小學(xué)奧數(shù)工程問題綜合

1、在日常生活中，做某一件事，制造某種產(chǎn)品，完成某項任務(wù)，完成某項工程等等，都 要涉及到工作量、工作效率、工作時間這三個量，它們之間的基本數(shù)量關(guān)系是一一工作量=工作效率X時間.在小學(xué)數(shù)學(xué)中，探討這三個數(shù)量之間關(guān)系的應(yīng)用題，我們都叫做“工程問題”.舉一個簡單例子.：一件工作，甲做15天可完成，乙做10天可完成.問兩人合作幾天 可以完成？一件工作看成1個整體，因此可以把工作量算作 1.所謂工作效率，就是單位時間內(nèi)完 成的工作量，我們用的時間單位是“天”，1天就是一個單位，再根據(jù)基本數(shù)量關(guān)系式，得到工作效率X工作時間=工作總量=6 （天）答：兩人合作需要 6天.這是工程問題中最基本的問題，這一講介紹的許

2、多例子都是從這一問題發(fā)展產(chǎn)生的。為了計算整數(shù)化（盡可能用整數(shù)進行計算） ，如第三講例3和例8所用方法，把工作量多 設(shè)份額.還是上題，10與15的最小公倍數(shù)是30。設(shè)全部工作量為 30份，那么甲每天完成 2份，乙每天完成 3份，兩人合作所需天數(shù)是 ：30-（ 2+ 3 ） = 6 （天）如果用數(shù)計算，更方便.3: 2.或者說“工作量固定，工作效率與時間成反比例”.甲、乙工作效率的比是 10 :15=2 : 3工程問題方法總結(jié)一：基本數(shù)量關(guān)系：工效X時間=工作總量二：基本特點：設(shè)工作總量為“ 1”，工效=1/時間三：基本方法：算術(shù)方法、比例方法、方程方法。四：基本思想：分做合想、合做分想。五：類型

3、與方法：一：分做合想：1.合想，2.假設(shè)法,3.巧抓變化（比例）,4.假設(shè)法。二：等量代換：方程組的解法t代入法，加減法。三：按勞分配思路：每人每天工效t每人工作量t按比例分配四：休息請假：方法：1.分想：劃分工作量。2.假設(shè)法：假設(shè)不休息。五：休息與周期：1.已知條件的順序：先工效，再周期，先周期，再天數(shù)。2.天數(shù)：近似天數(shù)，準確天數(shù)。3.列表確定工作天數(shù)。六：交替與周期：估算周期，注意順序！七：注水與周期：1.順序，2.池中原來是否有水，3.注滿或溢出。八：工效變化。九：比例：1.分比與連比，2.歸一思想，3.正反比例的運用，4.假設(shè)法思想（周期）。 十：牛吃草問題：1.新生草量，2.原有

4、草量，3.解決問題。工程問題當(dāng)知道了兩者工作效率之比，從比例角度考慮問題，也需時間是因此，在下面例題的講述中，不完全采用通常教科書中把工作量設(shè)為整體1”的做法，而偏重于 整數(shù)化”或從比例角度出發(fā)”也許會使我們的解題思路更靈活一些兩個人的問題標題上說的 兩個人”也可以是兩個組、兩個隊等等的兩個集體例1一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成。現(xiàn)在甲先做了 3天，余下的工 作由乙繼續(xù)完成，乙需要做幾天可以完成全部工作？解一：把這件工作看作1,甲每天可完成這件工作的九分之一，做3天完成的1/3。乙每天可完成這件工作的六分之一，（1-1/3） +1/6=4 （天）答：乙需要做4天可完成全部工作解二

5、：9與6的最小公倍數(shù)是18.設(shè)全部工作量是18份甲每天完成2份，乙每天完成3份. 乙完成余下工作所需時間是（18- 2 ）3） +3= 4 （天）解三：甲與乙的工作效率之比是6 : 9= 2 : 3.甲做了 3天，相當(dāng)于乙做了 2天.乙完成余下工作所需時間是 6-2=4 （天）例2 一件工作，甲、乙兩人合作 30天可以完成，共同做了 6天后，甲離開了，由乙繼 續(xù)做了 40天才完成如果這件工作由甲或乙單獨完成各需要多少天？解：共做了 6天后，原來，甲做24天，乙做24天，現(xiàn)在，甲做0天，乙做40= （24+16）天.這說明原來甲24天做的工作，可由乙做16天來代替.因此甲的工作效率如果乙獨做，所

6、需時間是50天如果甲獨做，所需時間是75天答：甲或乙獨做所需時間分別是 75天和50天.例3某工程先由甲獨做63天，再由乙單獨做28天即可完成；如果由甲、乙兩人合作， 需48天完成.現(xiàn)在甲先單獨做 42天，然后再由乙來單獨完成，那么乙還需要做多少天？ 解：先對比如下：甲做63天，乙做28天；甲做48天，乙做48天.就知道甲少做63-48=15 （天），乙要多做48-28=20 （天），由此得出甲的甲先單獨做42天，比63天少做了 63-42=21 （天），相當(dāng)于乙要做因此，乙還要做28+28= 56（天）.答：乙還需要做 56天.例4 一件工程，甲隊單獨做10天完成，乙隊單獨做30天完成.現(xiàn)在

7、兩隊合作，其間甲 隊休息了 2天，乙隊休息了 8天（不存在兩隊同一天休息）.問開始到完工共用了多少天時間？ 解一：甲隊單獨做8天，乙隊單獨做2天，共完成工作量余下的工作量是兩隊共同合作的，需要的天數(shù)是2+8+ 1= 11 （天）.答：從開始到完工共用了 11天.解二：設(shè)全部工作量為30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲隊單獨做8天，乙隊 單獨做2天之后，還需兩隊合作（30- 3 ）-1 ） + （3+1） = 1 （天）.解三：甲隊做1天相當(dāng)于乙隊做3天.在甲隊單獨做 8天后，還余下（甲隊） 10-8= 2 （天）工作量 相當(dāng)于乙隊要做2X3=6 （天）.乙隊單獨做2天后，還余下（乙隊）

8、 6-2=4 （天）工作量.4=3+1 ,其中3天可由甲隊1天完成，因此兩隊只需再合作1天.解四：方法：分休合想（題中說甲乙兩隊沒有在一起休息，我們就假設(shè)他們在一起休息.）甲隊每天工作量為1/10，乙為1/30，因為甲休息了 2天，而乙休息了 8天，因為8>2,所以我們假設(shè)甲休息兩天時，乙也在休息。那么甲開始工作時，乙還要休息：8-2=6（天）那么這6天內(nèi)甲獨自完成了這項工程的1/10 >6=6/10，剩下的工作量為1-6/10=4/10，而這剩下的4/10為甲乙兩人一起合作完成的工程量，所以，工程量的4/10需要甲乙合作：（4/10） （1/10+1/30）=3天。所以從開始到完

9、工共需：8+3=11（天）例5一項工程，甲隊單獨做 20天完成，乙隊單獨做 30天完成.現(xiàn)在他們兩隊一起做， 其間甲隊休息了 3天，乙隊休息了若干天從開始到完成共用了 16天問乙隊休息了多少天？ 解一：如果16天兩隊都不休息，可以完成的工作量是（1吃0） X16+ （1完0） X16=4/3由于兩隊休息期間未做的工作量是4/3-1=1/3乙隊休息期間未做的工作量是1/3-1/20 3>11/60乙隊休息的天數(shù)是11/60屮/30）=11/2答：乙隊休息了 5天半.解二：設(shè)全部工作量為 60份甲每天完成3份，乙每天完成2份.兩隊休息期間未做的工作量是（3+2） X16- 60= 20 （份

10、）.因此乙休息天數(shù)是（20- 3 >） -2= 5.5 （天）.解三：甲隊做2天，相當(dāng)于乙隊做3天.甲隊休息3天，相當(dāng)于乙隊休息4.5天.如果甲隊16天都不休息，只余下甲隊4天工作量，相當(dāng)于乙隊6天工作量，乙休息天數(shù)是 16-6-4.5=5.5 （天）.例6有甲、乙兩項工作，張單獨完成甲工作要 10天，單獨完成乙工作要15天；李單 獨完成甲工作要 8天，單獨完成乙工作要20天如果每項工作都可以由兩人合作， 那么這兩 項工作都完成最少需要多少天？解：很明顯，李做甲工作的工作效率高，張做乙工作的工作效率高.因此讓李先做甲，張先做乙.設(shè)乙的工作量為60份（15與20的最小公倍數(shù)），張每天完成4

11、份，李每天完成3份.8天，李就能完成甲工作.此時張還余下乙工作（60-4 > ）份.由張、李合作需要（60-4 疋）-（4+3） =4 （天）.8+4=12 （天）.答：這兩項工作都完成最少需要12天.例7 一項工程，甲獨做需10天，乙獨做需15天，如果兩人合作，他要8天完成這項工程，兩人合作天數(shù)盡可能少，那么兩人要合作多少天？ 解：設(shè)這項工程的工作量為30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份.兩人合作，共完成3 X0.8 + 20.9= 4.2 （份）.因為兩人合作天數(shù)要盡可能少，獨做的應(yīng)是工作效率較高的甲.因為要在8天內(nèi)完成，所以兩人合作的天數(shù)是（30-3 X8） - （4.2-3）

12、=5 （天）.很明顯，最后轉(zhuǎn)化成雞兔同籠”型問題.例8甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比單獨做時快如果這件工作始終由甲一人單獨來做，需要多少小時？解：乙6小時單獨工作完成的工作量是乙每小時完成的工作量是兩人合作6小時，甲完成的工作量是甲單獨做時每小時完成的工作量甲單獨做這件工作需要的時間是答：甲單獨完成這件工作需要 33小時.這一節(jié)的多數(shù)例題都進行了整數(shù)化”的處理但是，整數(shù)化”并不能使所有工程問題的計算簡便例8就是如此.例8也可以整數(shù)化，當(dāng)求出乙每有一點方便，但好處不大不必多此一舉多人的工程問題我們說的多人，至少有 3個人，當(dāng)然多人問題要比 2人問題復(fù)雜一些，但是解題的基本 思路

13、還是差不多例9 一件工作，甲、乙兩人合作 36天完成，乙、丙兩人合作 45天完成，甲、丙兩人 合作要60天完成問甲一人獨做需要多少天完成？解：設(shè)這件工作的工作量是 1.甲、乙、丙三人合作每天完成減去乙、丙兩人每天完成的工作量，甲每天完成答：甲一人獨做需要90天完成例9也可以整數(shù)化，設(shè)全部工作量為180份，甲、乙合作每天完成 5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成 3份請試一試，計算是否會方便些？例10一件工作，甲獨做要12天，乙獨做要18天，丙獨做要24天.這件工作由甲先做了 若干天，然后由乙接著做，乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的3倍，再由丙接著做，丙做的天數(shù)是乙做的天數(shù)的2倍，終于做完了

14、這件工作問總共用了多少天？解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3疋=6 （天）說明甲做了 2天，乙做了 2X3=6 （天），丙做20=12（天），三人一共做了2+6+12=20 （天）答：完成這項工作用了 20天.本題整數(shù)化會帶來計算上的方便12 , 18, 24這三數(shù)有一個易求出的最小公倍數(shù)72可設(shè)全部工作量為72.甲每天完成6,乙每天完成4,丙每天完成3.總共用了例11 一項工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成如果丙休息2天，乙就要多做4天， 或者由甲、乙兩人合作1天.問這項工程由甲獨做需要多少天？解:丙2天的工作量，相當(dāng)乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的 4吃=2（倍）, 甲、乙

15、合作1天，與乙做4天一樣也就是甲做1天，相當(dāng)于乙做3天，甲的工作效率是乙的工 作效率的3倍他們共同做13天的工作量，由甲單獨完成，甲需要答：甲獨做需要26天.事實上，當(dāng)我們算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3：2 ：1,就知甲做1天，相當(dāng)于乙、丙合作1天三人合作需13天，其中乙、丙兩人完成的工作量，可轉(zhuǎn)化為甲再做13天來完成例12某項工作，甲組3人8天能完成工作，乙組 4人7天也能完成工作問甲組2人和乙組7人合作多少時間能完成這項工作？解一：設(shè)這項工作的工作量是 1.甲組每人每天能完成乙組每人每天能完成甲組2人和乙組7人每天能完成答：合作3天能完成這項工作.解二：甲組3人8天能完成，因此2人12

16、天能完成；乙組4人7天能完成，因此7人4天能 完成現(xiàn)在已不需顧及人數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為：甲組獨做12天，乙組獨做4天，問合作幾天完成？小學(xué)算術(shù)要充分利用給出數(shù)據(jù)的特殊性.解二是比例靈活運用的典型，如果你心算較好，很快就能得出答數(shù).例13制作一批零件，甲車間要10天完成，如果甲車間與乙車間一起做只要 6天就能完 成.乙車間與丙車間一起做，需要 8天才能完成.現(xiàn)在三個車間一起做，完成后發(fā)現(xiàn)甲車間比 乙車間多制作零件2400個侗丙車間制作了多少個零件？解一：仍設(shè)總工作量為1.甲每天比乙多完成因此這批零件的總數(shù)是丙車間制作的零件數(shù)目是答：丙車間制作了 4200個零件.解二：10與 6最小公倍數(shù)是30設(shè)制作零

17、件全部工作量為 30份甲每天完成3份，甲、乙 起每天完成5份，由此得出乙每天完成 2份.乙、丙一起，8天完成.乙完成8X2=16 （份），丙完成30-16=14 （份），就知乙、丙工作效率之比是 16 : 14=8 : 7.已知甲、乙工作效率之比是3 ：2= 12 ： 8.綜合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是12 : 8 ：7.當(dāng)三個車間一起做時，丙制作的零件個數(shù)是2400 -（12- 8） X7= 4200 （個）.例14搬運一個倉庫的貨物，甲需要 10小時，乙需要12小時，丙需要15小時.有同樣的 倉庫A和B,甲在A倉庫、乙在B倉庫同時開始搬運貨物，丙開始幫助甲搬運，中途又 轉(zhuǎn)向幫助乙搬

18、運.最后兩個倉庫貨物同時搬完.問丙幫助甲、乙各多少時間？解：設(shè)搬運一個倉庫的貨物的工作量是1.現(xiàn)在相當(dāng)于三人共同完成工作量2,所需時間是答：丙幫助甲搬運3小時，幫助乙搬運5小時.解本題的關(guān)鍵，是先算出三人共同搬運兩個倉庫的時間.本題計算當(dāng)然也可以整數(shù)化，設(shè)搬運一個倉庫全部工作量為60.甲每小時搬運6，乙每小時搬運5，丙每小時搬運4.三人共同搬完，需要60 >2 - （6+ 5+ 4） = 8 （小時）.甲需丙幫助搬運（60- 6 疋）-4= 3 （小時）.乙需丙幫助搬運（60- 5 疋）-4= 5 （小時）.三、水管問題從數(shù)學(xué)的內(nèi)容來看，水管問題與工程問題是一樣的.水池的注水或排水相當(dāng)于

19、一項工程，注水量或排水量就是工作量.單位時間里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的問題，不過是工作量有加有減罷了.因此，水管問題與工程問題的解題思路基本相同. 例15甲、乙兩管同時打開，9分鐘能注滿水池.現(xiàn)在，先打開甲管，10分鐘后 打開乙管，經(jīng)過3分鐘就注滿了水池.已知甲管比乙管每分鐘多注入0.6立方米水，這個水池的容積是多少立方米？解：甲每分鐘注入水量是：（1-1/9 X3） -10=1/15乙每分鐘注入水量是：1/9-1/15=2/45因此水池容積是：0.6 -（1/15-2/45 ） =27 （立方米）答：水池容積是27立方米.例16有一些水管，它們每分鐘注水量都相等.

20、現(xiàn)在打開其中若干根水管，經(jīng)過預(yù)定的時間的1/3，再把打開的水管增加一倍，就能按預(yù)定時間注滿水池，如果開始時就打開10根水管，中途不增開水管，也能按預(yù)定時間注滿水池.問開始時打開了幾根水管？分析：增開水管后，有原來2倍的水管，注水時間是預(yù)定時間的1-1/3=2/3 , 2/3是1/3的2倍，因此增開水管后的這段時間的注水量，是前一段時間注水量的4倍。設(shè)水池容量是1,前后兩段時間的注水量之比為：1： 4,那么預(yù)定時間的1/3 （即前一段時間）的注水量是1/ （1+4） =1/5。10根水管同時打開，能按預(yù)定時間注滿水，每根水管的注水量是1/10,預(yù)定時間的1/3,每根水官的注水量是 1/10 X/

21、3=1/30要注滿水池的1/5,需要水管1/5 -/30=6 （根）解：前后兩段時間的注水量之比為：1 : （ 1-1/3 ） -1/3 X2=1 : 41 -10 X1/3=1/30前段時間注水量是： 1 - （1+4 ） =1/5每根水管在預(yù)定 1/3的時間注水量為：開始時打開水管根數(shù)：1/5 +1/30=6 （根）答：開始時打開6根水管。例17蓄水池有甲、丙兩條進水管，和乙、丁兩條排水管要灌滿一池水，單開甲管需3小時，單開丙管需要 5小時要排光一池水，單開乙管需要4小，丁管需要6小時，現(xiàn)在水池內(nèi)有六分之一的水，如按甲、乙、丙、丁、甲、乙的順序輪流打開1小時，問多少時間后水開始溢出水池？分

22、析：，否則開甲管的過程中水池里的水就會溢出以后（20小時），池中的水已有此題與廣為流傳的 青蛙爬井”是相仿的：一只掉進了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到達井口，每小時它總是爬3尺，又滑下2尺問這只青蛙需要多少小時才能爬到井口？ 看起來它每小時只往上爬3- 2= 1 （尺），但爬了 27小時后，它再爬1小時，往上爬了 3尺已到達井口 因此，答案是28小時，而不是30小時例18 一個蓄水池，每分鐘流入 4立方米水如果打開5個水龍頭，2小時半就把水池 水放空，如果打開 8個水龍頭，1小時半就把水池水放空現(xiàn)在打開13個水龍頭，問要多 少時間才能把水放空？解：先計算1個水龍頭每分鐘放出水量2小時半比1

23、小時半多60分鐘，多流入水4 >60= 240 （立方米）時間都用分鐘作單位，1個水龍頭每分鐘放水量是240 + （ 5X150- 8 9>） = 8 （立方米）,8個水龍頭1個半小時放出的水量是8 >8 X0,其中90分鐘內(nèi)流入水量是 4 X90，因此原來水池中存有水8 X8 >90-4 >90= 5400（立方米）打開13個水龍頭每分鐘可以放出水8X13，除去每分鐘流入4,其余將放出原存的水，放空原存的5400，需要5400 （8 X13- 4） =54 （分鐘）答：打開13個龍頭，放空水池要 54分鐘水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水，就需要分開考慮

24、，解本題的關(guān)鍵是 先求出池中原存有的水這在題目中卻是隱含著的例19 一個水池，地下水從四壁滲入池中，每小時滲入水量是固定的打開A管，8小時可將滿池水排空，打開 C管，12小時可將滿池水排空如果打開A, B兩管，4小時可將 水排空問打開B , C兩管，要幾小時才能將滿池水排空？解：設(shè)滿水池的水量為 1.A管每小時排出A管4小時排出因此，B , C兩管齊開，每小時排水量是B , C兩管齊開，排光滿水池的水，所需時間是答：B , C兩管齊開要 4小時48分才將滿池水排完本題也要分開考慮，水池原有水（滿池）和滲入水量由于不知具體數(shù)量，像工程問題不知工作量的具體數(shù)量一樣 這里把兩種水量分別設(shè)成“ 1&#

25、39;但這兩種量要避免混淆事實上，也可以整數(shù)化，把原有水設(shè)為8與12的最小公倍數(shù) 2417世紀英國偉大的科學(xué)家牛頓寫過一本普遍算術(shù)一書，書中提出了一個 牛吃草”問題，這是一道饒有趣味的算術(shù)題從本質(zhì)上講，與例 18和例19是類同的題目涉及三種數(shù)量：原有草、新長出的草、牛吃掉的草這與原有水量、滲入水量、水管排出的水量，是完全類同的.例20有三片牧場，場上草長得一樣密，而且長得一草；21頭牛9星期吃完第二片牧場的草問多少頭牛18星期才能吃完第三片牧場的草？ 解：吃草總量=一頭牛每星期吃草量 >牛頭數(shù)X星期數(shù)根據(jù)這一計算公式，可以設(shè)定一頭 牛每星期吃草量”作為草的計量單位原有草+4星期新長的草=

26、12X4.原有草+9星期新長的草=7X9.由此可得出，每星期新長的草是(7X9-12 X)- ( 9-4) =3.那么原有草是7 X9-3 X=36 (或者 12 X4-3 X).對第三片牧場來說，原有草和18星期新長出草的總量是這些草能讓90 X7.2 豐8=36 (頭)牛吃18個星期.答：36頭牛18個星期能吃完第三片牧場的草.例20與例19的解法稍有一點不一樣例20把 新長的”具體地求出來，把 原有的”與 新 長的”兩種量統(tǒng)一起來計算事實上，如果例19再有一個條件，例如： 打開B管，10小時 可以將滿池水排空'也就可以求出 新長的”與原有的”之間數(shù)量關(guān)系但僅僅是例19所求， 是不需要加這一條件好好想一想，你能明白其中的道理嗎？牛吃草”這一類型問題可以以各種各樣的面目出現(xiàn)限于篇幅，我們只再舉一個例子例21畫展9點開門，但早有人排隊等候入場從第一個觀眾來到時起，每分鐘來的觀眾人數(shù)一樣多如果開3個