大學物理答案第十六章

1、第十六章 機械波16-1 一波源作簡諧振動，周期，振幅，當時，振動位移恰為正方向的最大值設(shè)此方程以的速度沿直線傳播，試求(1)此波的波函數(shù)；(2)距波源和處質(zhì)點的振動方程和初相；(3)距波源15m和處質(zhì)點振動的相位差分析波源的周期和頻率就是機械波的周期和頻率，對于平面波，在忽略傳播過程中的能量損失的情況下，波源的振幅就是波的振幅，如果已知波速或波長以及波源的初相，就能給出波函數(shù)由上一章的討論可知，當給出振動的初始位置和運動方向時，振動的初相就確定了由波函數(shù)可以獲得波線上任一點的振動方程；以及任一時刻波線上各點的位移，即波形波線上相位差為質(zhì)點間的距離（也可視為兩個相鄰的相位相同點間的距離）為一個

2、波長解 (1)波源的角頻率為初始時波源振動達正方向的最大值，即，波源的振動方程為已知，波函數(shù)為(2)由波函數(shù)得處振動方程為該處質(zhì)點初相為 處振動方程為該處質(zhì)點初相為或(3)兩點相位差為 處質(zhì)點相位超前16-2 已知平面波波函數(shù)式中、以米計，以秒計，試求(1)波長、周期、波速；(2)在處質(zhì)點的振動方程；(3)在時，該處質(zhì)點的位移和速度這是原點處的質(zhì)點在哪一時刻的運動狀態(tài)？再經(jīng)過后該運動狀態(tài)傳至何處？分析 本題強調(diào)這樣的概念：波的傳播過程是振動狀態(tài)（或相位）的傳播過程在單位時間內(nèi)振動狀態(tài)（或相位）傳播的距離稱為波的傳播速度，也稱為相速度，即本書中的波速（以區(qū)別于反映振幅或能量傳播的群速度）波在介質(zhì)

3、中傳播時，波線上各質(zhì)點仍在各自的平衡位置附近振動，并不跟隨波前進，質(zhì)點的振動速度為解 (1)將波函數(shù)與簡諧波的標準形式對比，得(2)由波函數(shù)得處的振動方程為(3)由波函數(shù)得時處質(zhì)點的位移為該時刻該質(zhì)點振動速度為是原點處質(zhì)點在時刻的振動狀態(tài) 再經(jīng)過該運動狀態(tài)傳播的距離即傳至距該處或距原點處16-3 如圖16-3，一平面簡諧波在空間傳播，已知波線上某點P的振動規(guī)律為,根據(jù)圖中所示的兩種情況，分別列出以O(shè)為原點的波函數(shù)分析 本題可以沿兩條思路求解：(1)由于波線上各點的相位依次落后, 根據(jù)兩點間的距離可以判斷O點比P點相位超前多少或落后多少, 因已知P點的振動方程，就能寫出O點的振動方程，再寫出以O(shè)

4、為原點的波函數(shù)(2) 從P點的振動方程直接寫出以P為原點的波函數(shù)，根據(jù)波函數(shù)的物理意義寫出O點的振動方程，再寫出O為原點的波函數(shù)下面給出第一種解法y y v v l l O P x P O x 圖16-3解 (1)第一種情況，波沿x軸正向傳播，O點的相位比P點超前, 所以O(shè)點的振動方程為 以O(shè)為原點的波函數(shù)為(2)第二種情況，波沿x軸負向傳播，O點在P點右側(cè)，O點的相位比P點超前，所以O(shè)點的振動方程為 以O(shè)為原點的波函數(shù)為16-4 一平面余弦波在時的波形如圖16-4（a）所示(T為周期), 此波以v=36m/s的速度沿x軸正向傳播, (1)畫出t=0時刻的波形圖；(2) 求O、P點的振動初相；

5、寫出O點的振動方程及以O(shè)為原點的波函數(shù).分析 波形曲線，即y-x圖，給出了某一時刻波線上各點的位移已知波速時，從 時的波形可以推出t=0或t=T時的波形，從而可得O點的振動方程, 進而求出O為原點的波函數(shù)y/m 0.2 O P 0.4 x/m-0.2（a） y/m 0.2 0.4 O P x/m （b） 圖16-4解 (1) 時刻的波形沿x軸負向移動即為t=0時的波形，或沿x軸正向移動即得t=T時的波形，如圖16-4(b)(2) 由圖16-4(a)得 又對O點有，t=0時，有 （1） （2）由(1)式得，由(2)式得，所以應(yīng)取對P點， t=0時，有 (3) (4)因A=0.2m，由(3)式得，

6、滿足(4)式(3)波的角頻率 O點的振動方程為 m以O(shè)為原點的波函數(shù)為 m 16-5 一平面波在t=0時的波形曲線如圖16-5中曲線(I)所示，波沿x軸正向傳播，經(jīng)過t=0.5s后, 波形變?yōu)榍€(II). 已知波的周期s, 試由圖中所給條件, 求(1)波函數(shù)；(2)A點的振動方程分析 從波形曲線(I)可以求出振幅、波長以及O點的初相. 但另一個重要的常數(shù)需結(jié)合兩條波形曲線考慮. 從圖上不難看出, 在0.5s內(nèi)波形在x軸正向移動0.1m，于是可以計算出波速再根據(jù)周期、波長、波速間的關(guān)系求出周期，進而求出角頻率. y/m A () O 0.2 0.4 x/m ()圖16-5 解 由圖16-5知,

7、 A=0.1m, m, m/s s rad/s對O點 (1) (2) 由(1)式得，由(2)式得，所以應(yīng)取故O點的振動方程為 m以O(shè)為原點的波函數(shù)為 m(2)將m代入上式，得A點的振動方程為 m 16-6 一平面波的波函數(shù)為 ，式中x，y以m為單位，t以s為單位, 試求:（1）波的振幅、頻率、波長和波速；（2）何時原點處第一次出現(xiàn)波峰；（3）當t=1s時，最靠近原點的兩個波峰位置. 分析 本書約定波函數(shù)以余弦函數(shù)表示, 因此可先把題目給的波函數(shù)化為余弦函數(shù)分列在原點兩側(cè)的第一個波峰應(yīng)是最靠近原點的波峰 解 (1)波函數(shù)化為余弦函數(shù)形式為 m (2) 將x=0, y=A代入波函數(shù)，當?shù)谝淮纬霈F(xiàn)波

8、峰時，有 得 t=0.01s (3) 將t=1s代入波函數(shù)得t=1s時的波形方程欲出現(xiàn)波峰需滿足條件： 得最靠近原點的兩波峰位置為16-7 沿x軸負向傳播的平面簡諧波在t=2s時的波形如圖16-17(a), 波速v=0.5m/s, 求O點的振動方程及此波的波函數(shù).y/m y/m t=0時 0.5 0.5 -1 O 1 x/m O 1 x/m (a) 圖16-7 (b)分析 由已知條件算出T=4s. 欲從t=2s時的波形求出t=0時的波形, 只需將t=2s時的波形曲線沿x軸負向移動半個波長即得. 從t=0時的波形便可求出振動方程的幾個常數(shù).解 從圖16-7(a)知 可得t=0時的波形如圖16-7

9、(b). 從圖知O點將向下運動，于是O點在t=0時有 (1) (2) 由(1)式得，由(2)式得，所以應(yīng)取O點的振動方程為 m以O(shè)為原點的波函數(shù)為 m16-8 一平面簡諧波沿x軸負向傳播, 波長為 P處質(zhì)點元的振動規(guī)律如圖16-8. (1)求P點的振動方程; (2)設(shè)OP=d, 求此波以O(shè)為原點的波函數(shù).分析振動曲線是描繪波線上某點位移與時間關(guān)系的曲線，即y-t圖通過振動曲線可知P點的初始條件有了P點的初始條件，可得P點的振動方程由于波沿x軸負向傳播，因而O點的相位比P點落后解 (1)由振動曲線知P點在t=0時有 (1) (2) yp/m A 0 1 2 3 t/s -A d x O P 圖1

10、6-8 由(1)式得，滿足(2)式因T=4s，則rad/s所以P點的振動方程為 m(2)波沿x軸負向傳播, P點相位比O點超前,所以O(shè)點的振動方程為 m有 以O(shè)為原點的波函數(shù)為m16-9圖16-9 (a)是一平面簡諧波在t=0時的波形曲線. P點位于波線上x=1m處, 圖(b)是P處質(zhì)點元的振動曲線. 求以O(shè)為原點的波函數(shù).y/m y/m 0.2 P O 1 2 x/m O 0.1 0.2 t/s -0.2(a) (b) 圖16-9 分析 題目已給出t=0時的波形曲線，似乎問題很簡單，但由于沒給出波的傳播方向，這樣從波形曲線無法判定t=0時O點的運動方向從題目給出的距O點為1 m處P點的振動曲

11、線可以判明，當t稍微大于零時其位移為正，因而t=0時P點將向上運動再觀察波形圖上x=1.5m處的質(zhì)點，當t=0時位于最大位移處，此后一定要向下運動回到平衡位置既然t=0時P點將向上最大位移處運動， 而1.5m處質(zhì)點已從最大位移返回，便可判斷出P點(1m處)的相位比1.5m處質(zhì)點落后，所以波沿x軸負向傳播解 從圖16-9(a)知 m, T=0.2s, A=0.2m.從圖16-9 (b)P點的振動曲線并結(jié)合波形曲線(a), 判斷出波沿x軸負向傳播, 因而t=0時O點向下運動，O點初相由下兩式?jīng)Q定： (1) (2) 由(1)式得，由(2)式得，所以應(yīng)取得波函數(shù)為 m S1 S2 30m xP o P

12、 x圖16-10 16-10 兩相干波源S1、S2具有相同的振幅、頻率和初相位已知振幅A=0.01m, 頻率為100Hz, 初相位為零. 兩波源相距30m, 相向發(fā)出二簡諧波, 波長為5m. 試求: (1)兩波源的振動方程; (2)在兩波源連線中點處的合振動方程.分析 相干波在相遇點的合振幅是各列波在相遇點引起的振動的合成解 (1) 已知 rad/s所以S1、S2的振動方程為(2) 如圖16-10, 取S1為坐標原點, 向右為正. 第一列波到達波源連線中點P的振動方程為第二列波到達P點的振動方程為所以P點的合振動方程式為 m16-11 一簡諧空氣波, 沿直徑為0.14m的圓柱形管傳播, 波的平

13、均強度為W/m2, 頻率為300Hz, 波速為300m/s. 求: (1)波的平均能量密度和最大能量密度; (2)每兩個相鄰同相面間的波中含有的能量.分析 本題涉及的概念有: 能量密度、平均能量密度、平均能流、能流密度或波的強度. 從能量密度看到, 介質(zhì)單位體積中的能量不守恒, 隨時間作周期變化, 在給定時刻能量又隨單位體積平衡位置坐標x作周期變化，因此波的傳播既是振動相位的傳播又是能量的傳播，因此而稱為行波解 (1)平均能量密度為 平均強度為 能量密度為 最大能量密度為 (2)相鄰同相面間隔的距離為一個波長，即 m相鄰同相面間的波中含有能量16-12 一簡諧波在彈性介質(zhì)中傳播, 波速m/s,

14、 振幅A=1.0×10-4m, 頻率Hz. 若介質(zhì)的密度, 求: (1)該波的能流密度; (2) 若有一平面面積s=4.0×10-4m2, 波速v與該平面法線en的夾角為， 求一分鐘內(nèi)通過該面積的平均能流.解 (1)能流密度為(2)一分鐘內(nèi)通過垂直于波傳播方向的平均能流為16-13 若太陽能電池板的接收面積為13cm2, 當正對太陽時, 電池板產(chǎn)生0.45V電壓, 并提供0.20A電流. 設(shè)太陽光的能流密度為1.0×103W/m2, 求太陽能轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔艿男?分析 1s內(nèi)太陽能電池板產(chǎn)生的電能與1s內(nèi)電池板吸收的太陽能之比就是能量轉(zhuǎn)換效率本題提供的太陽的能流密度是

15、一常識性數(shù)據(jù)解 1 s內(nèi)太陽能電池吸收的太陽能為產(chǎn)生的電能為 E = 0.2×0.45 J = 0.09 J所以轉(zhuǎn)換效率為 A P B x x圖16-1416-14 兩相干平面波波源A、B相距20m, 作同頻率、同方向和等振幅的振動， 它們所發(fā)出的波的頻率為100Hz，波速為200m/s，相向傳播, 且A處為波峰時, B處為波谷, 求AB連線上因干涉而靜止的各點的位置.分析 兩相干波等振幅，所以相干減弱點的振幅為零，即因干涉而靜止A處為波峰時B處恰為波谷, 表明波源A與波源B的相位差為解 兩相干平面波波長為m兩平面波相向傳播，相遇點在兩波源之間，設(shè)P在A、B間，距離波源A為x，如圖1

16、6-14，設(shè)波源B相位比波源A超前，有相遇點為干涉靜止時需滿足條件為得 所以AB連線上因干涉而靜止點的位置為x = k+10 m 16-15 如圖16-15, 兩列波長均為的相干簡諧波, 分別通過圖中的O1和O2點, 通過O1點的簡諧波在M1M2平面反射后與通過O2點的簡諧波在P點相遇. 假定波在M1M2平面反射時有半波損失, O1和O2兩點的振動方程分別為和, 且O1m+mP=8, O2P=3, 求: (1)兩列波分別在P點引起的振動的振動方程; (2)P點的合振幅(設(shè)介質(zhì)無吸收). M1 m M2 PO1 O2 圖16-15 分析 通過O1的簡諧波在M1M2平面的m點反射，反射時有半波損失

17、，即對于通過O1的簡諧波, M1M2平面是波密介質(zhì), 反射時反射波的相位改變介質(zhì)無吸收，即表明振幅保持不變解 (1) s 在M1M2面上反射有半波損失, 所以通過O1點的簡諧波在P點的振動方程為 通過O2點的簡諧波在P點的振動方程為 (2)由(16-22)式, P點合振動的振幅為16-16 如圖16-16(a), 三列波長均為的簡諧波, 各自通過S1、S2、S3后在P點相遇，求P 點的振動方程. 設(shè)三列簡諧波在 S1、S2、S3 振動的振動方程分別為,且S2P=4,S1P=S3P=5, 并設(shè)介質(zhì)無吸收.分析振動的合成采用旋轉(zhuǎn)矢量法最簡便本題可用旋轉(zhuǎn)矢量法先求第一、二個振動的合振動，再與第三個合

18、成. 以此類推可作多個振動的合成解 三列簡諧波在P點的振動方程分別為先將第一列波在P點引起振動的旋轉(zhuǎn)矢量A1與第三列波在P點引起振動的旋轉(zhuǎn)矢量A3合成，合旋轉(zhuǎn)矢量為A13, 如圖16-16(b). 合振動方程為 再將A13與A2合成, 合旋轉(zhuǎn)矢量為A合, 如圖16-16（c）.合振動方程為 P S1 S2 S3 (a) A1 O x A13 A3（b）A2 O x A13 A合 （c）圖16-1616-17 沿弦線傳播的一入射波的波函數(shù)為設(shè)波在x=L處(B點)反射, (1)反射點為自由端, 寫出以B為原點的反射波的波函數(shù); (2)反射端為固定端又如何?分析 考慮在自由端反射的反射波無半波損失，

19、在固定端反射的反射波有半波損失，結(jié)合波函數(shù)的物理意義, 可寫出B點的振動方程沿入射波的傳播方向, 波線上各點相位依次落后，且注意到入射波的波函數(shù)是以O(shè)為原點B點的坐標為xB=L，于是以B為原點的反射波傳到坐標x點時, 傳播距離是L-x. . . x O B L圖16-17 解 (1)如圖16-17, 反射點B為自由端時, 反射波無半波損失，B點坐標xB=L，B點振動方程為反射波沿BO方向傳播, BO間各點的相位均落后于B點, BO上坐標為x的任一點t時刻相位為所以B點為自由端時, 以其為原點的反射波波函數(shù)為(2)當反射點B為固定端時, 反射波有半波損失，以B為原點的反射波波函數(shù)為16-18 兩

20、列波在同一直線上傳播, 波速均為1 m/s.它們的波函數(shù)分別為 式中各量均采用國際單位制. (1)試說明在直線上形成駐波, 并給出波腹、波節(jié)的位置; (2)求在x=1.2m處的振幅. 分析 兩列在同一直線上沿正反方向傳播的等振幅相干波疊加形成駐波駐波波函數(shù)為 為振幅項結(jié)合書上對駐波的討論, 可總結(jié)出駐波區(qū)別于行波的兩個特點：在駐波中無能量傳播, 無相位傳播解 兩波函數(shù)改寫為 所以這兩列波是在同一直線上沿正反方向傳播的等振幅的相干波，在直線上疊加形成駐波，(16-24)式給出駐波波函數(shù)的形式為與已知條件比較，知 得 s ， Hz， m.所以駐波波函數(shù)為 m當 x 滿足時出現(xiàn)波腹, 即 (k=0,

21、1,2,.)解出x=k m出現(xiàn)波腹. 當 x 滿足時出現(xiàn)波節(jié), 即 (k=0,1,2,.)解出 m出現(xiàn)波節(jié). (2)x=1.2m處的振幅為 m .16-19 如圖16-19, 位于x=0 處的波源O作簡諧振動, 產(chǎn)生振幅為A, 周期為T,波長為的平面簡諧波. 波沿x軸負向傳播, 在波密介質(zhì)表面B處反射. 若t=0時波源位移為正最大, 且OB=L, 求:(1)入射波的波函數(shù); (2)以B為原點的反射波的波函數(shù); (3)設(shè)L=, 證明BO間形成駐波, 并給出因干涉而靜止的點的位置. B O xL圖16-19 分析 將入射波的波函數(shù)寫出后與習題16-17 聯(lián)系應(yīng)不難求解. 解題時需十分留心的是題目已把坐標取定, B點的坐標.解 (1)波源的初相由下式給出 (1) (2)從(1)式解出 滿足(2)式, 故 所以以O(shè)為原點, 沿x軸負向傳播的入射波波函數(shù)為 (2)B點坐標xB=-L, 且B點為波密介質(zhì)表面一點, 在B點反射的反射波有半波損失，B點的振動方程為反射波沿x軸正向傳播, BO間坐標為-x的任一點t時刻相位為所以以B為原點的反射波波函數(shù)為(3) 因，所