H（見右上圖）。三角形BCO與三角形EFO都加上梯形BHEO，則原來的問題轉(zhuǎn)化為求矩形BHEC與

19、直角三角形BHF的面積之差。所求為4×（10-7）-（10-7）×（4+2）÷2=3。二、專題過關1、如圖，兩個相同的直角三角形部分重疊在一起，求陰影部分的面積（單位：厘米）分析：由圖意可知：兩個三角形都去掉公共部分（三角形DOC），則剩余部分的面積仍然相等，即陰影部分的面積=梯形OEFC的面積，先求出梯形的上底，進而利用梯形的面積公式即可求解解答：解：（93+9）×2÷2=15（平方厘米）；答：陰影部分的面積是15平方厘米點評：解答此題的關鍵是明白：陰影部分的面積=梯形OEFC的面積2、如圖所示，兩個相同的直角三角形部分疊在一起求陰影部分的面

20、積（單位：厘米）分析：由圖意可知：陰影部分的面積就等于梯形ABCD的面積，梯形的下底和高已知，上底可以求出，從而利用梯形面積公式即可求解解答：（83）+8×5÷2，=（5+8）×5÷2，=13×5÷2，=65÷2，=32.5（平方厘米）；答：陰影部分的面積是32.5平方厘米點評：解答此題的關鍵是明白：陰影部分的面積就等于梯形ABCD的面積，利用梯形面積公式即可求解3、如圖，在梯形ABCD中，BC=2AD，E是CD的中點，F(xiàn)是BE的中點，梯形面積為60cm2，求陰影部分面積分析：取BC中點G，連接DG，則ABD的面積、BDG的

21、面積與DGC的面積都等于梯形面積的三分之一，BDC的面積是BDG面積的2倍，BDF面積是BDC面積的一半，而BDF又是BDE面積的一半，據(jù)此逐步解決問題解答：解：如圖：取BC中點G，連接DG，SABD=SBDG=SDGC=60÷3=20（平方厘米），SBDC=20×2=40（平方厘米），SBDE=40÷2=20（平方厘米），SBDF=20÷2=10（平方厘米）；答：陰影部分面積是10平方厘米點評：此題解答關鍵是取BC的中點G并連接GD，這樣就把梯形三等分，然后利用三角形面積之間的關系解答即可4、如圖，ABCD是長方形，AD長10厘米，AB長6厘米，CDE

22、F是平行四邊形，BH長4厘米，求圖中陰影部分的面積分析：由圖意可知：長方形ABCD與平行四邊形CDEF等底等高，則平行四邊形的面積可求，陰影部分的面積=平行四邊形的面積空白三角形HCD的面積，代入數(shù)據(jù)即可求解解答：解：平行四邊形的面積為：6×10=60（平方厘米），三角形HCD的面積為：6×（104）÷2，=6×6÷2，=36÷2，=18（平方厘米）；陰影部分的面積為：6018=42（平方厘米）；答：陰影部分的面積是42平方厘米點評：解答此題的關鍵是明白：長方形ABCD與平行四邊形CDEF等底等高，從而容易求平行四邊形的面積，進而求出

23、陰影部分的面積三、學法提煉一個量可以用它的等量來代替；被減數(shù)和減數(shù)都增加（或減少）同一個數(shù)，它們的差不變。前者是等量公理，后者是減法的差不變性質(zhì)。這兩個性質(zhì)在解幾何題時有很重要的作用，它能將求一個圖形的面積轉(zhuǎn)化為求另一個圖形的面積，或?qū)蓚€圖形的面積差轉(zhuǎn)化為另兩個圖形的面積差，從而使隱蔽的關系明朗化，找到解題思路。用割補法求面積一、能力培養(yǎng)綜合題1計算圖中陰影部分面積（單位：分米）分析：觀察圖將陰影部分的面積進行平移、重組，即為邊長是2分米的正方形的面積的一半，由此根據(jù)正方形的面積公式S=a×a，列式解答即可解答：解：2×2÷2=2（平方分米），答：陰影部分的面積

24、是2平方分米點評：關鍵是將陰影部分的面積進行重組，從而化難為易，利用正方形的面積公式解決問題綜合題2按照下頁圖的樣子，在一平行四邊形紙片上割去了甲、乙兩個直角三角形已知甲三角形兩條直角邊分別為4厘米和8厘米，乙三角形兩條直角邊分別為6厘米和12厘米求陰影部分的面積分析：如下圖，將甲、乙分別平移到如圖位置，則平行四邊形的面積就是圖中畫紅線的長方形的面積，即兩個長方形面積之和，由此再根據(jù)三角形的面積公式S=ah÷2，求出甲、乙的面積，進而求出陰影部分的面積解答：解：將甲、乙分別平移到如圖位置，則平行四邊形的面積就是兩個長方形的面積之和，8×6+4×128×4

25、÷212×6÷2，=48+481636，=9652，=44（平方厘米）；答：陰影部分的面積是44平方厘米點評：解答本題的關鍵是將甲、乙分別平移，求出平行四邊形的面積，再利用三角形的面積公式S=ah÷2解決問題綜合題3 在如圖中，正方形ABCD的邊長是4厘米，E、F分別是邊AB和BC的中點，求四邊形BFGE的面積分析：分別找出AD、DC的中點H、I，并連接BH、AI，如圖所示：利用割補法，把三角形ABH移到三角形BSC下面，同理，原圖變成5個大小相等的正方形，要求的四邊形的面積就是下圖中正方形1的面積；由此即可解決問題解答：解：根據(jù)題干分析可得：四邊形BE

26、GF的面積就是圖中正方形1的面積：4×4÷5=3.2（平方厘米），答：四邊形BFGE的面積是3.2平方厘米點評：此題是利用割補位移的方法解答，關鍵是要弄明白怎樣把圖形轉(zhuǎn)化成5個相等的正方形二、能力點評在組合圖形中，除了多邊形外，還有由圓、扇形、弓形與三角形、矩形、平行四邊形、梯形等圖形組合而成的不規(guī)則圖形，為了計算它們的面積，常常需要變動圖形的位置或?qū)D形進行分割、旋轉(zhuǎn)、拼補，使它變成可以計算出面積的規(guī)則圖形。就是在多邊形的組合圖形中，為了計算面積，有時也要用到割補的方法學法升華1、 知識收獲我們已經(jīng)學習過三角形、正方形、長方形、平行四邊形、梯形等基本圖形的面積計算，在實際

27、問題中，我們遇到的往往不是基本圖形，而是由基本圖形組合、拼湊成的組合圖形，它們的面積不能直接用公式計算。要求掌握兩種方法解決組合圖形面積：一是拼合組合，二是重疊組合2、 方法總結(jié)1.切實掌握有關簡單圖形的概念、公式，牢固建立空間觀念；2.仔細觀察，認真思考，看清所求圖形是由哪幾個基本圖形組合而成的；3.適當采用增加輔助線等方法幫助解題；4，采用割、補、分解、代換等方法，可將復雜問題變得簡單三、技巧提煉在組合圖形中，三角形的面積出現(xiàn)的機會很多，解題時我們還可以記住下面三點：1.兩個三角形等底、等高，其面積相等；2.兩個三角形底相等，高成倍數(shù)關系，面積也成倍數(shù)關系；3.兩個三角形高相等，底成倍數(shù)關

28、系，面積也成倍數(shù)關系。課后作業(yè)作業(yè)1：求陰影部分面積（1）圖1中，梯形的面積是450cm2，求陰影部分面積（單位：厘米）（2）圖2中，三角形ABC和DEF是兩個完全一樣的三角形，AB=10cm，BE=8cm，DH=6cm，求陰影部分面積分析：（1）先根據(jù)梯形的面積和已知的上底與下底，求出這個梯形的高，即陰影部分三角形的高，再利用三角形的面積公式計算即可解答；（2）如圖，因為兩個三角形完全相同，所以陰影部分的面積就等于紅色部分梯形的面積，下底AB=10厘米，上底HE=106=4厘米，高BE=8厘米，據(jù)此再利用梯形的面積公式計算即可解答解答：解：（1）450×2÷（5+25）&

29、#215;25÷2，=900÷3×25÷2，=300×25÷2，=3750（平方厘米），答：陰影部分的面積是3750平方厘米（2）106=4（厘米），（4+10）×8÷2，=14×8÷2，=56（平方厘米），答：陰影部分的面積是56平方厘米點評：此題主要考查組合圖形的面積的計算方法，一般都是把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化到規(guī)則圖形中，利用面積公式進行計算作業(yè)2：圖形：已知圖中空白部分的面積為10，求陰影部分的面積分析：因為空白部分的面積已知，利用三角形的面積公式即可求出空白部分的高，也就等于知道了陰影部

30、分的高，陰影部分的下底可以求出，進而利用梯形的面積公式即可求解解答：解：10×2÷2=10，（3+3+2）×10÷2，=8×10÷2，=40；答：陰影部分的面積是40點評：求出空白部分的高，是解答本題的關鍵作業(yè)3：如圖是由兩個平行四邊形組成的求陰影部分的面積（單位：厘米）：分析：由圖意可知：陰影部分的面積=平行四邊形的面積的一半，又因兩個平行四邊形等底等高，則兩個平行四邊形的面積相等，依據(jù)題目條件，很容易就能求出平行四邊形的面積，進而就可以求出陰影部分的面積解答：解：2.2×1.2÷2，=2.64÷2，=

31、1.32（平方厘米）；答：陰影部分的面積是1.32平方厘米點評：解答此題的主要依據(jù)是：三角形的面積是與其等底等高的平行四邊形面積的一半作業(yè)4：如圖，A、B、E、F四點在一條直線上，ABCD是長方形，AD=8cm，AB=6cm；CDEF是平行四邊形，線段BC、DE交于點H，如果BH=5cm，那么圖中陰影部分的面積是多少？分析：由題意可知：平行四邊形的面積=底×高，其底為CD=6cm，高為AD=8cm，將數(shù)據(jù)代入公式即可求解解答：解：6×8=48（平方厘米）；答：陰影部分的面積是48平方厘米點評：此題主要考查平行四邊形的面積的計算方法作業(yè)5：ABCD與AEFG均為正方形，三角形

32、ABH的面積為6平方厘米，圖中陰影部分的面積是多少？分析：根據(jù)梯形面積公式和三角形面積公式可得：梯形GFDA的面積=三角形GBF的面積，都減去公共部分AHFG的面積，可得圖中陰影部分的面積=三角形ABH的面積解答：解：梯形GFDA的面積=（GF+AD）×AG÷2，三角形GBF的面積=（AG+AB）×GF÷2，因為ABCD與AEFG均為正方形，所以（GF+AD）×AG÷2=（AG+AB）×GF÷2，則梯形GFDA的面積=三角形GBF的面積，則陰影部分的面積=三角形ABH的面積=6平方厘米答：圖中陰影部分的面積是6平方

33、厘米點評：本題的關鍵是根據(jù)正方形的邊長相等，由梯形面積公式和三角形面積公式得到：梯形GFDA的面積=三角形GBF的面積作業(yè)6 如圖大三角形面積為18cm2，邊上的點E和F為中點，求陰影部分面積分析：因為邊上的點E和F為中點，所以ABF的面積是ABC面積的一半，BEF的面積又是ABF面積的一半，據(jù)此解答解答：解；18÷2÷2，=9÷2，=4.5（平方厘米）； 答：陰影部分面積是4.5平方厘米點評：此題主要根據(jù)把三角形的底等分，高不變，面積也等分，利用小三角形與大三角形面積之間的關系解答作業(yè)題7 如圖ABCG和CDEF分別為兩個正方形，大正方形的邊長為8厘米，小正方形的邊長為6厘米分析：把正方形ABCG與正方形CDEF的面積加在一起，用它們的面積的和分別減去BDE、FGE、ABG的面積，得到的差就是陰影部分BEG的面積解答：解：8×8+6×68×（8+6）÷2（86）×8÷26×6÷2，=64+3656818，=100（56+8+18），=10082