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1、1.等差數(shù)列的定義:等差數(shù)列的定義: 1(2)nnnaaad n 是是等等差差數(shù)數(shù)列列2.通項(xiàng)公式:通項(xiàng)公式:1(1) .naand3.重要性質(zhì)重要性質(zhì):() .nmaanm d.mnpqmnpqaaaa 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 高斯出生于一個(gè)工高斯出生于一個(gè)工匠家庭,幼時(shí)家境貧困,匠家庭,幼時(shí)家境貧困,但聰敏異常。上小學(xué)四但聰敏異常。上小學(xué)四年級(jí)時(shí),一次老師布置年級(jí)時(shí),一次老師布置了一道數(shù)學(xué)習(xí)題:了一道數(shù)學(xué)習(xí)題:“把把從從1 1到到100100的自然數(shù)加起的自然數(shù)加起來(lái),和是多少?來(lái),和是多少?”年僅年僅1010歲的小高斯略一思索歲的小高斯略一思索就得到答案就得到答案50505050,這使,這使老師非常吃
2、驚。那么高老師非常吃驚。那么高斯是采用了什么方法來(lái)斯是采用了什么方法來(lái)巧妙地計(jì)算出來(lái)的呢?巧妙地計(jì)算出來(lái)的呢? 高斯(高斯(1777-18551777-1855),), 德德國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家。他和牛頓、阿基米德,被家。他和牛頓、阿基米德,被譽(yù)為有史以來(lái)的三大數(shù)學(xué)家。譽(yù)為有史以來(lái)的三大數(shù)學(xué)家。有有“數(shù)學(xué)王子數(shù)學(xué)王子”之稱。之稱。 高斯高斯“神速求和神速求和”的故事的故事: :首項(xiàng)與末項(xiàng)的和:首項(xiàng)與末項(xiàng)的和: 1100101,第第2項(xiàng)與倒數(shù)第項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的和:項(xiàng)的和: 299 =101, 第第3項(xiàng)與倒數(shù)第項(xiàng)與倒數(shù)第3項(xiàng)的和:項(xiàng)的和: 398 101, 第第5
3、0項(xiàng)與倒數(shù)第項(xiàng)與倒數(shù)第50項(xiàng)的和:項(xiàng)的和:5051101,于是所求的和是:于是所求的和是:1001015050.2求求S=1+2+3+100=?你知道高斯是怎么計(jì)算的嗎?高斯算法:高斯算法:高斯算法用到了等差數(shù)列的什么性質(zhì)?高斯算法用到了等差數(shù)列的什么性質(zhì)?.mnpqmnpqaaaa 如圖,是一堆鋼管,自上而下每層鋼管數(shù)為如圖,是一堆鋼管,自上而下每層鋼管數(shù)為4 4、5 5、6 6、7 7、8 8、9 9、1010,求鋼管總數(shù)。,求鋼管總數(shù)。即求即求:S=4+5+6+7+8+9+10.高斯算法:高斯算法:S=(4+10)+(5+9)+(6+8)+7=143+7=49.還有其它算法嗎? 情景情景
4、2S=10+9+8+7+6+5+4.S=4+5+6+7+8+9+10.相加得相加得:(4 10) 749.2S倒序相加法2(4 10) (5 9) (6 8) (7 7) (8 6) (9 5) (10 4)S (4 10) 7.怎樣求一般等差數(shù)列的前怎樣求一般等差數(shù)列的前n項(xiàng)和呢?項(xiàng)和呢? 12,.nnnnanSSaaa 設(shè)設(shè)等等差差數(shù)數(shù)列列的的前前 項(xiàng)項(xiàng)和和為為即即12.nnSaaa11.nnnSaaa12112()()()nnnnSaaaaaa1().nn aa1211nnnaaaaaa1().2nnn aaS 新課新課等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式1(1)naand2)1nnaanS (dnn
5、naSn2)11 (公式1公式21anan公式記憶公式記憶1)2nnn aaS(11)2nn nSnad( 類比梯形面積公式記憶dnnnaSn2)11 (dnaan)1(1 思考: na1, , ,nna a n d S例例1、10, 6, 2,2,54 等差數(shù)列前多少項(xiàng)的和是 ? 1212,10,6( 10)4,54.( -1)-10454262709,3-10 -6 -2 2954nnnanSadSn nnnnnn 設(shè)設(shè)該該等等差差數(shù)數(shù)列列為為其其前前 項(xiàng)項(xiàng)和和是是則則根根據(jù)據(jù)等等差差數(shù)數(shù)列列前前項(xiàng)項(xiàng)和和公公式式,得得 整整理理得得 解解得得 ( (舍舍去去)因因此此,等等差差數(shù)數(shù)列列,
6、, , , 前前 項(xiàng)項(xiàng)的的和和是是注:本題體現(xiàn)了方程的思想注:本題體現(xiàn)了方程的思想.解:解: 舉例舉例2P1P4645、變式訓(xùn)練: 123891012,75,.naaaaaaaS10數(shù)列為等差數(shù)列,若求 例2、12389101275aaaaaa,由解:111418253.adaadd,10110 910145.2Sad又解:1101011010()5()2aaSaa12389101275aaaaaa,由110293887.aaaaaa1101103()87()29.aaaa即5 29145. 1102938aaaaaa,整體運(yùn)算整體運(yùn)算的思想的思想! !變式訓(xùn)練:變式訓(xùn)練: 251215163
7、6,.naaaaaS 在在等等差差數(shù)數(shù)列列中中,已已知知求求解:1161611616()8()2aaSaa2512152155121163618aaaaaaaaaa8 18144. 公差分別是什么?如果是,它的首項(xiàng)和這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎式。,求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公項(xiàng)和為的前:已知數(shù)列例n21nsna32nn其通項(xiàng)公式。是否為等差數(shù)列,并求變式訓(xùn)練:1n3n2S2n2nS-S1nSaSa1 -nn1nnn,關(guān)系:與規(guī)律總結(jié):等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征:項(xiàng)和公式的函數(shù)特征:21111222nddSnan ndnan12,22nSAnddABaABnB設(shè)則是常數(shù)2nnanSpnqnr問(wèn)
8、:如果一個(gè)數(shù)列的前 項(xiàng)和,(其中p,q,r為常數(shù),且p0),那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎?2nnanSpnqnr結(jié)論:如果一個(gè)數(shù)列的前 項(xiàng)和,(其中p,q,r為常數(shù),且p0),那么這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)r=0數(shù)列為等差數(shù)列、,關(guān)系:與、規(guī)律總結(jié):BnAnS22nS-S1nSaSa12n1 -nn1nnn 11010010n2k1 -nnkk2k3kk2knS10S100Sa2dkS-SS-SS-SS1da4,求,中,)在等差數(shù)列(的等差數(shù)列構(gòu)成公差為,)求證:(,公差為項(xiàng)和是的前:已知等差數(shù)列例)(nSn 項(xiàng)和。,求前項(xiàng)和為,前項(xiàng)和為前變式訓(xùn)練:等差數(shù)列m3100m230man. d27:
9、32SS12.354Sa512n求公差,:項(xiàng)中,在這中,:在等差數(shù)列例奇偶(3)(3)項(xiàng)的個(gè)數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)的“奇偶奇偶”性質(zhì)性質(zhì). .aan n 為等差數(shù)列,公差為為等差數(shù)列,公差為d.d.若共有若共有2n2n項(xiàng)項(xiàng), ,則則S S2n2n=n(a=n(an n+a+an+1n+1) );若共有若共有2n+12n+1項(xiàng),則項(xiàng),則S S2n+12n+1=(2n+1)a=(2n+1)an+1n+1;S S偶偶-S-S奇奇= =a an+1n+1;n 1nSaSSnd.Sa偶偶奇奇;Sn.Sn1偶奇(1)“(1)“片段和片段和”性質(zhì)性質(zhì). .若若aan n 為等差數(shù)列,前為等差數(shù)列,前k k項(xiàng)和為項(xiàng)和為
10、S Sk k,則,則S Sk k,S S2k2k-S-Sk k,S S3k3kS S2k2k,構(gòu)成公差為構(gòu)成公差為k k2 2d d的等差數(shù)列的等差數(shù)列. .(2)(2)項(xiàng)數(shù)項(xiàng)數(shù)( (下標(biāo)下標(biāo)) )的的“等和等和”性質(zhì)性質(zhì). .1nmnm 1nn aan aaS.22規(guī)律總結(jié):規(guī)律總結(jié):的值。最大的,求是項(xiàng)和為的前例nSSn743 ,724 , 5:6nn 最大值。,求,且,若變式訓(xùn)練:等差數(shù)列n1791nSSS25aa )運(yùn)用二次函數(shù)求最值(或?qū)ふ艺⒇?fù)項(xiàng)分界點(diǎn)最大(?。┲捣椒ā⑶蟠嬖谧钚≈祫t,)若(存在最大值,則,)若(最大(?。┲登樾?、的最值情況項(xiàng)和前規(guī)律總結(jié):等差數(shù)列20a0a0a0a
11、) 1 (S2S, 0d0a2S0d0a1S1Sna1nn1nnnn1n1nnn【解析【解析】設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列aan n 的公差為的公差為d d,則,則aan n=a=a1 1+(n-1)d=-60+(n-1)+(n-1)d=-60+(n-1)3=3n-63.3=3n-63.由由a an n0,0,得得3n-633n-630 0,即,即n n21.21.當(dāng)當(dāng)n=21n=21時(shí),時(shí),a a2121=0.=0.數(shù)列數(shù)列aan n 的前的前2020項(xiàng)是負(fù)數(shù),第項(xiàng)是負(fù)數(shù),第2020項(xiàng)以后的項(xiàng)都為非負(fù)數(shù)項(xiàng)以后的項(xiàng)都為非負(fù)數(shù). .設(shè)設(shè)S Sn n,S,Sn n分別表示數(shù)列分別表示數(shù)列aan n 和和|a|an
12、 n|的前的前n n項(xiàng)之和,項(xiàng)之和,171aa12( 60)d3,17116 當(dāng)當(dāng)n20n20時(shí),時(shí),S Sn n=|a=|a1 1|+|a|+|a2 2|+|+|a+|an n|=-a|=-a1 1-a-a2 2- -a-an n當(dāng)當(dāng)n n2020時(shí),時(shí),S Sn n=-S=-S2020+(S+(Sn n-S-S2020)=S)=Sn n-2S-2S20202nn(n1)3123S60n3nn;222 n n120 1960n32 ( 60 203)22 23123nn1 260.22數(shù)列數(shù)列|a|an n|的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和2n23123nn,n2022S3123nn1 260,n20
13、.22 ,變式訓(xùn)練:變式訓(xùn)練:等差數(shù)列等差數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和求數(shù)列求數(shù)列|an|的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Tn.2n3205Snn22,2n23205nn n3422T3205nn3 502 n35 .22, 數(shù)列數(shù)列|a|an n|的前的前n n項(xiàng)和的四種類型及其求解策略項(xiàng)和的四種類型及其求解策略(1)(1)等差數(shù)列等差數(shù)列aan n 的各項(xiàng)都為非負(fù)數(shù)的各項(xiàng)都為非負(fù)數(shù), ,這種情形中數(shù)列這種情形中數(shù)列|a|an n|就等于數(shù)就等于數(shù)列列aan n,可以直接求解可以直接求解. .(2)(2)等差數(shù)列等差數(shù)列aan n 中中,a,a1 10,d0,d0,這種數(shù)列只有前邊有限項(xiàng)為非負(fù)數(shù)這種數(shù)列只有
14、前邊有限項(xiàng)為非負(fù)數(shù), ,從從某項(xiàng)開(kāi)始其余所有項(xiàng)都為負(fù)數(shù)某項(xiàng)開(kāi)始其余所有項(xiàng)都為負(fù)數(shù), ,可把數(shù)列可把數(shù)列aan n 分成兩段處理分成兩段處理. .(3)(3)等差數(shù)列等差數(shù)列aan n 中中,a,a1 10,0,這種數(shù)列只有前邊有限項(xiàng)為負(fù)數(shù)這種數(shù)列只有前邊有限項(xiàng)為負(fù)數(shù), ,其余都其余都為非負(fù)數(shù)為非負(fù)數(shù), ,同樣可以把數(shù)列分成兩段處理同樣可以把數(shù)列分成兩段處理. .(4)(4)等差數(shù)列等差數(shù)列aan n 的各項(xiàng)均為負(fù)數(shù),則的各項(xiàng)均為負(fù)數(shù),則|a|an n|的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為aan n 前前n n項(xiàng)和項(xiàng)和的相反數(shù)的相反數(shù). .規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié).ba3n2n7TSTSnba855nnnnnn,
15、求滿足,項(xiàng)和分別為,其前,:有兩個(gè)等差數(shù)列例_nba3n45n7BABAnbannnnnnnn的個(gè)數(shù)為整數(shù)的正整數(shù),則使,、項(xiàng)和分別為的前、列變式訓(xùn)練:已知等差數(shù)1 -n21 -n2nnBAba:規(guī)律總結(jié):nn*2nnnn753nTnbNn1-a1b2Sa126aa7aa9項(xiàng)和的前,求,)令(、)求(,滿足:等差數(shù)列例.nb,2,1nn1n21n1aan1nn項(xiàng)和的前求中,變式訓(xùn)練:在數(shù)列nnnaab變式訓(xùn)練:課時(shí)作業(yè)十 4n1 -nn1 -nn1 -n3221nna1-a1d1aa1aa1aa1aa1T0dda2kn1-n1k1knn11可用裂項(xiàng))則和式:(,公差為、等差數(shù)列)()(下形式:
16、、常用到裂項(xiàng)公式有如規(guī)律總結(jié):1、用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列前、用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式;1n1( ) ()2(1)S2nnn aaSn nnad 2 2、求求和和公公式式 小結(jié)小結(jié)3、應(yīng)用公式求和、應(yīng)用公式求和.“知三求二知三求二”,方程的思想,方程的思想.已知首項(xiàng)、末項(xiàng)用公式已知首項(xiàng)、末項(xiàng)用公式;已知首項(xiàng)、公差用公式;已知首項(xiàng)、公差用公式.應(yīng)用求和公式時(shí)一定弄清項(xiàng)數(shù)應(yīng)用求和公式時(shí)一定弄清項(xiàng)數(shù)n.當(dāng)已知條件不足以求出當(dāng)已知條件不足以求出a1和和d時(shí),要認(rèn)真觀察,時(shí),要認(rèn)真觀察,靈活應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì),看能否用整體思想求靈活應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì),看能否用整體思想求a1+an的值
17、的值.nn4a nanS、已知數(shù)列前 項(xiàng)和 ,求通項(xiàng)公式 的方法;等差數(shù)列前等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì):項(xiàng)和性質(zhì):(等差數(shù)列等分若干段后等差數(shù)列等分若干段后,各段和依序成等差數(shù)列各段和依序成等差數(shù)列) 12n11221223212233: , ,a,kkkkkkkb bbaaabaaabaaabkd1.已知是公差為d的等差數(shù)列,若,則成等差數(shù)列公差為: 2nnannAB數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列,則SnSA nBnnSn是等差數(shù)列,公差為A. nnn2.aan2nSSdn已知是公差為d的等差數(shù)列, 為數(shù)列的前 項(xiàng)和,則是等差數(shù)列,公差為 .等差數(shù)列奇,偶項(xiàng)和問(wèn)題等差數(shù)列奇,偶項(xiàng)和問(wèn)題1(1)1111
18、22 3(1)n nn nn例 1: 求 數(shù) 列的 前 n項(xiàng) 和S13,2nnaadS12n變式:等差數(shù)列中,111為前n項(xiàng)和,求SSS求數(shù)列前求數(shù)列前n項(xiàng)和方法之一:項(xiàng)和方法之一:裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法設(shè)設(shè)an是公差為是公差為d的等差數(shù)列,則有的等差數(shù)列,則有特別地,以下等式都是特別地,以下等式都是式的具體應(yīng)用:式的具體應(yīng)用:121121231111nnn-na aaaaa aaa aa(裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法)11nn 11111111n nnn+nn+ 121111212121212121112121nnnnnnnn;1111122112n nnnn n nnn;求和公式:求和公式:所給數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)于所給數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)于n
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