等差數(shù)列前n項和

1、3.2 等比數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列的性質(zhì)200多年前，高斯的算術(shù)老師提出了下面的問題：計算從1到100的自然數(shù)之和。據(jù)說，當其他同學忙于把100個數(shù)逐步相加時，10歲的高斯卻用快捷的方法算出了答案，你也能用快捷的方法算出來嗎？教學目標：教學目標：問題問題 1 1:1+2+3+100=？首項與末項的和：首項與末項的和： 1100101，第第2項與倒數(shù)第項與倒數(shù)第2項的和：項的和： 299 =101， 第第3項與倒數(shù)第項與倒數(shù)第3項的和：項的和： 398 101， 末項與首項的和：末項與首項的和： 1001101，于是所求的和是：于是所求的和是： 分析：分析：50502100)1001 (210010

2、12100) )a a(a(a1001001 1問題問題 2 2 一個堆放鉛筆的一個堆放鉛筆的V形架，最下面第一層放一支鉛筆，往形架，最下面第一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面多放一支，就這樣一層一層地往上放。上每一層都比它下面多放一支，就這樣一層一層地往上放。最上面一層放最上面一層放120支。求這個支。求這個V形架上共放著多少支鉛筆？形架上共放著多少支鉛筆？120層層有多少層有多少層呢？呢？120層層= (1 + 120 ) 21202120 )(1201aa S120 =1+2+3+ +120 =120+119+1猜測猜測:對于等差數(shù)列對于等差數(shù)列an 2n )(1nnaaS Sn=a1

3、+a2+an成立嗎？成立嗎？思考：思考：利用上面的算法，可以計算數(shù)列利用上面的算法，可以計算數(shù)列1，2，3n的前的前n項和嗎？項和嗎？ 等差數(shù)列的前n項和公式推導：)1()2()(1111dnadadaaSn )1()2()(dnadadaaSnnnnn 個個（nnnnnaaaaaaS)2111 )1naan （2)1nnaanS （)(21nnaanS2)(1nnaanSdnaan) 1(1dnnnaSn2) 1(1注意：對于這兩個公式分別有四個未知數(shù)，如果注意：對于這兩個公式分別有四個未知數(shù)，如果已知其中的任已知其中的任 何三個可以求另外一個。何三個可以求另外一個。第一個公式反映了等差數(shù)列

4、的任意的第第一個公式反映了等差數(shù)列的任意的第k項與倒數(shù)項與倒數(shù)第第k項的和等于首項與末項的和這個內(nèi)在性質(zhì)項的和等于首項與末項的和這個內(nèi)在性質(zhì)第二個公式反映了等差數(shù)列的前第二個公式反映了等差數(shù)列的前n項和與它的首項、項和與它的首項、公差之間的關(guān)系，而且是關(guān)于公差之間的關(guān)系，而且是關(guān)于n的的“二次函數(shù)二次函數(shù)”，可以與二次函數(shù)進行比較?？梢耘c二次函數(shù)進行比較。等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項和項和例1.（1）求正整數(shù)列前n個偶數(shù)的和。 （2）為了參加冬運會的5000m長跑比賽，某同學 給自己制定了7天的訓練計劃：第1天跑5000m， 以后每天比前一天多跑500m，這個同學7天一 共將跑多長的距離？

5、nnnnnsn 22)22(28642解：masda4550050021500075002677500,5000171解：例例2已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列, a1=3 且滿足且滿足 an+1=an+2 ,求求的前的前n項和項和.nnnnaansnndnaadaannnnn22) 123(2)(122) 1(3) 1(222111解：還有其他還有其他方法嗎？方法嗎？根據(jù)下列各題的條件根據(jù)下列各題的條件,求相應(yīng)求相應(yīng)等差數(shù)列的未知數(shù)等差數(shù)列的未知數(shù)課堂練習課堂練習150110101, 2,100)2(;,95, 5) 1 (SdaSaa求已知求已知例2已知一個等差數(shù)列 an 前10項的和是310，前20項的和是1220.由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前n項和的公式嗎？分析：將已知條件代入等差數(shù)列前n項和的公式后，可得到兩個 關(guān)于a1與d的二元一次方程，由此可以求得a1與d，從而得到所求前n項和的公式.nnnnnsdadadadnnnasssnn211112010362)1(46412201902031045102)1(1220,310所以解方程組得得到將它們代入公式解：由題意知：課堂練習課堂練習2(2011.天津.文) 的值為則若項和，為其前是等差數(shù)列，已知10203n,20,16.SSaNnnSan等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項和項和 1、等差數(shù)列求和公式既可以用首項，公差