小波分析入門和matlab使用

1、小波分析介紹以及matlab命令實(shí)現(xiàn) 一，小波分析的緣起傅里葉分析是信號(hào)處理中最常用的方法，傅里葉在1807年指出任何一個(gè)周期的連續(xù)信號(hào)可以表示成 一些合適的正弦波的疊加。這樣一個(gè)時(shí)間域的信號(hào)就通過(guò)傅力葉變換轉(zhuǎn)化成一系列的不同頻率的余弦波 的系數(shù)。但是傅里葉分析最大的缺點(diǎn)是在轉(zhuǎn)化后，時(shí)間信息完全丟失，對(duì)于一般的穩(wěn)定信號(hào)(statio narysignal)在時(shí)間上沒(méi)有重大的性質(zhì)變化，這不算什么，但對(duì)于不穩(wěn)定信號(hào)(non stationary signa)，些重要的信息如趨勢(shì)，轉(zhuǎn)折，突變點(diǎn)，事件的起止都丟失在頻率域中。傅力葉變換不能提取這些信息。于是人們想要一種time localized分析方

2、法。Gabor1946年提出了一種傅力葉變換的改進(jìn)方法，短時(shí)傅力葉變換。僅僅分析一小段時(shí)間的信號(hào)， 就是在時(shí)間域取一個(gè)時(shí)間窗，同時(shí)要克服非周期性問(wèn)題，使用了各種窗函數(shù)，使得窗內(nèi)的信號(hào)從0平滑的過(guò)度到信號(hào)的真實(shí)值在過(guò)度到0,使得首尾都為0 (為了滿足窗內(nèi)的周期性)。如常見(jiàn)的漢寧窗cosinetaper函數(shù)，以及復(fù)雜的 multitaper函數(shù)。但是這樣的結(jié)果在時(shí)間和頻率上存在一個(gè)折中，并且對(duì)所有的 頻率使用相同的窗長(zhǎng)，不一定可以滿足精度的要求。1984年一些地球物理學(xué)家 Morlet等人發(fā)現(xiàn)了一種新的信號(hào)處理方法，小波變換。小波變換允許在 高頻信息時(shí)使用更短的時(shí)間段，在低頻使用長(zhǎng)時(shí)段來(lái)獲得更加精

3、確的結(jié)果。小波變換包括連續(xù)小波變換， 離散小波變換以及小波包變換。存在一系列的母小波，選定后，小波變換把原信號(hào)變成若干偏移，縮放 的母波。二，連續(xù)小波變換( continuous wavelet transform)1,母小波與尺度，偏移子波：小波就是滿足一定條件的一些函數(shù)，母波經(jīng)過(guò)尺度變換，時(shí)間偏移后就是一系列的子波。shift的子波二母波以及圖一：母波以及scale的母波2,連續(xù)小波變換：選定母波后，通過(guò)尺度變換，時(shí)間偏移會(huì)得到許多子波，這一系列的子波于原信號(hào)相關(guān)，得到的系數(shù)就是小波變換后的結(jié)果。過(guò)程如下：(1)母波與信號(hào)相關(guān)得到相似系數(shù) cSignalWawletC = O 0102(2

4、)母波在時(shí)間上偏移，在與信號(hào)相關(guān)得到新的系數(shù)c(2)母波在時(shí)間上偏移，在與信號(hào)相關(guān)得到新的系數(shù)c(2)母波在時(shí)間上偏移，在與信號(hào)相關(guān)得到新的系數(shù)cscale禾口 shift(3)母波做尺度上的變化，拉伸后，與信號(hào)相關(guān)，偏移在相關(guān)到完成所有的(2)母波在時(shí)間上偏移，在與信號(hào)相關(guān)得到新的系數(shù)cSignal7avlbTIa/WV(2)母波在時(shí)間上偏移，在與信號(hào)相關(guān)得到新的系數(shù)cC = 0 2247wname') ，x是信號(hào)，scales 是使用 wavemenu打開小波工具箱的 wavelet3,連續(xù)小波變換的 matlab實(shí)現(xiàn)：連續(xù)小波變換的命令是oefs = cwt(x,scales,&

5、#39; 的尺度矢量，wn ame是小波的類型，可以在命令行中使用 display 查找。%構(gòu)建我們的信號(hào)，在500處有一個(gè)突變點(diǎn)。x = zeros(1000,1);x(500) = 1;%進(jìn)行小波變換CWTcoeffs = cwt(x,1:128,'haar','plot');colormap jet; colorbar;結(jié)果如下：也可以單獨(dú)看某個(gè)尺度的圖，CWTcoeffs ( 10，:)表示尺度為10的cwt值。(2)母波在時(shí)間上偏移，在與信號(hào)相關(guān)得到新的系數(shù)c(2)母波在時(shí)間上偏移，在與信號(hào)相關(guān)得到新的系數(shù)c.4uii；ill mi L : afiLi

6、 am ; nr a= r 2 j2UD4J_ianlaxitWLib GatrfiQ 血于StTdllC-odVI: mieJ l| J Q_J討q 卡'、- S *- ji 豈EBlia嘔曲監(jiān)陽(yáng)TI號(hào)夕«的»卻竝liId-，離散小波變換:1為什么要進(jìn)行離散小波變換連續(xù)小波變換要經(jīng)過(guò)大量的尺度偏移的轉(zhuǎn)換在計(jì)算，將會(huì)產(chǎn)生較大的計(jì)算量，因此有人選擇在部分尺 度和時(shí)間偏移上來(lái)做，就是連散小波變換。事實(shí)證明，如果我們按照2的幕值去選擇尺度和偏移，我們的小波分析就能更高效并且能相當(dāng)?shù)木_。2. 一級(jí)濾波：近似和細(xì)節(jié)( Approximations and details)1

7、)理論過(guò)程：對(duì)許多信號(hào)來(lái) 說(shuō)，低頻信息是最重要的部分，給予了信號(hào)的基本特征。高頻的部分則對(duì)信號(hào)細(xì)化，在小波分析中，我們說(shuō)的近似就是信號(hào)中大尺度的低頻的部分，而細(xì)節(jié)則是指信號(hào)中高頻的小尺度的部分。通過(guò)一個(gè)高頻和低頻的濾波器，可以分離著兩部分。/WX-陽(yáng)0 DWT1WnTfirtnDvtvilDI7fiidnnr信號(hào)S共1000個(gè)點(diǎn)，分 別通過(guò)高通和低通濾波 器后，進(jìn)行一個(gè) 減采樣的過(guò)程，得到500個(gè)點(diǎn)的cD和 cA，其中cA為低通濾波 器出來(lái)后的結(jié)果，保留了信號(hào)的基本信息，為一個(gè)近(Approximation )。cD 為高通濾波器出來(lái)后，保留了信號(hào)的高頻信息，為一個(gè)細(xì)節(jié)( Detail )。2

8、)matlab實(shí)現(xiàn)：matlab中相關(guān)命令為dwt進(jìn)行一級(jí)的離散小波分 解，idwt 級(jí)的小波合成。%構(gòu)建信號(hào)sload leleccum ;s = leleccum(1:3920);l_s = len gth(s);%進(jìn)行一級(jí)的離散小波分解，使用db1為母波cA1,cD1 = dwt(s,'db1');%從系數(shù)cA1和cD1中獲得信號(hào)的近似和細(xì)節(jié)A1 = idwt(cA1,'db1' ,l_s);D1 = idwt(,cD1,'db1' ,l_s);結(jié)果展示：注意，dwt后的系數(shù)和1級(jí)的Approximation和 detail的區(qū)別在于是否通

9、過(guò)補(bǔ)0到原信號(hào)長(zhǎng)度。3,多級(jí)濾波，多級(jí)分解1理論過(guò)程：上 面的分解過(guò)程可以迭代的進(jìn)行，每一級(jí)的近似 又可以繼續(xù)分解成新的近似和 細(xì)節(jié)，產(chǎn)生了小波的分解樹。氣嗎2)matlab的實(shí)現(xiàn)：%仍然使用上例子的信號(hào)s，進(jìn)行3級(jí)的DWT分解C,L = wavedec(s,3,'db1' );%C中存放的是系數(shù)，L中存放長(zhǎng)度%提取出各級(jí)的A和D的系數(shù)cA3 = appcoef(C,L,'db1',3);cD1,cD2,cD3 = detcoef(C,L,1,2,3);%從各級(jí)系數(shù)中得到各級(jí)的近似和細(xì)節(jié)A3 = wrcoef('a',C ,L ,'db1

10、',3);D1 = wrcoef('d',C ,L ,'db1',1);D2 = wrcoef('d',C ,L ,'db1',2);D3 = wrcoef('d',C ,L ,'db1',3);%從系數(shù)中重構(gòu)信號(hào)并計(jì)十算誤差A(yù)0 = waverec(C,L,'db1');err = max(abs(s-A0)結(jié)果如圖:四，小波包分析1.在離散小波分析中，信號(hào)分成近似和細(xì)節(jié)，然后近似向下層繼續(xù)進(jìn)行分 解，但細(xì)節(jié)不 再變化。小波包分析中，細(xì)節(jié)和近似都將 繼續(xù)向下一級(jí)分解。于是獲

11、得了小波包的分 解樹。有許多中分 解方法，如S = A1+D1 = A1 + AD2+DD2 = AA2+DA2+AAD3+DAD3+DD2 =.如何選擇一種最有效的 辦法來(lái) 表示信號(hào)的問(wèn)題就產(chǎn)生了，通常使用en tropy-based criterio n條件來(lái)選擇。%從波包系數(shù)中提取出某個(gè)節(jié)點(diǎn)的數(shù) 據(jù)根據(jù)該節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)，獲得該節(jié)點(diǎn)結(jié)果如右圖2，matlab實(shí)現(xiàn)：%獲得信號(hào)load no isdopp%進(jìn)行5級(jí)的波包分析，使用sym4母波T = wpdec( no isdopp,5,'sym4');plot(T)% 結(jié)果如右圖wpc = wpcoef(T,16);%的信號(hào)近似rwpc = wprcoef(T,16); %決定最好的波包樹Topt = besttree(T);plot(Topt)%利用第七個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)重構(gòu)信號(hào)rsig = wprcoef(Topt,7);% rsig is length 1024 plot (no isdopp,'