在復(fù)習(xí)中準(zhǔn)確把握兩個不等式

1、在復(fù)習(xí)中準(zhǔn)確把握兩個不等式 佛山市順德區(qū)鄭裕彤中學(xué) 徐新宏不等式是一個最基本也很重要的不等式，它本身的應(yīng)用較廣泛。雖然在新課標(biāo)的高考中對不等式證明的要求已大大降低，但這并不說明可以放棄。它的一些變形式散見于課本和一些參考資料中，利用這些變形式能較容易地解決一些問題。另外，在廣東高考數(shù)學(xué)理科卷的填空題中有“三選二”的形式，其中有涉及不等式選講（選修45）的內(nèi)容，主要的就是柯西不等式的應(yīng)用。在重要不等式和柯西不等式的應(yīng)用中，一定要抓準(zhǔn)高考中會出現(xiàn)的題型(大都是以客觀題形式出現(xiàn))，特別是求最值問題。在利用不等式求最值時，一定要注意等號成立的條件，否則就會出錯。本文挖掘重要不等式和柯西不等式以及它們的

2、一些變形在解題中的應(yīng)用。這樣不僅可以針對高考題型做好準(zhǔn)備，而且不會做無用功。一、重要不等式：。變形之一：（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”號。）這個不等式也稱為基本不等式。這個變形式就是前一個不等式的推論。其中，限制條件可以放寬為是非負實數(shù)。變形之二：（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”號）變形之三：（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”號）二、柯西不等式：若都是實數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立（這是二維形式的柯西不等式）。設(shè)是實數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)或存在一個數(shù)，使得時，等號成立（這是一般形式的柯西不等式）。在使用柯西不等式時，一定要根據(jù)它的結(jié)構(gòu)特點，直接使用或靈活地配湊出其固有的形式，其規(guī)律性是較明顯的。下面略舉幾例來說明它們的應(yīng)用。同學(xué)們可以

3、自己判斷使用了什么形式的不等式。例1. （2004年高考湖北文史卷）已知，則有（ ）A最大值 B 最小值 C最大值1 D最小值1解：。=當(dāng)且僅當(dāng)，即時，上式等號成立。因為在定義域內(nèi)，所以最小值為1。例2（2006年高考重慶卷）若，且，則的最小值為（ ）A B C D 解：由已知條件有。（當(dāng)且僅當(dāng)即時，取“=”號）。 所以。故選D。例3、（2004年高考重慶文史卷）已知，則的最小值是_。解析：解法一：（不等式法）2=。當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?。解法二：（三角代換法）令。（同學(xué)們自己驗證等號成立的條件）。 例4（某地2007模擬試題）某工廠年產(chǎn)量第二年增長率為，第三年增長率為，則這兩年平均增長率滿足（

4、）A B C D解析：設(shè)原產(chǎn)量為A，則有利用變形二有 。故選B。例5（2005年高考重慶卷）若是正數(shù)，則的最小值是（ ）A.3 B. C.4 D.解析：由變形三可以把和放在一起，這樣就可以解下去。-（*）而由變形一有：（當(dāng)且僅當(dāng)時，兩個式子中的等號都成立）。此時，（*）式中的等號也同時成立故當(dāng)且僅當(dāng)時，的最小值是=4。選（C）。例6、(惠州市2008屆高三第二次調(diào)研考試)已知實數(shù)滿足，,則的最大值為_。解析：由已知條件，很容易想到公式，顯然有，即有（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。）則的最大值為。值得說明的是，在沒有學(xué)習(xí)柯西不等式之前用重要不等式也是可以解決此題的，但不少同學(xué)可能是這樣做的：因為，所以，

5、即有。所求的最大值是2。這個結(jié)果肯定是不對的，請同學(xué)們思考錯誤的原因。例7、（2007年廣州市一模）設(shè)為正數(shù)，且，則的最小值是_.解析：這種類型的解題規(guī)律較明顯，只要把和結(jié)合在一起，即把兩式相乘即可。下面給出兩種解法：A、（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）。即有。故填。B、，即有（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）。故填。練習(xí)：（2007年山東高考題）函數(shù)的圖象恒過定點A，若點A在直線上，其中，則的最小值為_.提示：先求出定點A的坐標(biāo)（-2，-1），又點A在直線上，則?？煞抡绽?來做。例8（某地2008年高考模擬題）設(shè)，則的最小值是（ ）A B. C. D.分析：此題可能首先想到令，把代入，用判別式法來解，但要注意是有限制條件的。在能否取到最小值時，要驗證存在的條件才行。這個解法還是較麻煩的。也能想到把化為，用橢圓的參數(shù)方程進行三角代換來解。但經(jīng)過觀察，我們發(fā)現(xiàn)有關(guān)系，因而想到要用好這個關(guān)系則簡潔很多。解：利用變形三有： 即有，的最小值是-4。當(dāng)且僅當(dāng)，即，=時，取得最小值為-4。故選（B）。