大物B課后題 振動學(xué)

1、習(xí)題9-5.在氣墊導(dǎo)軌上質(zhì)量為m的物體由兩個輕彈簧分別固定在氣墊導(dǎo)軌的兩端，如圖所示，試證明物體m的左右運動為簡諧振動，并求其振動周期。設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k1和k2. 解：取物體在平衡位置為坐標(biāo)原點，則物體在任意位置時受的力為 根據(jù)牛頓第二定律有 化簡得 令則所以物體做簡諧振動，其周期9-6 如圖所示在電場強度為E的勻強電場中，放置一電偶極矩P=ql的電偶極子，+q和-q相距l(xiāng)，且l不變。若有一外界擾動使這對電荷偏過一微小角度，擾動消失后，這對電荷會以垂直與電場并通過l的中心點o的直線為軸來回擺動。試證明這種擺動是近似的簡諧振動，并求其振動周期。設(shè)電荷的質(zhì)量皆為m，重力忽略不計。 解 取逆時針

2、的力矩方向為正方向，當(dāng)電偶極子在如圖所示位置時，點偶極子所受力矩為 點偶極子對中心O點的轉(zhuǎn)動慣量為由轉(zhuǎn)動定律知化簡得當(dāng)角度很小時有，若令，則上式變?yōu)樗噪娕紭O子的微小擺動是簡諧振動。而且其周期為 9-7 汽車的質(zhì)量一般支承在固定與軸承的若干根彈簧上，成為一倒置的彈簧振子。汽車為開動時，上下為自由振動的頻率應(yīng)保持在 附近，與人的步行頻率接近，才能使乘客沒有不適之感。問汽車正常載重時，每根彈簧松弛狀態(tài)下壓縮了多少長度？ 解 汽車正常載重時的質(zhì)量為m，振子總勁度系數(shù)為k，則振動的周期為，頻率為正常載重時彈簧的壓縮量為9-8 一根質(zhì)量為m，長為l的均勻細(xì)棒，一端懸掛在水平軸O點，如圖所示。開始棒在平衡

3、位置OO，處于平衡狀態(tài)。將棒拉開微小角度后放手，棒將在重力矩作用下，繞O點在豎直平面內(nèi)來回擺動。此裝置時最簡單的物理擺。若不計棒與軸的摩擦力和空氣的阻力，棒將擺動不止。試證明擺角很小的情況下，細(xì)棒的擺動為簡諧振動，并求其振動周期。 解 設(shè)在某一時刻，細(xì)棒偏離鉛直線的角位移為，并規(guī)定細(xì)棒在平衡位置向右時為正，在向左時為負(fù)，則力矩為負(fù)號表示力矩方向與角位移方向相反，細(xì)棒對O點轉(zhuǎn)動慣量為,根據(jù)轉(zhuǎn)動定律有化簡得 當(dāng)很小時有，若令則上式變?yōu)樗约?xì)棒的擺動為簡諧振動，其周期為9-9 一放置在水平光滑桌面上的彈簧振子，振幅，周期，當(dāng)t=0時，求以下各種情況的振動方程。（1）物體在正方向的端點；（2）物體在負(fù)

4、方向的端點；(3) 物體在平衡位置，向負(fù)方向運動;(4）物體在平衡位置，向正方向運動;(5)物體在處向負(fù)方向運動(6)物體在處向正方向運動。解 由題意知（1）由初始條件得初想為是,所以振動方程為 （2）由初始條件得初想為是，所以振動方程為 （3）由初始條件得初想為是，所以振動方程為（4）由初始條件得初想為是，所以振動方程為（5）因為，所以，?。ㄒ驗樗俣刃∮诹悖?，所以振動方程為（6），所以，?。ㄒ驗樗俣却笥诹悖哉駝臃匠虨?-10一質(zhì)點沿x軸做簡諧振動，振幅為0.12m，周期為2s，當(dāng)t=0時，質(zhì)點的位置在0.06m處，且向x軸正方向運動，求；（1）質(zhì)點振動的運動方程；（2）t=0.5s時，

5、質(zhì)點的位置、速度、加速度；（3）質(zhì)點x=-0.06m處，且向x軸負(fù)方向運動，在回到平衡位置所需最短的時間。解 （1）由題意可知：可求得（初速度為零），所以質(zhì)點的運動方程為（2）任意時刻的速度為所以任意時刻的加速度為所以（3）根據(jù)題意畫旋轉(zhuǎn)矢量圖。由圖可知，質(zhì)點在x=-0.06m處，且向x軸負(fù)方向運動，再回到平衡位置相位的變化為所以9-11 一彈簧懸掛0.01kg砝碼時伸長8cm，現(xiàn)在這根彈簧下懸掛0.025kg的物體，使它作自由振動。請建立坐標(biāo)系，分析對下述3種情況列出初始條件，求出振幅和初相位，最后建立振動方程。（1）開始時，使物體從平衡位置向下移動4cm后松手；（2）開始時，物體在平衡位置

6、，給以向上的初速度，使其振動；（3）把物體從平衡位置向下拉動4cm后，又給以向上的初速度，同時開始計時。解 （1）取物體處在平衡位置為坐標(biāo)原點，向下為x軸正方向，建立如圖所示坐標(biāo)系。系統(tǒng)振動的圓頻率為根據(jù)題意，初始條件為振幅，初相位振動方程為（2）根據(jù)題意，初始條件為振幅，初相位振動方程為（3）根據(jù)題意，初始條件為振幅，得振動方程為9-12 質(zhì)量為0.1kg的物體，以振幅做簡諧振動，其最大加速度為，求：（1）振動周期；（2）通過平衡位置時的動能；（3）總能量。解 （1）簡諧振動的物體的最大加速度為，所以周期為。（2）做簡諧振動的物體通過平衡位置時具有最大速度所以動能為（3）總能量為 9-13

7、彈簧振子在光滑的水平上面上做振幅為的簡諧振動，如圖所示，物體的質(zhì)量為M，彈簧的勁度系數(shù)為k，當(dāng)物體到達(dá)平衡位置且向負(fù)方向運動時，一質(zhì)量為m的小泥團以速度從右打來，并粘附于物體之上，若以此時刻作為起始時刻，求：（1）系統(tǒng)振動的圓頻率；（2）按圖示坐標(biāo)列出初始條件；（3）寫出振動方程；解 （1）小泥團粘附于物體之后與物體一起做簡諧振動，總質(zhì)量為M+m，彈簧的勁度系數(shù)為k，所以系統(tǒng)振動的圓頻率為 （2）小泥團粘附于物體之上后動量守恒，所以有按圖所示坐標(biāo)初始條件為（3）根據(jù)初始條件，系統(tǒng)振動的初相位為；假設(shè)，系統(tǒng)的振動振幅為A，根據(jù)能量守恒，有其中故得振動方程為9-14 有一個彈簧振子，振幅，周期T=

8、1s，初相位，（1）寫出它的振動方程；（2）利用旋轉(zhuǎn)矢量圖，作x-t,圖。解 （1）由題意可知，所以彈簧振子的振動方程為 （2）利用旋轉(zhuǎn)矢量圖做x-t圖如圖9.7所示9-15 一物體做簡諧振動，（1）當(dāng)它的位置在振幅一半處時，試?yán)眯D(zhuǎn)矢量計算它的相位可能為哪幾個值？做出這些旋轉(zhuǎn)矢量；（2）諧振子在這些位置時，其動能。勢能各占總能量的百分比是多少？解 （1）根據(jù)題意做旋轉(zhuǎn)矢量如圖所示。由圖可知，當(dāng)它的位置在振幅的一半時，它的可能相位是（2）物體做簡諧振動時的總能量為，在任意位置時的時能為，所以當(dāng)它的位置在振幅的一半時的勢能為，勢能占總能量的百分比為25%，動能占總能量的百分比為75%。9-16

9、 手持一塊平板，平板上放以質(zhì)量為0.5kg的砝碼，現(xiàn)使平板在豎直方向上下振動，設(shè)該振動是簡諧振動，頻率為，振幅是0.04m,問：（1） 位移最大時，砝碼對平板的正壓力多大？（2）以多大的振幅振動時，會使砝碼脫離平板？(3) 如果振動頻率加快一倍則砝碼隨板保持一起振動的振幅上限是多大？解 （1）由題意可知，。因為物體在作簡諧振動，物體在最大位移時加速度大小根據(jù)牛頓第二定律有解得（最低位置）， (最高位置)（2）當(dāng)，即時 會使砝碼脫離平板。（3）頻率增大一倍，把代入得9-17 有兩個完全相同的彈簧振子A和B，并排地放在光滑的水平面上，測得它們的周期都是2s。現(xiàn)將兩個物體從平衡位置向右拉開5cm，然

10、后先釋放A振子，經(jīng)過0.5s后，再釋放B振子，如圖所示，若以B振子釋放的瞬間作為時間的起點，（1）分別寫出兩個物體的振動方程；（2）它們的相位差為多少？分別畫出它們的x-t圖。解 （1）由題可知，兩物體做簡諧振動的圓頻率為，若以B振子釋放的瞬時作為時間的起點，則B物體振動的初相位是，振動方程應(yīng)為由于A物體先釋放0.5s時的時間，所以相位超前B物體，所以A物體振動的初相位是，振動方程應(yīng)為（2）它們的相位差為作A,B兩物體的振動曲線如圖9.10所示。9-18 一質(zhì)點同時參與兩個方向、同頻率的簡諧振動，它們的振動方程分別為試 用旋轉(zhuǎn)矢量求出合振動方程。解 作旋轉(zhuǎn)矢量如圖9.11所示。由平面幾何關(guān)系可知合振動的初相位是所以合振動的振動方程為9-19 有兩個同方向、同頻率的簡諧振動，其合振動的振幅為0.2，合振動的相位于第一個振動的相位之差為，若第一個振動的振幅為0.173m，求第二個振動的振幅，第一、第二兩振動的相位差。解 做旋轉(zhuǎn)矢量如圖9.12所示。由平面幾何關(guān)系可知假設(shè)和的夾角為，則由平面幾何可知把已知數(shù)代入解得，9-20 質(zhì)量為0.4kg的質(zhì)點同時參與互相垂直的兩個振動： 式中x,y以m計，t以s計。（1） 求運動軌跡方程；（2） 質(zhì)點在任一位置所受的力。解 （1）由振動方程消去時間因子得軌跡方程為（2）