完全平方公式(二)

1、完全平方公式（二）一、 學(xué)生起點(diǎn)分析學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：學(xué)生通過上一節(jié)課的學(xué)習(xí)，已經(jīng)經(jīng)歷了探索和推導(dǎo)完全平方公式的過程，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算，同時(shí)通過前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)基本掌握了整式的加減法及乘法運(yùn)算，并能簡(jiǎn)單運(yùn)用平方差公式和完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，這些知識(shí)的掌握為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了良好的知識(shí)技能基礎(chǔ)。學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：在前面幾節(jié)課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了探索和應(yīng)用乘法公式的過程，獲得了一些數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)了一定的符號(hào)感和推理能力；同時(shí)在相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生經(jīng)歷了很多探究學(xué)習(xí)的過程，具有了一定的獨(dú)立探究意識(shí)以及與同伴合作交流的能力。本節(jié)課是對(duì)乘法公式的綜合應(yīng)用，同時(shí)乘法公式又是

2、整式乘法中具有特殊結(jié)構(gòu)的一類問題，從而讓學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般的過程，學(xué)會(huì)在解題之前進(jìn)行觀察與思考是至關(guān)重要的，而這在平方差公式的靈活運(yùn)用中學(xué)生同樣也積累了一定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。二、 教學(xué)任務(wù)分析教科書是在學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了完全平方公式的探索和推導(dǎo)過程之后，并能夠運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算的基礎(chǔ)上，提出本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)的?？梢哉f首先是對(duì)完全平方公式的進(jìn)一步鞏固，并能將其運(yùn)用到有關(guān)數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算當(dāng)中去。同時(shí)，雖然本節(jié)課是完全平方公式的第二個(gè)課時(shí)，但其實(shí)也是對(duì)乘法公式及整式乘法運(yùn)算的簡(jiǎn)單的綜合運(yùn)用。為此，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：1熟記完全平方公式，并能說出公式的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感。 2能夠運(yùn)用完全平

3、方公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，并在活動(dòng)當(dāng)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的意識(shí)及應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力。 3能夠運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行一些數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算，體會(huì)符號(hào)運(yùn)算對(duì)解決問題的作用。4會(huì)在多項(xiàng)式、單項(xiàng)式的混合運(yùn)算中，正確運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，感悟換元變換的思想方法，提高靈活應(yīng)用乘法公式的能力。三、 教學(xué)設(shè)計(jì)分析本節(jié)課設(shè)計(jì)了七個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：回顧與思考、做一做、簡(jiǎn)單應(yīng)用、綜合應(yīng)用、課堂小結(jié)、布置作業(yè)、聯(lián)系拓廣。第一環(huán)節(jié) 回顧與思考活動(dòng)內(nèi)容：復(fù)習(xí)已學(xué)過的完全平方公式。1. 完全平方公式：(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (a-b)2 = a2 - 2ab + b22公式口訣：首平方，尾平方，兩倍乘積放

4、中央， 加減看前方，同加異減。3. 想一想：（1）兩個(gè)公式中的字母都能表示什么? 數(shù)或代數(shù)式（2）根據(jù)兩數(shù)和或差的完全平方公式，能夠計(jì)算多個(gè)數(shù)的和或差的平方嗎?完全平方公式在計(jì)算化簡(jiǎn)中有些什么作用?活動(dòng)目的：本堂課的學(xué)習(xí)方向首先仍是對(duì)于完全平方公式的進(jìn)一步鞏固應(yīng)用，因而復(fù)習(xí)是很有必要的，這為后面的學(xué)習(xí)奠定了一定的基礎(chǔ)，同時(shí)經(jīng)過本環(huán)節(jié)中的第三個(gè)問題的思考，也使學(xué)生明確了本節(jié)課學(xué)習(xí)的初步目標(biāo)，起到了承上啟下的作用。實(shí)際教學(xué)效果：在復(fù)習(xí)過程中，學(xué)生能夠順利地回答出完全平方公式的內(nèi)容，而對(duì)于幫助學(xué)生記憶的口訣，能夠回答出內(nèi)容但是對(duì)其理解不夠深刻，應(yīng)在后面的學(xué)習(xí)當(dāng)中讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)。同時(shí)第三個(gè)問題的設(shè)計(jì)

5、適合學(xué)生的思維過程，又不難回答，但是卻為后面的學(xué)習(xí)進(jìn)行了鋪墊，起到了很好的效果。第二環(huán)節(jié) 做一做活動(dòng)內(nèi)容：出示幻燈片，提出問題。有一位老人非常喜歡孩子，每當(dāng)有孩子到他家做客時(shí)，老人都要拿出糖果招待他們。來一個(gè)孩子，老人就給這個(gè)孩子一塊糖，來兩個(gè)孩子，老人就給每個(gè)孩子兩塊糖，來三個(gè)，就給每人三塊糖， (1) 第一天有 a 個(gè)男孩一起去了老人家，老人一共給了這些孩子多少塊糖？ (2) 第二天有 b 個(gè)女孩一起去了老人家，老人一共給了這些孩子多少塊糖？ (3) 第三天這（a + b)個(gè)孩子一起去看老人，老人一共給了這些孩子多少塊糖？ (4)這些孩子第三天得到的糖果數(shù)與前兩天他們得到的糖果總數(shù)哪個(gè)多？

6、多多少？為什么？ 活動(dòng)目的：數(shù)學(xué)源自于生活，通過生活當(dāng)中的一個(gè)有趣的分糖場(chǎng)景，使學(xué)生進(jìn)一步鞏固了(a+b)2=a2+2ab+b2，同時(shí)幫助學(xué)生進(jìn)一步理解了(a+b)2與a2+b2的關(guān)系。同時(shí)通過問題串的形式，層層遞進(jìn)，適合學(xué)生的思維梯度，學(xué)生通過自主探究和交流學(xué)到了新的知識(shí)，鞏固了舊的知識(shí)，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性得到大大的激發(fā)。實(shí)際教學(xué)效果：?jiǎn)栴}提出后，學(xué)生能夠主動(dòng)的去尋找問題的答案。同時(shí)問題串的設(shè)計(jì)具有梯度，在不自覺中學(xué)生一步步的對(duì)知識(shí)得以深入理解，并在解決問題過程中體會(huì)到了完全平方公式的作用。同時(shí)在教學(xué)過程中教師還可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步討論多出2ab的原因：對(duì)于這a個(gè)男孩，每個(gè)男孩第三天得到

7、的糖果數(shù)多b塊，一共多了ab塊；同理可知這b個(gè)女孩第三天得到的糖果總數(shù)比第二天也多了ab塊。因此，這些孩子第三天得到的糖果數(shù)與前兩天相比，共計(jì)多出了2ab塊。在整個(gè)探索過程中老師只是在提出問題和引導(dǎo)學(xué)生解決問題，學(xué)生通過獨(dú)立思考與討論的方式得出了答案，整個(gè)過程中學(xué)生的自主性得到了充分的體現(xiàn)，課堂氣氛平等融洽。第三環(huán)節(jié) 簡(jiǎn)單應(yīng)用活動(dòng)內(nèi)容：1.例題講解 例2 利用完全平方公式計(jì)算： (1) 1022 ; (2) 1972 （1）把 1022 改寫成 (a+b)2 還是(ab)2 ? a、b怎樣確定？1022 =(100+2)2 =1002+2×100×2+22 =1000+40

8、0+4 =10404（2）把 1972 改寫成 (a+b)2 還是(ab)2 ? a、b怎樣確定？1972 =(200-3)2 =2002-2×200×3+32 =4000-1200+9 =388092. 隨堂練習(xí) 利用整式乘法公式計(jì)算： (1) 962 ； (2) 2032活動(dòng)目的：能夠運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行一些有關(guān)數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算，進(jìn)一步體會(huì)完全平方公式在實(shí)際當(dāng)中的應(yīng)用，并通過練習(xí)加以鞏固。需要注意的是，本題的目的是進(jìn)一步鞏固完全平方公式，體會(huì)符號(hào)運(yùn)算對(duì)解決問題的作用，不要在簡(jiǎn)便運(yùn)算上做過多練習(xí)。實(shí)際教學(xué)效果：此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)符合學(xué)生的認(rèn)知水平和認(rèn)知過程。雖然問題本身難度不大，學(xué)

9、生容易解決，但是通過在解題之前的觀察與思考，使學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真審題的好習(xí)慣，同時(shí)對(duì)于知識(shí)的掌握更有深度，也為后面乘法公式的綜合應(yīng)用奠定了良好的活動(dòng)基礎(chǔ)。第四環(huán)節(jié) 綜合應(yīng)用活動(dòng)內(nèi)容： 1.例題講解例3 計(jì)算：(1) (x+3)2 - x2解: (1) 方法一 完全平方公式合并同類項(xiàng)(x+3)2-x2=x26x+9-x2=6x+9解: (1) 方法二 平方差公式單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式.(x+3)2-x2=(x+3+x)(x+3-x)=(2x+3)·3=6x+9(2) (x+5)2(x-2)(x-3)解: (2)(x+5)2-(x-2)(x-3) =(x2+10x+25)-(x2-5x+6) =x2+

10、10x+25-x2+5x-6 =15x+19 溫馨提示：1. 注意運(yùn)算的順序。2. (x2)(x3)展開后的結(jié)果要注意添括號(hào)。(3) (a+b+3)(a+b-3)解：(a+b+3)(a+b-3)=(a+b)+3(a+b)-3=(a+b)2-32=a2+2ab+b2-9溫馨提示：將(a+b)看作一個(gè)整體，解題中滲透了整體的思想2. 鞏固練習(xí)(1)(a-b+3)(a-b-3)(2)(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3)(3)(ab+1)2-(ab-1)2(4)(2x-y)2-4(x-y)(x+2y)活動(dòng)目的：使學(xué)生進(jìn)一步熟悉乘法公式的運(yùn)用，同時(shí)進(jìn)一步體會(huì)完全平方公式中字母a，b的含義是很廣泛的

11、，它可以是數(shù)，也可以是整式。并且在解題過程中體會(huì)解題前觀察與思考的重要性，學(xué)會(huì)一題多解情況下的優(yōu)化選擇，并通過例題中的第三個(gè)題目體會(huì)整體思想，同時(shí)滲透添加括號(hào)的思想。實(shí)際教學(xué)效果：對(duì)例題1（1），學(xué)生經(jīng)過獨(dú)立思考容易想到方法一從而借助于完全平方公式來解決問題，但是不容易想到借助逆向使用平方差公式來進(jìn)行計(jì)算，在教師的引導(dǎo)下部分學(xué)生可以理解借助平方差公式的方法。雖然此題兩種方法解題難度上差別不大，但是在隨后練習(xí)中的第三小題學(xué)生會(huì)感悟到借助逆向使用平方差公式更為簡(jiǎn)單。從而既達(dá)到了鞏固練習(xí)的目的，還使學(xué)生有了優(yōu)化選擇的意識(shí)。對(duì)例題1（2）， 當(dāng)整式乘法之間用減號(hào)連接時(shí)，此時(shí)應(yīng)特別注意后面部分的計(jì)算結(jié)果

12、應(yīng)該加上括號(hào)，這是學(xué)生非常容易出錯(cuò)的地方，應(yīng)給予強(qiáng)調(diào)，并在隨后練習(xí)中的二、四小題有所體現(xiàn)。對(duì)例題1（3），在前面學(xué)習(xí)中就已經(jīng)有所滲透整體的思想，此題讓學(xué)生進(jìn)一步感悟公式中的“a”“b”除了可以代表數(shù)與字母之外，還可以代表代數(shù)式，并體會(huì)添加括號(hào)的思想。第五環(huán)節(jié) 課堂小結(jié)活動(dòng)內(nèi)容：歸納小結(jié)1. 完全平方公式的使用：在做題過程中一定要注意符號(hào)問題和正確認(rèn)識(shí)a、b表示的意義，它們可以是數(shù)、也可以是單項(xiàng)式，還可以是多項(xiàng)式，所以要記得添括號(hào)。2. 解題技巧：在解題之前應(yīng)注意觀察思考，選擇不同的方法會(huì)有不同的效果，要學(xué)會(huì)優(yōu)化選擇?；顒?dòng)目的：課堂小結(jié)并不只是課堂知識(shí)點(diǎn)的回顧，要盡量讓學(xué)生暢談自己的切身感受，教

13、師對(duì)于發(fā)言進(jìn)行鼓勵(lì)，進(jìn)一步梳理本節(jié)所學(xué)，更要有所思考，達(dá)到對(duì)所學(xué)知識(shí)鞏固的目的。同時(shí)本節(jié)課更多的屬于練習(xí)鞏固及綜合應(yīng)用，所以應(yīng)讓學(xué)生更多的談在這節(jié)課中解題上所獲得的收獲與體會(huì)。實(shí)際教學(xué)效果：通過學(xué)生的暢所欲言，教師在其中能夠發(fā)現(xiàn)學(xué)生掌握較為薄弱的地方，從而在今后教學(xué)中可以得以彌補(bǔ)。同時(shí)學(xué)生談了更多在某個(gè)題目上所獲的經(jīng)驗(yàn)和方法，此時(shí)教師應(yīng)給予總結(jié)，進(jìn)一步明確所涉及的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。第六環(huán)節(jié) 布置作業(yè)活動(dòng)內(nèi)容：1.基礎(chǔ)訓(xùn)練：教材習(xí)題1.14 。2.擴(kuò)展訓(xùn)練：聯(lián)系拓廣活動(dòng)目的：課下將所學(xué)知識(shí)進(jìn)一步鞏固，并得以反饋。第七環(huán)節(jié) 聯(lián)系拓廣1.（1） 如果把完全平方公式中的字母“a”換成“m+n”，公式

14、中的“b”換成“p”，那么 (a+b)2 變成怎樣的式子? 怎樣計(jì)算(m+n+p)2呢? (m+n+p)2=(m+n)+p2=(m+n)2+2(m+n)p+p2=m2+2mn+n2+2mp+2np+p2=m2+ n2 +p2+2mn+2mp+2np（2）把所得結(jié)果作為推廣了的完全平方公式，試用語言敘述這一公式：三個(gè)數(shù)和的完全平方等于這三個(gè)數(shù)的平方和，再加上每?jī)蓴?shù)乘積的2倍。（3）仿照上述結(jié)果，你能說出(ab+c)2所得的結(jié)果嗎?2. 已知:a+b=5,ab=-6,求下列各式的值(1)(a+b)2 (2)a2+b2若條件換成a-b=5,ab=-6,你能求出a2+b2的值嗎?活動(dòng)目的：對(duì)于本節(jié)課的進(jìn)一步拓廣，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)，讓學(xué)有余力的同學(xué)進(jìn)一步加深對(duì)本節(jié)課的理解。實(shí)際教學(xué)效果：確實(shí)引起了班內(nèi)數(shù)學(xué)較突出同學(xué)的興趣，并能夠積極主動(dòng)地去探究，從而達(dá)到了由“小課堂”到課下“大課堂”的目的，培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。四、教學(xué)設(shè)計(jì)反思1. 遵循課程標(biāo)準(zhǔn)所提出的“讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋和應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等方面得到進(jìn)步和發(fā)展”的理念，教學(xué)中力求使“自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流”成為學(xué)生學(xué)習(xí)的主要方式。2. 為了充分展示數(shù)學(xué)問題的發(fā)生、發(fā)展及變化