二次函數(shù)十大基本問題

1、 第九講：二次函數(shù)十大基本問題知識模塊與方法知識模塊一：二次函數(shù)的定義問題1二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。 這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)，而可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)2. 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征： （1）等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2 （2）是常數(shù)，是二次項系數(shù)，是一次項系數(shù)，是常數(shù)項知識、題型、方法例1：若是二次函數(shù)，則。變式練習：已知，試討論分別為何值時為正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)？課堂演練一：1. 二次函數(shù)的二次項系數(shù)是，一次項系數(shù)是，常數(shù)項是。2. 若y(m1)x3x1是二次函數(shù)，則m的值為_3. 已知

2、函數(shù)，則自變量的取值圍是。4. 某廣告公司欲設(shè)計一幅周長為12米的矩形廣告牌，廣告設(shè)計費為每平方米1000米，設(shè) 矩形的一邊長為米，所花費用為元。則與之間的函數(shù)關(guān)系式為。5. 已知函數(shù)，當為何值時： （1）是的正比例函數(shù)，且隨著增大而增大。 （2）函數(shù)圖象是位于第二、四象限的雙曲線。 （3）函數(shù)圖象是開口向上的拋物線。知識模塊二：二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)1. 二次函數(shù)基本形式：的性質(zhì)：a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值向下軸時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值2. 的性質(zhì)： 上加下減。的符

3、號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值向下軸時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值3. 的性質(zhì)： 左加右減。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值向下X=h時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值4. 的性質(zhì)：的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值向下X=h時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值二次函數(shù)圖象的過點問題與交點問題中考方法點撥：二次函數(shù)圖象的過點問題與交點問題實際上就是方程問題、代入求

4、值問題 的綜合，只要緊緊抓住函數(shù)圖象經(jīng)過的點或交點的橫坐標與縱坐標都滿足 函數(shù)解析式，然后代入解析式可得方程（組），從而求解。知識、題型、方法例2：已知拋物線和直線都經(jīng)過點（，）。（1）求，的值。 （2）是否存在另一個交點？若存在，請求出。變式練習：1（2008，）已知，如圖，直線經(jīng)過和兩點，它與拋物線在第一象限相交于點P，又知的面積為4，求的值。 第1題圖 第2題圖2（2008，）如圖10，直線和拋物線都經(jīng)過點A(1，0)，B(3，2)（1）求m的值和拋物線的解析式；（2）求不等式的解集(直接寫出答案)。課堂演練二：1二次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點A（，），B（，），則。2若拋物線與軸的交點坐標是（

5、，0）則。3. 已知函數(shù)的圖象與直線交于點（1，）， 則求。4. 如圖，是二次函數(shù)yax2xa21的圖象，則a_ 第4題圖二次函數(shù)圖象的單調(diào)性問題：中考方法點撥：判斷二次函數(shù)的單調(diào)性要緊緊抓住拋物線的開口方向和對稱軸， 對稱軸是二次函數(shù)單調(diào)性的分界點，即：1.當時，拋物線開口向上：在圍，隨的增大而減??；在圍，隨的增大而增大；當時，有最小值。2. 當時，拋物線開口向下： 在圍，隨的增大而增大；在圍，隨的增大而減??； 當時，有最大值。知識、題型、方法例3：（2011，）如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，0），（1，2），當隨的增大而增大時，的取值圍是。例3圖（1,-2）-1 變式練習第2題圖例4

6、：（2008，東營）若A（），B（），C（）為二次函數(shù)的圖象上的三點，則的大小關(guān)系是（ ）ABCD變式練習：1（2011，）若二次函數(shù)當l時，隨的增大而減小，則的取值圍是（ ） A=l B>l Cl Dl2（2011，）已知二次函數(shù)的圖象(0x3)如第9題圖所示。關(guān)于該函數(shù)在所給自變量取值圍，下列說確的是( )A有最小值0，有最大值3 B有最小值1，有最大值0C有最小值1，有最大值3 D有最小值1，無最大值課堂演練三：1當時，二次函數(shù)的最小值是，最大值是。2（2011，）下列函數(shù)中,當x>0時y值隨x值增大而減小的是（ ）Ay = x2 By = x C y = xDy = 3（2

7、011，聊城）下列四個函數(shù)圖象中，當x<0時，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小的是（ ）4. 若A（，y1），B（1，y2），C（，y3）為二次函數(shù)yx24x5圖象上的三 點，則y1、y2、y3的大小關(guān)系是。5. 已知，當時，它的圖象是開口向下的拋物線，這時，當時，隨的增大而增大。二次函數(shù)圖象的對稱性問題：知識、題型、方法例5：（平面直角坐標系中點的對稱問題）平面直角坐標系中的點P（3,-5），關(guān)于x軸對稱的點的坐標為；關(guān)于y軸對稱的點的坐標為 ；關(guān)于原點對稱的點的坐標為。變式練習：在平面直角坐標系中，點（a，b）關(guān)于x軸對稱的點的坐標為；關(guān)于y軸對稱的點的坐標為 ；關(guān)于原點對稱的點的坐標

8、為。例6：（2011，）已知二次函數(shù)中，其函數(shù)與自變量之間的部分對應(yīng)值如下表所示：x01234y41014點A（，）、B（，）在函數(shù)的圖象上，則當時，與的大小關(guān)系正確的是（ ）A BCD變式練習：1。已知拋物線的圖象如圖7所示，該拋物線與軸交于A、B兩點，B 點坐標為（，0），則A點坐標為。 O A B 圖72.（2011，）如圖8，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（-1，0），（1，-2），該圖象與x軸的另一個交點為C，則AC長為。圖8（1,-2）-1ABC 課堂演練四第4題圖課堂演練四：1已知點M與點N關(guān)于軸對稱，則x + y = 。2.（3，4）關(guān)于x軸對稱的點的坐標為_，關(guān)于y軸對稱的點的坐標

9、為_，關(guān)于原點對稱的坐標為_。3（2011，棗莊）拋物線上部分點的橫坐標，縱坐標的對應(yīng)值如下表：x21012y04664從上表可知，下列說法中正確的是。（填寫序號）拋物線與軸的一個交點為（3,0）； 函數(shù)的最大值為6；拋物線的對稱軸是； 在對稱軸左側(cè)，隨增大而增大4（2010，日照）如圖，是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，其對稱軸為直線x=1，若其與x軸一交點為A（3，0），則由圖象可知，不等式ax2+bx+c0的解集是.5（2011，）若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的x與y的部分對應(yīng)值如下表：X-7-6-5-4-3-2y-27-13-3353則當x=1時，y的值為yxO3x=1圖9

10、A。5 B。-3 C。-13 D。-276.（2009，襄樊）拋物線的圖象如圖9所示，則一元二次方程的兩個根為。二次函數(shù)的圖象與系數(shù)、之間的關(guān)系問題中考方法點撥：（1）由拋物線開口方向確定的正負；（2）由對稱軸（或）確定的正負；（3）拋物線與軸交點縱坐標確定的正負；（4）由對稱軸（或）確定的正負；（5）令觀察圖象可得的正負；同理可令，可得的正負；（6）取可得的正負；取可得的正負。 注意：以上6條性質(zhì)可以相互推導，也可以用推導出來的結(jié)論去推導另外的正確結(jié)論。知識、題型、方法例7：（2009，）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有以下結(jié)論：；其中所有正確結(jié)論的序號是（ ）11OxyABCD課堂演練五：1

11、。（2011，）已知拋物線yax2bxc(a0)在平面直角坐標系中的位置如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是( )A a>0 B b0 C c0 D abc>02。（2010，）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸正半軸相交，其頂點坐標為，下列結(jié)論：ac0；a+b=0；4acb2=4a；a+b+c0。其中正確的個數(shù)是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4xy-11O1 第2題圖 第3題圖 第4題圖3。（2011，）如圖所示的二次函數(shù)的圖象中，星同學 觀察得出了下面四條信息： （1）；（2）c>1；（3）2ab<0；（4）a+b+c<0。你認為其中錯誤的有（ ）A2個 B3個C4個 D

12、1個 4。（2011，日照）如圖，是二次函數(shù)yax2bxc（a0）的圖象的一部分， 給出下列命題 ：a+b+c=0；b2a；ax2+bx+c=0的兩根分別為和1；a-2b+c0。其中正確的命題是。（只要求填寫正確命題的序號）5。（2009，某）已知二次函數(shù)（）的圖象如圖4所示，有下列四個結(jié)論：，其中正確的個數(shù)有（ ）A1個B2個C3個D4個1圖4Oxy3-1Ox=1yx圖56。（2008）已知二次函數(shù)（）的圖象如圖5所示，有下列 四個結(jié)論：； ； ； 。其中正確的結(jié)論有（）A1個 B2個 C3個 D4個7。（2007，某）已知二次函數(shù)的 圖象如右圖所示， 有下列5個結(jié)論：；，（的實數(shù)）其中正確

13、的結(jié)論有（ ）A。2個B。3個C。4個D。5個 8。（2007，）如右圖是二次函數(shù)yax2bxc圖象的一部分，圖象過點A（3，0），對稱軸為x1給出四個結(jié)論：b24ac；2ab=0；abc=0；5ab。其中正確結(jié)論是（ ）。（A） （B） （C） （D）二次函數(shù)的平移問題中考方法點撥：拋物線的平移只改變它的位置，不改變其形狀和開口方向，即的值不變。 解決這類問題的關(guān)鍵是利用好平移特征，在圖形的平移中，一個點的位置 變化和一個圖形的位置變化是一致的，只須抓住拋物線的頂點需要進行怎 樣的平移即可。解答思路：先求出拋物線的頂點坐標，然后將頂點坐標進行平移改變，再利用頂點式求出 平移后的拋物線解析式。

14、（平移前先把二次函數(shù)的解析式化成頂點式）知識、題型、方法例8：（1）（2011，濱州）拋物線可以由拋物線平移得到，則下列平移過程正確的是( )A。先向左平移2個單位,再向上平移3個單位 B。先向左平移2個單位,再向下平移3個單位C。先向右平移2個單位,再向下平移3個單位 D。先向右平移2個單位,再向上平移3個單位（2）（2010，）把拋物線的圖象向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得圖象的解析式為，則（ ） A。， B。，C。， D。，課堂演練六：1。（ 2011，江津）將拋物線向上平移3個單位,再向右平移4個單位等到的拋物線是。2。（2009，）在平面直角坐標系中，將二次函數(shù)的圖象向上平

15、移2個單位，所得圖象的解析式為（ ）A BC D3。（2009，）把拋物線向左平移1個單位，然后向上平移3個單位，則平移后拋物線的解析式為（ ）A BC D4.（2008，資陽市） 在平面直角坐標系中，如果拋物線y2x2不動，而把x軸、y軸分別向上、向右平移2個單位，那么在新坐標系下拋物線的解析式是 ( )Ay2(x2)2 + 2By2(x + 2)22Cy2(x2)22Dy2(x + 2)2 + 25。要得到二次函數(shù)的圖象，需將的圖象（ ）。A向左平移2個單位，再向下平移2個單位B向右平移2個單位，再向上平移2個單位C向左平移1個單位，再向上平移1個單位D向右平移1個單位，再向下平移1個單位

16、6。（2008，省）拋物線經(jīng)過平移得到，平移方法是（ ）A向左平移1個單位，再向下平移3個單位B向左平移1個單位，再向上平移3個單位C向右平移1個單位，再向下平移3個單位D向右平移1個單位，再向上平移3個單位7。如果將拋物線沿直角坐標平面向左平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度得到拋物線。你能確定、的值嗎？試試看。二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)或反比例函數(shù)圖象在同一坐標系的問題中考方法點撥：（假設(shè)法與數(shù)型結(jié)合思想）知識、題型、方法例9：（1）（2011，涼山州）二次函數(shù)的圖1像如圖所示，反比列函數(shù)與正比列函數(shù)在同一坐標系的大致圖像是（ ）圖1OxyOyxAOyxBOyxDOyxC （2）（2009

17、，）在同一直角坐標系中，函數(shù)和函數(shù)（是常數(shù)，且）的圖象可能是（ ）課堂演練七：1。（2011，）已知函數(shù)（其中）的圖象如下圖所示，則函數(shù)的圖象可能正確的是（ ）yx11O（A）yx1-1O（B）yx-1-1O（C）1-1xyO（D）2。（2011，）二次函數(shù)的圖象如圖2所示，則反比例函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標系中的大致圖象是（）。3。（2009，）二次函數(shù)的圖象如圖3所示，則一次函數(shù)1Oxy 圖3與反比例函數(shù)在同一坐標系的圖象大致為（ ）yxOyxOBCyxOAyxOD4。（2008，省市）已知反比例函數(shù)的圖象如下圖4所示，則二次函數(shù)的圖象大致為（ ）DC AB 圖4 5。（2011，）在同一坐

18、標系中，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖像可能是（ ）6。（2009，）函數(shù)y=ax1與y=ax2bx1（a0）的圖象可能是（ ）A B C D7。（2007，雙柏縣）在同一坐標系中一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象 OxyOxyOxyOxyABCD 可能為（ ）二次函數(shù)的解析式問題：知識、題型、方法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式常用三種方法：1已知拋物線過三點，設(shè)一般式y(tǒng)ax2bxc2已知拋物線頂點坐標及一點，設(shè)頂點式y(tǒng)a(xh)2k3已知拋物線與x軸有兩個交點（或已知拋物線與x軸交點的橫坐標）， 設(shè)兩根式：ya(xx1)(xx2) （其中x1、x2是拋物線與x軸交點的橫坐標）例10：（1）已知二次函數(shù)過（，0

19、），（3，0），（0，），求此拋物線 的解析式。 （2）二次函數(shù)圖象經(jīng)過（3，），對稱軸，拋物線與軸兩交點間的距離為 6， 求二次函數(shù)的解析式。變式練習：1. 已知二次函數(shù)過點（2，0），（4，0），頂點到軸的距離為1，求此函數(shù)的解析式。2. （2011，節(jié)選）如圖，直線交軸于A點，交軸于B點，過A、B 兩點的拋物線交軸于另一點C（3,0）。求拋物線的解析式。OCBA課堂演練八：1. 已知二次函數(shù)當時有最小值3，且過（1，5），則二次函數(shù)的解析式為。2. 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（，0），B（3，0）且頂點的縱坐標為，則這個二次函數(shù)的解析式為。3. 若拋物線的頂點坐標為（1，3），且與的開口

20、大小相同，方向相反，則二次函數(shù)的解析式為。4已知一個二次函數(shù)的圖象過（0，1）、（2，4）、（3，10）三點，求這個二次函數(shù)的表達式。5. （2011，）如圖，拋物線y=x2+bx2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點， 且A（一1，0）。 （1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標； （2）判斷ABC的形狀，證明你的結(jié)論； （3）點M(m，0)是x軸上的一個動點，當CM+DM的值最小時，求m的值。6. （2011，）如圖所示，二次函數(shù)y= -x2+2x+m的圖象與x軸的一個交點為A（3，0）， 另一個交點為B，且與y軸交于點C。 （1）求拋物線的解析式； （2）求點B的坐標； （3）該二次函數(shù)圖象

21、上有一點D（x，y）（其中x0，y0），使SABD=SABC，。求點D的坐標。二次函數(shù)與配方法問題：知識、題型、方法例11：（1）（2011，）將二次函數(shù)化為的形式，則。（2）（2009，）拋物線的頂點坐標為（ ）（A）（-2，7） （B）（-2，-25） （C）（2，7） （D）（2，-9）例12：（2011，）二次函數(shù)有（ ）A最大值B最小值C最大值D最小值變式練習：分別在下列圍求函數(shù)的最大值或最小值。（1）； （2）。課堂演練九：1（2011，）拋物線y(x2)23的頂點坐標是（ ）(A)（2，3）； (B)（2，3）； (C)（2，3）； (D)（2，3） 2（2011，永州）由二次函

22、數(shù)，可知（）A其圖象的開口向下 B其圖象的對稱軸為直線C其最小值為1 D當時，y隨x的增大而增大3(2009，)拋物線（是常數(shù)）的頂點坐標是（ ）ABCD4（2009年市）若把代數(shù)式化為的形式，其中為常數(shù)，則=。5若一次函數(shù)的圖象過第一、三、四象限，則二次函數(shù)有（ ） A最大值 B最大值 C最小值 D最小值二次函數(shù)與一元二次方程問題：知識與方法：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與軸的交點情況）：一元二次方程是二次函數(shù)當函數(shù)值時的特殊情況。圖象與軸的交點個數(shù)由一元二次方程的判別式來決定，具體如下： （1）當時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根。這兩點間的距。 （2）當時，圖象與軸只有一個交點； （3）當時，圖象與軸沒有交點。當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數(shù)，都有；當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數(shù)，都有。2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標為，。知識、題型、方法例13：已知拋物線（為常數(shù)）。 （1）證明：不論何值，拋物線與軸恒有兩個不同的交點。 （2）若拋物線與軸的交點A（，0），B（，0）的距離AB4（A在B的左邊），且拋物線交軸正半軸于C，求拋物線的解析式。變式練習： （2009，）已知拋