導(dǎo)數(shù)應(yīng)用論文(1)

1、 畢 業(yè) 設(shè) 計(jì) (論 文)題 目：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用院 系：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系專(zhuān) 業(yè)：信息與計(jì)算科學(xué)專(zhuān)業(yè)班 級(jí)：2008級(jí)本科2班姓 名：付洋潔學(xué) 號(hào)：20080502074指導(dǎo)教師：崔永剛2012年5月29日導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【摘要】導(dǎo)數(shù)是連接初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的橋梁，用它可以解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題，它是數(shù)學(xué)分析中的熱點(diǎn).通過(guò)例題從簡(jiǎn)單應(yīng)用和綜合應(yīng)用來(lái)說(shuō)明導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，如在函數(shù)單調(diào)性、極值，不等式證明、實(shí)際問(wèn)題應(yīng)用介紹，【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù) 初等數(shù)學(xué) 高等數(shù)學(xué) 應(yīng)用applications of the derivative 【Abstract】Based on the basic theories of differe

2、ntial and derivative, this paper aims to solve the questions related in mathematics and make an illustration ofthe application of derivative and differential through the simple application and comprehensive application by instances, such as introduction of application in functional monotonic, extrem

3、e, inequality proof and practical questions, and to introduce the methods of using derivatives and differential in higher mathematics to solve questions of quadrate infinitive limit. As well as mineralizing the nonlinear function and the simplification of complex calculation by differential in pract

4、ice, introducing derivative into the economics research to turn the objects from constant into variables, thus movements and dialectics entering economics, which is a landmark with a vital significance in the history of Economics. The importance of derivative and differential, along with the wide ap

5、plication in mathematics and daily life will both be illustrated in this paper. 【Keywords】derivative differentia functions extreme approximation 目錄1 引言.12導(dǎo)數(shù)的概念.3導(dǎo)數(shù)的求法.3.1顯函數(shù)導(dǎo)數(shù).導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算.復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)求導(dǎo)法則.基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式.3.2隱函數(shù)導(dǎo)數(shù).3.3由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)法.3.4分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù).4導(dǎo)數(shù)的性質(zhì).5導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.5.1導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)凹凸性及拐點(diǎn)

6、.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值.利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)描繪函數(shù)圖形.利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)問(wèn)題.5.2導(dǎo)數(shù)在曲線中的應(yīng)用.5.3利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根.5.4應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式.5.5導(dǎo)數(shù)在數(shù)列中的應(yīng)用.5.6利用導(dǎo)數(shù)求極限洛必達(dá)法則.5.7物理學(xué)中的導(dǎo)數(shù).5.8經(jīng)濟(jì)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用.結(jié)論.參考文獻(xiàn).致謝.1引言導(dǎo)數(shù)與微分的知識(shí)和方法在數(shù)學(xué)的許多問(wèn)題上，能起到以簡(jiǎn)馭繁的作用，尤其體現(xiàn)在判定函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，曲線的切線，證明不等式，恒等式，研究函數(shù)的變化形態(tài)及函數(shù)作圖上.導(dǎo)數(shù)是微分學(xué)中重要的基礎(chǔ)知識(shí), 是研究函數(shù)解析性質(zhì)的重要手段，在求函數(shù)的極值,最值方面起著“鑰匙”的作用.通過(guò)大學(xué)的課程，我們對(duì)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)一些概念，也有了

7、一定的認(rèn)識(shí).由導(dǎo)數(shù)定義利用極限與無(wú)窮小量之間的關(guān)系，上式可寫(xiě)即函數(shù)在處的改變量課表示成兩部分：的線性部分與的高階無(wú)窮小部分.當(dāng)充分小時(shí)，函數(shù)的改變量可由第一部分近似代替而計(jì)算函數(shù)改變量的精確值，微分概念依賴(lài)于導(dǎo)數(shù)概念，但它具有獨(dú)立的意義，它是函數(shù)的局部線性化.在數(shù)學(xué)上最容易處理的函數(shù)是線性函數(shù)，借助微分可使一大批非線性函數(shù)轉(zhuǎn)化為線性函數(shù).一般來(lái)說(shuō)是較繁瑣、較困難的，但是計(jì)算它的近似值相對(duì)要容易些.2 導(dǎo)數(shù)的概念2.1定義導(dǎo)數(shù)的定義左導(dǎo)數(shù)：右導(dǎo)數(shù)：可以證明：可導(dǎo)連續(xù)即：可導(dǎo)是連續(xù)的充分條件，連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件.導(dǎo)函數(shù)：2.2 導(dǎo)數(shù)的幾何意義圖1曲線在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示為：曲線在點(diǎn)A處切線的

8、斜率.即（是過(guò)A點(diǎn)的切線的傾斜角）（如圖1）則，曲線在點(diǎn)A處切線方程為：3 導(dǎo)數(shù)的求法3.1顯函數(shù)導(dǎo)數(shù)3.1.1導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算3.1.2復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)求導(dǎo)法則 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 （反函數(shù)求導(dǎo)法則）3.1.3基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式； ； ； ； ； ； ； ； ； .3.2隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)如方程，能確定，只需對(duì)方程兩邊對(duì)求導(dǎo)即可.注意3.3 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)法參數(shù)方程，則：為的復(fù)合函數(shù)，所以：3.4分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)分段函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，在分段點(diǎn)處必須用導(dǎo)數(shù)定義來(lái)求導(dǎo)，而在每段內(nèi)仍可用初等函數(shù)求導(dǎo)法則來(lái)求導(dǎo).分段函數(shù)點(diǎn)處極限問(wèn)題，歸納為該點(diǎn)處在左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)是否一致以及該點(diǎn)處是否連續(xù)的問(wèn)題.4 導(dǎo)

9、數(shù)的性質(zhì)前面階紹了導(dǎo)數(shù)的基本知識(shí)，現(xiàn)將用導(dǎo)函數(shù)自身的定義來(lái)探討與導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系性質(zhì)1：若函數(shù)是偶函數(shù)且可導(dǎo)，則其導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù).證明：由是偶函數(shù)，有 則：所以，是奇函數(shù)同理：若函數(shù)是奇函數(shù)且可導(dǎo)，則其導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù).性質(zhì)2：若函數(shù)是周期函數(shù)且可導(dǎo)，則其導(dǎo)函數(shù)也是周期函數(shù).證明：是周期，有所以，是周期函數(shù)性質(zhì)3：若函數(shù)可導(dǎo)且圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則其導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)證明：函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，有且點(diǎn)在的圖象上，所以圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)同理：若函數(shù)可導(dǎo)且圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則其導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)5 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用5.1 導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)是對(duì)函數(shù)的圖像與性質(zhì)的總結(jié)與拓展，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性極佳、最佳的重要

10、工具，廣泛運(yùn)用在討論函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)及證明不等式等方面.在掌握求函數(shù)的極值和最值的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用導(dǎo)數(shù)解決生產(chǎn)生活中的有關(guān)最大最小最有效等類(lèi)似的應(yīng)用問(wèn)題5.1.1利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)增減性的變化規(guī)律，是在研究函數(shù)圖形時(shí)首先考慮的問(wèn)題.在中學(xué)，已經(jīng)知道函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)增減性的定義.下面利用導(dǎo)數(shù)這一工具來(lái)判斷函數(shù)增減性及其確定單調(diào)區(qū)間從圖形直觀分析：若在內(nèi)，曲線上每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都大于0，即，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，在內(nèi)，曲線上每一點(diǎn)的切線斜率都為正，這時(shí)曲線是上升的，即函數(shù)是單調(diào)遞增的（如圖2）.反之，若在內(nèi)，曲線上每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都小于0（即曲線上每一點(diǎn)的切線斜率都為負(fù)）

11、，這時(shí)曲線是下降的，即函數(shù)是單調(diào)遞減的（如圖3）對(duì)于上升或者下降的曲線，它的切線在個(gè)別點(diǎn)可能平行于軸（此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0，即）.因此，函數(shù)的增減性反映在導(dǎo)數(shù)上，有如下定理：定理1：設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則：若時(shí)恒有，則在單調(diào)增加；若時(shí)恒有，則在單調(diào)減少.例1：求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間解：因，由 得所以，單調(diào)遞增區(qū)間為例2：已知函數(shù)，試討論函數(shù)單調(diào)性.解：因，所以（1）當(dāng)時(shí)，令得； 若，則，從而在上單調(diào)遞增； 若，則，從而在上單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時(shí)，令得或； 若，則，從而在上單調(diào)遞減； 若，則，從而在上單調(diào)遞增； 若，則，從而在上單調(diào)遞減.5.1.2利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)凹凸性及拐點(diǎn)在研究函數(shù)圖形的變化狀況時(shí)，知

12、道它的上升和下降顧慮很有好處，但不能完全反映它的變化規(guī)律.如圖4所示的函數(shù)的圖形在區(qū)間內(nèi)雖然是一直上升的，但卻有不同的彎曲形狀.因此，研究函數(shù)圖形時(shí)，考察它的彎曲形狀以及扭轉(zhuǎn)彎曲方向的點(diǎn)是必要的.從圖4看出，曲線向下彎曲的弧度在這段弧段任意點(diǎn)的切線下方，曲線向上下彎曲的弧度在這段弧段任意點(diǎn)的切線上方，據(jù)此給出定義如下：定義1: 在某區(qū)間內(nèi)，若曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線上方，則稱(chēng)曲線在該區(qū)間內(nèi)是上凸的（也稱(chēng)在該區(qū)間內(nèi)此函數(shù)為凹函數(shù)）；在某區(qū)間內(nèi)，若曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線下方，則稱(chēng)曲線在該區(qū)間內(nèi)是下凹的（也稱(chēng)在該區(qū)間內(nèi)此函數(shù)為凸函數(shù)）那么曲線的凹凸性與導(dǎo)數(shù)之間有什么關(guān)系呢？按定義是很難判斷

13、凹凸性的，對(duì)于凹凸性可以用二階導(dǎo)數(shù)來(lái)確定.即有判定定理.定理2：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有二階導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時(shí)，則曲線為凸（此時(shí)在該區(qū)間為凹函數(shù)）當(dāng)時(shí)，則曲線為凹（此時(shí)在該區(qū)間為凸函數(shù)）若曲線呈現(xiàn)凸?fàn)睿蓤D5（1）直觀看出：當(dāng)增大時(shí)，切線斜率隨之變小，說(shuō)明一階導(dǎo)數(shù)函數(shù)在上為減函數(shù)，由函數(shù)單調(diào)性判別法，必有，即.說(shuō)明：若曲線為凸性，必有.同理，若曲線為凹，必有.從另一角度講，該定理為二階導(dǎo)數(shù)的幾何意義.定義2：若函數(shù)在點(diǎn)的左右鄰域上凹凸性相反，則點(diǎn)叫做曲線的拐點(diǎn)（注意拐點(diǎn)不是）由拐點(diǎn)的定義可知，判斷某點(diǎn)是否拐點(diǎn)，只需看該點(diǎn)左右兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)是否異號(hào)，與該點(diǎn)一階、二階導(dǎo)數(shù)是否存在無(wú)關(guān)例3求函數(shù)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解

14、：因，則令，得.所以0+0-0+凹1拐點(diǎn)凸 拐點(diǎn)凹5.1.3利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值函數(shù)由增加變?yōu)闇p少或由減少變?yōu)樵黾?，都?jīng)過(guò)一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，即圖中的“峰”點(diǎn)和“谷”點(diǎn)，這些點(diǎn)是在研究函數(shù)中是十分重要的.定義2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及其某鄰域左右兩側(cè)附近有定義，若對(duì)該鄰域內(nèi)的任意點(diǎn)（）恒有，則為極大值；若成立，則為極小值.應(yīng)當(dāng)注意：極值是一個(gè)局部概念，它只限于的某一鄰域內(nèi)，通過(guò)函數(shù)值相比較才能顯示出來(lái).在一個(gè)區(qū)間上，函數(shù)可能有幾個(gè)極大、極小值.可能會(huì)有極大值小于極小值.定理2 若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則或者不存在.注意：是點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件，但不是充分條件.如，但點(diǎn)不是函數(shù)極值點(diǎn)；函數(shù)

15、在導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能有極值.如，不存在，但點(diǎn)不是函數(shù)極值點(diǎn)（如圖7）將導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)或者不可導(dǎo)的點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為駐點(diǎn).因此函數(shù)的極值必在駐點(diǎn)處取得，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，所以在求得函數(shù)極值的駐點(diǎn)后，就是找到了所有極值可疑點(diǎn).下面階紹函數(shù)在駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)取得極值的充分條件，即極值的判斷方法.定理3（極限存在的充分條件）設(shè)在連續(xù)，在某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，若（左側(cè)）時(shí)，而（右側(cè)），則函數(shù)在處取極大值若（左側(cè)）時(shí)，而（右側(cè)）時(shí)，則函數(shù)在處取極小值若兩側(cè)不變號(hào)，則在處無(wú)極值.該定理的直觀含義為：函數(shù)由單調(diào)增加（或單調(diào)減少）變成單調(diào)減少（或單調(diào)增加）的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，即為極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）.例4求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值解

16、：，當(dāng)時(shí)，；而時(shí)不存在.因此，函數(shù)只可能在這兩點(diǎn)取得極值.+不存在-+極大值極小值由表可見(jiàn)，函數(shù)在區(qū)間，單調(diào)遞增；在區(qū)間單調(diào)遞減.在處有極大值，在點(diǎn)處有極小值.若函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)存在，有如下的判定定理；定理4（極限存在的充分條件之二） 設(shè)，存在，若，則為的極小值；若，則為的極小值；若，本方法無(wú)效，需用極限存在的充分條件之一這個(gè)定理來(lái)進(jìn)一步判定.因?yàn)椋瑒t曲線在點(diǎn)的左右兩側(cè)呈凹狀，因此為極小值；反之，若，則曲線在點(diǎn)的左右兩側(cè)呈凸?fàn)?，因此為極大值.例5求函數(shù)的極值.解：如圖8，因?yàn)?，令，得駐點(diǎn).所以，又因?yàn)?，所以函?shù)在處取得極小值.因?yàn)椋瑒t定理應(yīng)用定理4失效.下面利用定理3.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在處

17、無(wú)極值同理函數(shù)在處去極值（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)和日常生活中，常遇到在一定條件下.怎樣用料最省、成本最低、效率最高或者效益效率最好的問(wèn)題，這些歸納到數(shù)學(xué)問(wèn)題上，即為函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題.假定函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則必存在最大、最小值，其判定方法為：找出可能為極值點(diǎn)的函數(shù)值（即區(qū)間內(nèi)使或不存在的所有點(diǎn)的函數(shù)值）；計(jì)算出端點(diǎn)處的函數(shù)值；比較極值和端點(diǎn)值的大??；其中最大的就是函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值，其中最小的就是函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值.最值與極值是不同的：極值反映的是函數(shù)形態(tài)，即極值只是與該點(diǎn)在附近的函數(shù)值比較而言的，而對(duì)于遠(yuǎn)離該點(diǎn)的情形不予考慮；而最值則是函數(shù)整體形態(tài)的反映，它是指函

18、數(shù)在所考察的區(qū)間上全部函數(shù)值中的最大者（或最小者）.例6求函數(shù)在區(qū)間上的最大、最小值.解：，令即解得，變化時(shí)，的變化如下表：0+0由上表可知最大值是，最小值為例7已知，函數(shù)，當(dāng)為何值時(shí)，取得最小值？解：，由，得，變化時(shí)，的變化如下表：+00+極大值極小值當(dāng)時(shí)，.而當(dāng)時(shí)，；時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)值域例8、求函數(shù)的值域.解：函數(shù)的定義域?yàn)?，又可?jiàn)當(dāng)時(shí)，所以在上是增函數(shù).而，所以函數(shù)的值域是（4）實(shí)際問(wèn)題中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例9甲方是一農(nóng)場(chǎng)，乙方是一工廠，由于乙方生產(chǎn)須占用甲方的資源，因此甲方有權(quán)向乙方索賠以彌補(bǔ)經(jīng)濟(jì)損失并獲得一定的凈收入.在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤(rùn)（元

19、）與年產(chǎn)量（噸）滿足函數(shù)關(guān)系式.若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方元（以下稱(chēng)為賠付價(jià)格）.(1) 將乙方的年利潤(rùn)（元）表示為年產(chǎn)量（噸）的函數(shù)，并求出乙方獲的最大利潤(rùn)的年產(chǎn)量；(2)甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟(jì)損失金額（元），在乙方按照獲得最大利潤(rùn)的產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應(yīng)向乙方要求的賠付價(jià)格是多少？解 （1）由題意得，乙方的實(shí)際年利潤(rùn)為：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取的最大值，因此乙方獲的最大利潤(rùn)的年產(chǎn)量（噸）. (2)設(shè)甲方在索賠中獲得的凈收為元，則，將乙方獲的最大利潤(rùn)的年產(chǎn)量代入上式，可得到甲方凈忙收入與賠付價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系式，令得.因當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，可取最大值.

20、故甲方向乙方要求的賠付價(jià)格是20（元/噸）時(shí)，可獲得最大凈收入.5.1.4利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)描繪函數(shù)圖形（1）曲線的漸近線定義3 若曲線上的一點(diǎn)沿著曲線趨于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，該點(diǎn)與某天直線的距離趨于0，則稱(chēng)此直線為曲線的漸近線.（水平漸近線）若曲線的定義域是無(wú)限區(qū)間，且有：，或，則直線為曲線的水平漸近線.（垂直漸近線） 若曲線有：，或，則直線為曲線的垂直漸近線.（斜漸近線）若成立，則是曲線的一條斜漸近線.由有：所以 即 將求出并代入即可確定例10、求曲線的漸近線解：因，所以是曲線的垂直漸近線由和可知是曲線的斜漸近線（2）函數(shù)圖形的作法描繪圖形的一般步驟如下：確定函數(shù)的定義域、值域及函數(shù)初等形態(tài)（對(duì)稱(chēng)性、周期

21、性、奇偶性）等；求出，；列表討論函數(shù)單調(diào)性、凹凸性及極值、拐點(diǎn)；確定曲線的漸近線；由曲線方程找出一些特殊點(diǎn)的坐標(biāo)；用光滑曲線連接，畫(huà)出的圖象.例11、作函數(shù)的圖形解：函數(shù)的定義域?yàn)?，令，得；令，?列表如下：0+不存在0+不存在+拐點(diǎn)極小值不存在又為曲線的水平漸進(jìn)線為曲線的鉛垂?jié)u進(jìn)線曲線經(jīng)過(guò)，這幾個(gè)點(diǎn)通過(guò)上面的討論可大致繪出圖形（如圖9）5.1.5利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的范圍，它是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的延伸.例12已知向量，若在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù)，求的取值范圍. 解：由向量的數(shù)量積定義，又在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù)，則在 (-1,1)上恒成立.令在區(qū)間-1

22、,1上，則，故在區(qū)間(-1,1)上使恒成立，只需即可，即.即的取值范圍是.5.2導(dǎo)數(shù)在曲線中的應(yīng)用曲線在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示為：曲線在點(diǎn)A處切線的斜率.即.利用導(dǎo)數(shù)這一幾何意義可以幫助我們解決解析幾何中有關(guān)曲線的一些問(wèn)題例13已知拋物線和拋物線，當(dāng)a取何值時(shí)，和有且僅有一條公切線？寫(xiě)出公切線的方程.解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，曲線在點(diǎn)的切線方程是，即 （1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，曲線在點(diǎn)的切線方程是，即 （2）若直線是過(guò)P和Q的公切線，則（1）式和（2）式都是的方程所以消去得方程，由于公切線僅有一條，所以當(dāng)，即時(shí)解得，此時(shí)公切線方程為.例14已知P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求過(guò)P到直線的最小距離.解：（如圖10）由得易知

23、上的點(diǎn)到直線的距離最小.由得，于是曲線上過(guò)點(diǎn)且與直線平行的斜率為，得，則，那么點(diǎn)到直線的距離為故拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求過(guò)P到直線的最小距離為.5.3利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根例15已知，是否存在實(shí)數(shù)，使方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.解：令 則令，得.當(dāng)變化時(shí)，、的變化關(guān)系如下表：010+00+極小值極大值0極小值故存在，使方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根5.4應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用高中新增內(nèi)容的導(dǎo)數(shù)來(lái)證明不等式，關(guān)鍵是“構(gòu)造函數(shù)”，解決問(wèn)題的依據(jù)是函數(shù)的單調(diào)性，這一方法在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用的非常廣泛，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的工具，也是與高等數(shù)學(xué)接軌的有力點(diǎn).例16若，證明：證明：令則，又，則

24、則當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)所以當(dāng)時(shí)，取得最大值因此當(dāng)時(shí)恒有，即時(shí)，有例17已知函數(shù)，證明：證明：由有設(shè)則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，在區(qū)間函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，于是在，有最小值又，所以；設(shè)，則當(dāng)時(shí)，因此在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；因?yàn)?，所以，即?綜上述：5.5導(dǎo)數(shù)在數(shù)列中的應(yīng)用例18、已知函數(shù)，數(shù)列滿足（1）求；（2）證明數(shù)列是遞減數(shù)列解：（1）由已知有，即得又，所以（2）令則，因，所以所以是遞減函數(shù)，則也是遞減的所以數(shù)列是遞減數(shù)列例19已知數(shù)列，求此數(shù)列的最大項(xiàng).解：考察函數(shù)（），則令，則，而，而將，及比較知，的最大值為故該數(shù)列最大項(xiàng)為第10000項(xiàng)，這一項(xiàng)的值為.5.6利用導(dǎo)數(shù)求極限

25、洛必達(dá)法則  5.6.1“”型和“”型定理若函數(shù)與滿足條件：（1），（2）存在，且，（3） 存在.則必有：例20求.解：5.6.2其他形式洛必達(dá)法則只適應(yīng)于“”型和“”型，對(duì)于其他式子，需要經(jīng)過(guò)一系列變換轉(zhuǎn)化為“”型和“”型，在利用洛必達(dá)法則來(lái)求解.其步驟如下：（“”表示可轉(zhuǎn)化為）型或型型，再經(jīng)過(guò)通分型.對(duì)于型，型，型，先取對(duì)數(shù)型，在利用的方法求解.例21、求下列極限解：（型）（型）(型)5.7物理學(xué)中的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)是一個(gè)量對(duì)另一個(gè)量的變化率，在物理學(xué)中，物體的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為合力，位移對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為速度，速度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為加速度，質(zhì)量對(duì)體積的導(dǎo)數(shù)為密度，電量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為電

26、流強(qiáng)度，電壓對(duì)電流的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)體的電阻，單位質(zhì)量的物質(zhì)吸收或者放出的熱量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于物質(zhì)的比熱容，電容器的電量對(duì)電壓的導(dǎo)數(shù)等于電容，功對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于功率，磁通量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)的相反數(shù)是感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，在場(chǎng)強(qiáng)方向上電勢(shì)對(duì)位移的導(dǎo)數(shù)等于電場(chǎng)強(qiáng)度等等.例21.一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程為（1）求質(zhì)點(diǎn)在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度；（2）求在時(shí)的瞬時(shí)速度（用定義和求導(dǎo)兩種方法）.解：（1）質(zhì)點(diǎn)在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為： （2）定義法：質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度 導(dǎo)數(shù)法：質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度 當(dāng)時(shí)，5.8經(jīng)濟(jì)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用數(shù)學(xué)的應(yīng)用遍及所有的科學(xué)領(lǐng)域，也深入到人們的日常生活，而導(dǎo)數(shù)高等數(shù)學(xué)知識(shí)也逐步應(yīng)用到各種經(jīng)濟(jì)問(wèn)題.1、邊際問(wèn)題邊

27、際成本，邊際收益，邊際利潤(rùn)，邊際需求在數(shù)學(xué)上可以表達(dá)為各自總函數(shù)的導(dǎo)數(shù).比如某工廠對(duì)其產(chǎn)品的情況進(jìn)行了大量統(tǒng)計(jì)分析后，得出總利潤(rùn)（元）與每月產(chǎn)量（噸）的關(guān)系為，試確定每月生產(chǎn)20噸，25噸，35噸的邊際利潤(rùn)并作出經(jīng)濟(jì)解釋.邊際利潤(rùn)函數(shù)，則，上述結(jié)果表明當(dāng)生產(chǎn)量每月為20噸時(shí)再增加1噸，利潤(rùn)將增加50元；當(dāng)生產(chǎn)量每月為25噸時(shí)再增加1噸，利潤(rùn)將不變；當(dāng)生產(chǎn)量每月為2035噸時(shí)再增加1噸，利潤(rùn)將減少100元.這說(shuō)明，對(duì)廠家來(lái)說(shuō)，并非生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量越多，利潤(rùn)就高.2.彈性分析在經(jīng)濟(jì)管理中彈性的概念應(yīng)用十分廣泛，許多場(chǎng)合都可以用彈性來(lái)解釋和分析現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，主要有需求的價(jià)格彈性，供求彈性，收益彈性，交叉彈性等.3、最優(yōu)方案選取例23.某廠年需某零件8000個(gè)，現(xiàn)分期分批外購(gòu)，然后均投入使用（此時(shí)平均庫(kù)存量為批量的一半）.若