高中數(shù)學(xué)選修2-2教學(xué)案1.1：變化率與導(dǎo)數(shù)（學(xué)生版）

1、.變化率與導(dǎo)數(shù)_1、 平均變化率的概念、函數(shù)在某點(diǎn)處附近的平均變化率； 2、 理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；一、變化率問(wèn)題：知識(shí)導(dǎo)入：?jiǎn)栴}1 氣球膨脹率將班內(nèi)同學(xué)平均分成4組，每組發(fā)一只氣球，各有一位同學(xué)負(fù)責(zé)將氣球吹起，其他同學(xué)觀察氣球在吹起過(guò)程中的變化，并做好準(zhǔn)備答復(fù)以下問(wèn)題：1氣球在吹起過(guò)程中，隨著吹入氣體的增加，它的膨脹速度有何變化？2你認(rèn)為膨脹速度與哪些量有關(guān)系？3球的體積公式是什么？有哪些根本量？4結(jié)合球的體積公式，試用兩個(gè)變量之間的關(guān)系來(lái)表述氣球的膨脹率問(wèn)題？總結(jié)：可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來(lái)越慢.從數(shù)學(xué)角度,如何描繪這種現(xiàn)象呢?n 氣球的體積V單位:L與半徑r單位

2、:dm之間的函數(shù)關(guān)系是n 假如將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么分析: ，1 當(dāng)V從0增加到1時(shí),氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為2 當(dāng)V從1增加到2時(shí),氣球半徑增加了hto 氣球的平均膨脹率為可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了考慮：當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時(shí),氣球的平均膨脹率是多少? 問(wèn)題2 高臺(tái)跳水在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)發(fā)動(dòng)相對(duì)于水面的高度h單位：m與起跳后的時(shí)間t單位：s存在函數(shù)關(guān)系ht= -4.9t2+6.5t+10.如何用運(yùn)發(fā)動(dòng)在某些時(shí)間段內(nèi)的平均速度粗略地描繪其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)?考慮計(jì)算：和的平均速度在這段時(shí)間里，；在這段時(shí)間里，探究：計(jì)算運(yùn)發(fā)動(dòng)在這段時(shí)間里的平均速度，

3、并考慮以下問(wèn)題：運(yùn)發(fā)動(dòng)在這段時(shí)間內(nèi)使靜止的嗎？你認(rèn)為用平均速度描繪運(yùn)發(fā)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問(wèn)題嗎？探究過(guò)程：如圖是函數(shù)ht= -4.9t2+6.5t+10的圖像，結(jié)合圖形可知，所以，雖然運(yùn)發(fā)動(dòng)在這段時(shí)間里的平均速度為，但實(shí)際情況是運(yùn)發(fā)動(dòng)仍然運(yùn)動(dòng)，并非靜止，可以說(shuō)明用平均速度不能準(zhǔn)確描繪運(yùn)發(fā)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)1、 平均變化率：1上述問(wèn)題中的變化率可用式子_表示, 稱(chēng)為函數(shù)fx從x1到x2的平均變化率2假設(shè)設(shè), 這里看作是對(duì)于x1的一個(gè)“增量可用x1+代替x2,同樣3.那么平均變化率為_(kāi)考慮：觀察函數(shù)fx的圖象平均變化率表示什么?fx2y=fxyy =fx2-fx1fx1直線(xiàn)AB的斜率x= x2-x1x2

4、x1xO2、 導(dǎo)數(shù)的概念：1、瞬時(shí)變化率：從函數(shù)y=fx在x=x0處的瞬時(shí)變化率是:我們稱(chēng)它為函數(shù)在出的導(dǎo)數(shù)，記作或，即_說(shuō)明：1導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)y=fx在x=x0處的瞬時(shí)變化率2，當(dāng)時(shí)，所以3、 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：1、 平均變化率與割線(xiàn)的斜率、瞬時(shí)變化率與切線(xiàn)的斜率：一曲線(xiàn)的切線(xiàn)及切線(xiàn)的斜率：如圖3.1-2，當(dāng)沿著曲線(xiàn)趨近于點(diǎn)時(shí)，割線(xiàn)的變化趨勢(shì)是什么？圖3.1-2 我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)沿著曲線(xiàn)無(wú)限接近點(diǎn)P即x0時(shí),割線(xiàn)趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置的直線(xiàn)PT稱(chēng)為曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn).問(wèn)題：割線(xiàn)的斜率與切線(xiàn)PT的斜率有什么關(guān)系？ 切線(xiàn)PT的斜率為多少？容易知道，割線(xiàn)的斜率是,當(dāng)點(diǎn)沿著曲線(xiàn)無(wú)限接近點(diǎn)P時(shí)，無(wú)限

5、趨近于切線(xiàn)PT的斜率，即說(shuō)明：1設(shè)切線(xiàn)的傾斜角為,那么當(dāng)x0時(shí),割線(xiàn)PQ的斜率,稱(chēng)為曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)的斜率.這個(gè)概念: 提供了求曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)的斜率的一種方法;切線(xiàn)斜率的本質(zhì)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).2曲線(xiàn)在某點(diǎn)處的切線(xiàn):1與該點(diǎn)的位置有關(guān);2要根據(jù)割線(xiàn)是否有極限位置來(lái)判斷與求解.如有極限,那么在此點(diǎn)有切線(xiàn),且切線(xiàn)是唯一的;如不存在,那么在此點(diǎn)處無(wú)切線(xiàn);3曲線(xiàn)的切線(xiàn),并不一定與曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn),可以有多個(gè),甚至可以無(wú)窮多個(gè).2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=fx在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于在該點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率，即 說(shuō)明：求曲線(xiàn)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程的根本步驟:求出P點(diǎn)的坐標(biāo);求出函數(shù)在點(diǎn)處的變化率 ，得到曲線(xiàn)在點(diǎn)的切

6、線(xiàn)的斜率；利用點(diǎn)斜式求切線(xiàn)方程.類(lèi)型一：求函數(shù)的平均變化率例1、求在到之間的平均變化率，并求，時(shí)平均變化率的值.舉一反三：【變式1】求函數(shù)y=5x2+6在區(qū)間2，2+內(nèi)的平均變化率?！咀兪?】函數(shù)，分別計(jì)算在以下區(qū)間上的平均變化率： 11，3；21，2；31，1.1；41，1.001. 【變式3】自由落體運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為，計(jì)算t從3s到3.1s，3.01s，3.001s各段內(nèi)的平均速度位移s的單位為m?！咀兪?】過(guò)曲線(xiàn)上兩點(diǎn)和作曲線(xiàn)的割線(xiàn)，求出當(dāng)時(shí)割線(xiàn)的斜率.類(lèi)型二：利用定義求導(dǎo)數(shù)例2、用導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)。舉一反三：【變式1】函數(shù)1求函數(shù)在x=4處的導(dǎo)數(shù).2求曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的切

7、線(xiàn)方程。【變式2】利用導(dǎo)數(shù)的定義求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1；2；3；4。例3、求曲線(xiàn)y=x3+2x在x=1處的切線(xiàn)方程.舉一反三：【變式】在曲線(xiàn)y=x2上過(guò)哪一點(diǎn)的切線(xiàn)：1平行于直線(xiàn)y=4x5；2垂直于直線(xiàn)2x6y+5=0；3與x軸成135°的傾斜角。例4函數(shù)可導(dǎo)，假設(shè)，求舉一反三：【變式】函數(shù)可導(dǎo)，假設(shè)，求類(lèi)型五：求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程例5求曲線(xiàn)y=x3+2x在x=1處的切線(xiàn)方程.舉一反三：【變式1】求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率，并寫(xiě)出切線(xiàn)方程.【變式2】，是曲線(xiàn)上的兩點(diǎn)，那么與直線(xiàn)平行的曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程是_.【變式3】曲線(xiàn).1求曲線(xiàn)上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處的切線(xiàn)的方程；2第1小題中的切線(xiàn)與曲線(xiàn)是否還有其

8、他的公共點(diǎn)？例6直線(xiàn)為曲線(xiàn)在點(diǎn)1，0處的切線(xiàn)，為該曲線(xiàn)的另一條切線(xiàn)，且.1求直線(xiàn)的方程；2求由直線(xiàn)、和軸所圍成的三角形的面積.舉一反三：【變式1】假如曲線(xiàn)的某一切線(xiàn)與直線(xiàn)平行，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線(xiàn)方程【變式2】曲線(xiàn)在點(diǎn)1，1處的切線(xiàn)與軸、直線(xiàn)所圍成的三角形的面積為_(kāi).【變式3】曲線(xiàn)在0，1處的切線(xiàn)與的間隔 為，求的方程.一、選擇題1將半徑為R的球加熱，假設(shè)球的半徑增量為R，那么球的外表積增量S等于A8RRB8RR4R2C4RR4R2D4R22一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為s53t2，假設(shè)該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段1,1t內(nèi)相應(yīng)的平均速度為3t6，那么該質(zhì)點(diǎn)在t1時(shí)的瞬時(shí)速度是A3B3C6D63某手機(jī)配件消費(fèi)流水線(xiàn)共有甲、

9、乙兩條，產(chǎn)量s單位：個(gè)與時(shí)間t單位：天的關(guān)系如圖112所示，那么接近t0天時(shí)，以下結(jié)論中正確的選項(xiàng)是圖112A甲的日消費(fèi)量大于乙的日消費(fèi)量B甲的日消費(fèi)量小于乙的日消費(fèi)量C甲的日消費(fèi)量等于乙的日消費(fèi)量D無(wú)法斷定甲的日消費(fèi)量與乙的日消費(fèi)量的大小4設(shè)函數(shù)fx在點(diǎn)x0附近有定義，且有fx0xfx0axbx2a，b為常數(shù)，那么AfxaBfxbCfx0aDfx0b5假設(shè)fxx3，fx03，那么x0的值是A1 B1C±1 D3二、填空題6汽車(chē)行駛的路程s和時(shí)間t之間的函數(shù)圖象如圖113所示在時(shí)間段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分別為1，2，3，其三者的大小關(guān)系是_圖1137過(guò)曲線(xiàn)y

10、fxx21上兩點(diǎn)P1,2和Q1x,2y作曲線(xiàn)的割線(xiàn)，當(dāng)x0.1時(shí)，割線(xiàn)的斜率k_.8設(shè)函數(shù)fxmx32，假設(shè)f13，那么m_.三、解答題9正弦函數(shù)ysin x在區(qū)間0，和，的平均變化率哪一個(gè)較大？10一做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系是s3tt2位移：m；時(shí)間：s1求此物體的初速度2求此物體在t2時(shí)的瞬時(shí)速度3求t0到t2時(shí)的平均速度11柏油路是用瀝青和大小石子等材料混合后鋪成的，鋪路工人鋪路時(shí)需要對(duì)瀝青加熱使之由固體變成粘稠液體狀假如開(kāi)場(chǎng)加熱后第x小時(shí)的瀝青溫度單位：為fx求開(kāi)場(chǎng)加熱后第15分鐘和第4小時(shí)瀝青溫度變化的瞬時(shí)速度，并說(shuō)明它們的意義_根底穩(wěn)固1.函數(shù)fx=x2-1在x0到

11、x0+x之間的平均變化率為A.2x0-1B.2x0+xC.2x0x+x2D.x2-x+12.以初速度為v0v0>0做豎直上拋運(yùn)動(dòng)的物體,t時(shí)刻的高度為st=v0t-gt2,那么物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為A.v0-gt0B.v0C.v0+gt0D.gt03.函數(shù)y=x2+5x在x=3處的導(dǎo)數(shù)是A.3B.5C.11D.144.曲線(xiàn)y=x3+11在點(diǎn)P1,12處的切線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是A.-9B.-3C.9D.155.假設(shè)曲線(xiàn)y=x2+ax+b在點(diǎn)0,b處的切線(xiàn)方程是x-y+1=0,那么A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-16.如圖,函數(shù)fx的圖象是

12、折線(xiàn)段ABC,其中A,B,C的坐標(biāo)分別為0,4,2,0,6,4,那么ff0=_.用數(shù)字作答.7.函數(shù)y=fx的圖象在點(diǎn)M1,f1處的切線(xiàn)方程是y=x+2,那么f1+f'1=_.8.求函數(shù)fx=x-x2在x=1處的導(dǎo)數(shù).才能提升一、選擇題1函數(shù)yx21的圖象上一點(diǎn)1,2及鄰近一點(diǎn)1x,2y，那么等于A2B2xC2xD2x22自由落體運(yùn)動(dòng)的公式為sstgt2g10 m/s2，假設(shè)v，那么以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是Av是在01s這段時(shí)間內(nèi)的速度Bv是1s到1ts這段時(shí)間內(nèi)的速度C5t10是物體在t1s這一時(shí)刻的速度D5t10是物體從1s到1ts這段時(shí)間內(nèi)的平均速度3惠州高二檢測(cè)某物體做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律是st2t的單位是秒，s的單位是米，那么它在4秒末的瞬時(shí)速度為A.米/秒B.米/秒C8米/秒D.米/秒4函數(shù)fxx2在x0到x0x之間的平均變化率為k1，在x0x到x0之間的平均變化率為k2，那么k1，k2的大小關(guān)系是Ak1k2Bk1k2Ck1k2D無(wú)法確定5點(diǎn)Px0，y0是拋物線(xiàn)y3x26x1上一點(diǎn)，且fx00，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為A1,10B1，2C1，2 D1,10二、填空題6洛陽(yáng)高二檢測(cè)一小球沿斜面自由滾下，其運(yùn)動(dòng)方程是stt2, s的單位：米，t的單位：秒，那么小球在t5時(shí)的瞬時(shí)速度為_(kāi)7函數(shù)fxax4，假設(shè)f12，那么a_.8假設(shè)函